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Algèbre Linéaire

Algèbre linéaire

Définition

On nomme Algebre lineaire la branche des mathématiques qui se penche sur l'étude des espaces vectoriels (ou espaces linéaires), de leurs éléments les vecteurs , des transformations linéaires et des systèmes d'équations linéaires (théorie des matrices).

Histoire

L'histoire de l'algèbre linéaire commence avec Descartes qui le premier pose des problèmes de géométrie, comme l'intersection de deux droites, sous forme d'équation linéaire. Il établit alors un pont entre deux branches mathématiques jusqu'à présent séparées l'algèbre et la géométrie. S'il ne définit pas la notion de base de l'algèbre linéaire qui est l'espace vectoriel, en revanche il l'utilise déjà avec succès. Après cette découverte les progrès en algèbre linéaire vont se limiter à des études ponctuelles comme la définition et l'analyse des premières propriétés des déterminants par d'Alembert. Ce n'est qu'au que l'algèbre linéaire devient une branche des mathématiques à part entière. Carl Friedrich Gauss trouve une méthode générique pour la résolution des systèmes d'équations linéaires, Marie Ennemond Camille Jordan résoud définitivement le problème de la réduction des endomorphismes. En 1843, William Rowan Hamilton (inventeur du terme vector) découvre les quaternions. En 1844, Hermann Grassmann publie un livre Die lineare Ausdehnungslehre. Le début du voit la naissance de la formalisation moderne des mathématiques. Les espaces vectoriels deviennent alors une structure générale omni-présente dans presques tout les domaines mathématiques.

Intérêt

Sous sa forme la plus simple les espaces vectoriels représentent intuitivement les déplacements dans les espaces géométriques élémentaires comme la droite, le plan ou notre espace physique. Les bases de cette théorie remplacent maintenant la représentation construite par Euclide au 3eme siècle avant Jésus Christ. La construction moderne permet de généraliser la notion d'espace à des dimensions quelconques. L'algèbre linéaire permet de résoudre tout un ensemble d'équations dites linéaires utilisées non seulement en mathématiques ou en mécanique, mais dans de nombreuses autres branches comme les sciences naturelles ou les sciences sociales. Les espaces vectoriels forment aussi un outil fondamental pour les sciences de l'ingénieurs et servent de base à de nombreux domaine dans la recherche opérationnelle. Cette branche fournit aussi un support théorique important en informatique, que ce soit matériel avec des calculateurs ou des processeurs vectoriels ou logiciel. Un langage informatique sorti dès 1969 adoptait des notations généralisées de l'algèbre linéaire : le langage APL. Enfin, c'est un outil utilisé en mathématiques pour résoudre des problèmes aussi divers que la théorie des groupes des anneaux ou des corps, l'analyse fonctionnelle, la géométrie différentielle ou la théorie des nombres.

Présentation élémentaire

L'algèbre linéaire commence par l'étude de vecteurs dans les espaces cartésiens de dimension 2 et 3. Un vecteur, ici, est un segment de droite caractérisé à la fois par sa longueur (ou norme), sa direction et son sens. Les vecteurs peuvent alors être utilisés pour représenter certaines entités physiques comme des déplacements, additionnés ou multipliés par des scalaires, formant ainsi le premier exemple concret d' espace vectoriel. L'algèbre linéaire moderne a été étendue pour considérer les espaces de dimension arbitraire ou infinie. Un espace vectoriel de dimension n est appelé un n-espace. La plupart des résultats obtenus dans les 2-espaces et 3-espaces peuvent être étendus aux espaces de dimensions supérieures. Bien que beaucoup de personnes ne peuvent appréhender correctement un vecteur dans un n-espace, ils sont utiles pour représenter des données. Les vecteurs étant des listes ordonnées à n composantes, la plupart des personnes peuvent manipuler des données efficacement dans cet environnement. Par exemple en économie, on peut créer et utiliser des vecteurs à huit dimensions pour représenter le produit national brut de huit pays.

Quelques théorèmes


- Tout espace vectoriel possède une base.
- Tout espace vectoriel A possède un espace dual A
- .
- En dimension finie, le dual de cet espace dual A
- s'identifie à l'espace de départ A (A
  - = A). D'autres théorèmes concernent les conditions d'inversion de matrices de divers types :
- matrice diagonale
- bande
- matrice triangulaire
- à diagonale dominante (très utilisées en analyse numérique) Un théorème intéressant à l'époque des mémoires d'ordinateurs de petite taille était qu'on pouvait travailler séparément sur des sous-ensembles (« blocs ») d'une matrice en les combinant ensuite par les mêmes règles qu'on utilise pour combiner des scalaires dans les matrices. Avec les mémoires actuelles de plusieurs Go, cette question a perdu un peu de son intérêt pratique, mais reste très prisée en théorie des nombres, pour la décomposition en produit de facteurs premiers avec le crible général de corps de nombres (GNFS) (méthode Lanczos par blocs)
- ja:線型代数学 ko:선형대수학 simple:Linear algebra

Mathématiques

Les mathématiques peuvent être définies de plusieurs façons, complémentaires :
- la science des nombres et de l’espace
- la science des formes de déduction
- la science des structures, des modèles ou de tous les mondes possibles On pourrait aussi parler de la Mathématique pour souligner que les diverses composantes de celle-ci (algèbre, analyse, géométrie, etc.) sont en fait seulement des façons différentes d'étudier ou de créer des systèmes structurés par des relations (notion généralisée de graphes). Dans cette optique la mathématique est vue comme un édifice à construire ou à reconstruire. Mathématique vient du grec μάθημα (mathêma), science, connaissance, apprentissage (mathematikos : qui aime apprendre). L’origine historique des mathématiques est liée à leurs applications concrètes, le commerce, la mesure des surfaces, la prédiction des évènements astronomiques. L'adjectif mathématique qualifie tout objet, concept ou terme relatif aux mathématiques. Dans ce sens il s'accorde au mot auquel il est associé, contrairement au terme qui désigne la science des mathématiques, qui est le plus souvent employé au pluriel. La Mathématique, au singulier, n'est plus guère usitée que de manière didactique. L'expression « c'est mathématique » signifie qu'il existe une logique interne et inéluctable propre à l'évènement ou à la série d'évènements ainsi commentée. :« La possibilité même de la science mathématique semble une contradiction insoluble. Si cette science n'est déductive qu'en apparence, d'où lui vient cette parfaite rigueur que personne ne songe à mettre en doute ? Si, au contraire, toutes les propositions qu'elle énonce peuvent se tirer les unes des autres par les règles de la logique formelle, comment la mathématique ne se réduit-elle pas à une immense tautologie ? Le syllogisme ne peut rien nous apprendre d'essentiellement nouveau et, si tout devait sortir du principe d'identité, tout devrait aussi pouvoir s'y ramener. » ::Henri Poincaré, La Science et l'hypothèse

Définitions des mathématiques

La science des nombres et de l’espace

L'étude des mathématiques commence avec les nombres, tout d'abord avec les nombres naturels et les nombres entiers. Les règles gouvernant les opérations usuelles sur les nombres (addition, multiplication, soustraction, division) font partie de l'arithmétique élémentaire. L'algèbre élémentaire est fondée sur l'abstraction de ces règles. L'étude des surfaces simples (polygones, cercles,...) forme la géométrie élémentaire...

La science des formes de déduction

Une déduction consiste à partir de prémisses pour arriver à une conclusion en procédant par des étapes logiques. On peut dire que toutes les sciences sont mathématiques, même l’histoire, au sens où elles font toutes des déductions, et parce qu’une déduction a toujours quelque chose de mathématique, pourvu qu’elle soit juste. Cependant, en mathématiques, l’étude de la forme du raisonnement, indépendamment de ses objets, a une importance cruciale. Montrons-le sur un exemple. Les mêmes axiomes, ceux des espaces vectoriels, peuvent être utilisés à la fois pour étudier des espaces géométriques, l’espace euclidien par exemple et pour étudier l’ensemble des solutions d’une équation différentielle linéaire. Les théorèmes sur les espaces vectoriels sont donc valables à la fois pour la géométrie euclidienne et pour les équations différentielles linéaires. On peut considérer que la théorie abstraite des espaces vectoriels consiste à étudier toutes les déductions qui partent des mêmes axiomes, indépendamment des objets auxquels ils sont appliqués. On étudie alors les formes de déduction et non les objets auxquels ces formes sont appliquées. Cette définition convient bien aux mathématiques appliquées. De nombreuses théories abstraites (les nombres entiers et réels, les fonctions réelles de variable(s) réelle(s) et les équations différentielles, les espaces vectoriels, les groupes, la théorie des probabilités, ...) ont une utilité générale pour toutes les sciences, parce qu’elles peuvent être appliquées à de nombreux objets. Le travail des mathématiques appliquées consiste à développer des théories, dont la valeur est universelle, en vue d’aider les autres sciences dans leurs recherches des conséquences.

La science de tous les mondes possibles

Pour un mathématicien, rien n’est impossible, sauf ce qui est contradictoire. Par là, on veut dire qu’un discours non-contradictoire parle d’un monde concevable, imaginable, idéal. Les mondes possibles sont parfois appelés des structures, lorsqu’ils sont très abstraits, ou des modèles. De ce point de vue, la mathématique est la théorie de tout ce qu’on peut imaginer. On croit souvent à tort que la connaissance de tous les possibles est une ambition démesurée et irréalisable mais elle ne l’est pas. Elle est à notre portée. Il est même très facile de connaître des vérités universelles, valables pour tous les possibles, le principe du tiers exclu par exemple. Tout énoncé sur un monde possible y est ou bien vrai, ou bien faux. Ce n’est pas forcément très intéressant mais c’est un début. Le travail des mathématiques pures consiste à augmenter notre capacité à connaître tous les possibles. Il se trouve qu’il y a des théories particulières (les nombres, les groupes, ...) qui jouent un rôle privilégié dans cette connaissance, et qu’elles sont souvent, mais pas toujours, les mêmes que celles qui intéressent les mathématiques appliquées. C’est pourquoi les structures étudiées ont souvent leur origine dans les sciences naturelles, plus communément en physique. Toutefois, un grand nombre de structures sont purement internes aux mathématiques, unifiant différents champs d'application ou étant des outils aidant aux calculs. En fait, les mathématiques sont la science de la mesure.

La logique et les théories des ensembles

La logique énonce les règles, ou principes, qu’il faut respecter pour faire des déductions correctes. Les théories des ensembles sont des théories très générales qui permettent de formuler et de prouver toutes les connaissances mathématiques.
- Fondation des mathématiques Logique
- Logique
- Calcul propositionnel
- Calcul des prédicats
- Déduction naturelle
- Logiques modales
- Théorie des modèles
- Incomplétude Théories des ensembles
- Théorie des ensembles
- Axiomes de Zermelo-Fränkel
- Théorie des catégories

L’arithmétique et les mathématiques discrètes

Arithmétique
- Théorie des nombres
- Congruences
- Divisibilité
- PGCD / PPCM
- Théorème de d'Alembert-Gauss
- Identité de Bézout
- Petit théorème de Fermat
- Équations diophantiennes
- Cohérence des axiomes de l'arithmétique formelle
- Cryptologie
- Fonctions L
- Dernier théorème de Fermat Mathématiques discrètes
- Mathématiques discrètes
- Théorie des graphes

Les géométries


- Géométrie
- Coupe pentagonale de la pyramide à base carrée
- Géométrie euclidienne
- Géométries non euclidiennes
- Écrire les figures de la géométrie
- Géométrie projective
- Géométrie différentielle
- Géométrie algébrique
- Géométrie non commutative
- Courbe plane
- Orientation
- Anamorphose Trigonométrie
- Trigonométrie classique et formules
- Trigonométrie sphérique

L’algèbre


- Algèbre
- Structure algébrique
- Algèbre élémentaire
- Algèbre abstraite
- Théorie des catégories
- Théorie des groupes
- Algèbre linéaire
- Algèbre multilinéaire
- Théorie de la représentation

L’analyse et la topologie

Analyse
- Analyse
- Suites
- Séries
- Analyse réelle
- Nombres complexes, Analyse complexe
- Analyse fonctionnelle
- Algèbre des opérateurs
- Analyse p-adique
- Analyse rigide
- Équations différentielles
- Équations aux dérivées partielles
- Analyse non standard
- Analyse vectorielle
- Intégrale de Lebesgue
- Intégrale de Riemann
- Développement limité Topologie
- Topologie
- Espaces topologiques
- Espaces métriques
- Topologie algébrique
- Théorie des nœuds
- Théorie des tresses
- K-théorie

La théorie des probabilités


- Probabilités
- Statistiques

Mathématiques appliquées

Les domaines des mathématiques appliquées utilisent la connaissance des mathématiques à fin de résolution des problèmes du monde réel.
- Recherche opérationnelle
- Optimisation
- Modèle mathématique
- Probabilité
- Statistiques
- Mathématiques financières
- Mathématiques commerciales

Mathématiques récréatives


- Mathématiques récréatives
- Jeux mathématiques

Mathématiques élémentaires (non universitaires)


- Mathématiques élémentaires
- Algèbre élémentaire
- Analyse élémentaire
- Arithmétique élémentaire
- Géométrie élémentaire
  - Aire de surfaces usuelles
  - Solides usuels
  - Volume de solides usuels
- Logique élémentaire
- Probabilité élémentaire
- Statistique élémentaire Statistique élémentaire Techniques de calcul
- Techniques de calcul mental
- Règle à calcul
- Boulier
- Liste des articles de technique de calcul
- Critère de divisibilité
- Calculs de longueur

Histoire des mathématiques


- Histoire des mathématiques
- Histoire des polynômes
- Histoire du calcul infinitésimal

Voir aussi

Annexes


- Wikipédia:Index thématique
- Mathématiciens célèbres
- Abréviations en mathématiques
- Associations de mathématiciens
  - :en:Clay Mathematics Institute
  - Association Bourbaki
  - Femmes et mathématiques
  - Société Mathématique de France
  - Société de Mathématiques Appliquées et Industrielles
- Concours de mathématique
  - Olympiades de mathématiques
- Médaille Fields
- Nombre
- Norme d'opérateur
- Numération
  - Numération romaine
- Tables
  - Table d'addition
  - Table de multiplication
  - Table des bases
  - Table des diviseurs
  - Table des facteurs premiers
  - Table des symboles mathématiques
  - Table de constantes mathématiques
  - Table de limites
  - Table de dérivées
  - Table de primitives
  - Table d'intégrales

Liens internes


- Conjecture
- Construction des objets courants
- Erreur de signes
- Langage formel mathématique
- Liste des articles de mathématiques
- Liste des fonctions mathématiques
- Liste des nombres
  - Ordre de grandeur (nombre)
- Nombre figuré
- Liste des 23 problèmes de Hilbert
- Vocabulaire multilingue mathématique

Liens externes


- [http://math-editor.sourceforge.net/fr Barre Maths] Un modèle libre pour Microsoft Word permettant d'écrire des formules mathématiques très efficacement
- [http://www.apprendre-en-ligne.net/madimu/ Madimu] Un cours complet sur tous les thèmes traités de la 1ère à la 3e année de lycée... en Suisse
- [http://dmoz.org/World/Fran%c3%a7ais/Sciences/Math%c3%a9matiques/ Répertoire Mathématiques dmoz.org]
- [http://www.les-mathematiques.net www.les-mathematiques.net] Cours de qualité niveau deug/licence/agreg
- http://planetmath.org/ : encyclopédie collaborative, libre (GFDL) en anglais sur les mathématiques.
- [http://www.ilemaths.net l'île des mathématiques] : cours et exercices pour le collège et lycée, forums d'entraide scolaire.
- [http://www.mathematex.net/phpBB2/index.php MathemateX] Forum d'entraide mathématiques avec support Latex
- [http://www.maths-forum.com/ Forum Mathématiques] Forum d'entraide mathématiques
- [http://www.ac-creteil.fr/Colleges/93/jmoulinmontreuil/mathematiques/menu/frameset.html Maths au collège :] animations Flash illustrant les plus célèbres démonstrations du théorème de Pythagore, des illusions d'optique et des courbes du plan tracées dynamiquement (hypocycloïdes...).
- [http://maxima.sourceforge.net/ Maxima], le logiciel libre (GPL) le plus sophistiqué pour les opérations algébriques.
- [http://pari.math.u-bordeaux.fr/ PARI/GP], un logiciel libre très utilisé en théorie des nombres.
- [http://www.chez.com/ophtasurf/illusion.htm Illusions d'optique] : des centaines d'illusions d'optique géométriques
- [http://perso.wanadoo.fr/jpq/ perso.wanadoo.fr/jpq/] propose des animations Java pour illustrer des notions de mathématiques et en particulier de probabilités.
- [http://perso.wanadoo.fr/gilles.costantini Bac à Maths] des documents étoffés pour le lycée et les études supérieures.
- [http://www.mathprepa.com Mathprépa.com] : une zone de mathématiques pour étudiants en classes préparatoires
- [http://www.xasa.com/directorio/mozilla/Top/World/Fran%c3%a7ais/Sciences/Math%c3%a9matiques/ Répertoire, Usenet]
- [http://www.forum.math.ulg.ac.be/ Math en ligne] : Forum d'aide en math fait par l'université de Liège
- [http://www.chronomath.com/ Chronomath] : Une chronologie des mathématiques très riche.
- [http://www.maths-express.com/ Maths-Express] : Des annales pour le baccalauréat, concours général et olympiades.
- [http://forum.maths-express.net/ Forum de maths] : Pour les élèves de lycée préparant le baccalauréat, le concours général ou les olympiades.
- [news:fr.sci.maths Forum Usenet francophone]; ses [http://groups.google.fr/groups?q=insubject%3AFAQ+OR+insubject%3Aconseils+group%3Afr.sci.maths&scoring=d&filter=0 FAQ et CU]
- [news:fr.education.entraide.maths Forum francophone d'entraide]
- [http://groups.google.fr/groups?q=sci.math Forums Usenet anglophones]
- [http://mathworld.wolfram.com/ La plus complète des ressources en Mathématiques (en anglais)]
- [http://www.contraintes.net Un site consacré aux contraintes artistiques volontaires] et sa rubrique dédié aux [http://www.contraintes.net/index.php/Bande_dessin%C3%A9e_%C3%A0_contraintes mathématiques à contraintes]
- [http://www.aromath.net @romath] Un site entièrement consacré aux mathématiques et à leur enseignement dans les lycées français.
- [http://www.SoSMath.be SoSMath.be:Forum d'aide en Math (SoSMath.fr)]
- [http://www.aide-en-maths.com: Forum d'aide en Maths pour le secondaire (aide-en-maths.com)]
- ja:数学 ko:수학 ms:Matematik simple:Mathematics th:คณิตศาสตร์ zh-min-nan:Sò·-ha̍k

Espace vectoriel

Catégorie:Algèbre linéaire En mathématiques, le concept d'espace vectoriel est lié à la généralisation des vecteurs géométriques.

Définition

Un espace vectoriel E sur un corps (commutatif) \mathbb ou, plus précisément, ( \mathbb , + , • ) , est un ensemble muni de deux lois, l'une interne notée « + » (attention à ne pas la confondre avec la première loi du corps \mathbb) , et l'autre externe notée « • », qui vérifient les propriétés suivantes, appelées aussi axiomes :
- ( E , + ) est un groupe commutatif, c'est-à-dire :
  - la loi « + » est associative : :: \forall\, \vec u \in E , \ \forall\, \vec v \in E , \ \forall\, \vec w \in E , \ ( \vec u + \vec v ) + \vec w = \vec u + ( \vec v + \vec w ) \,
  - la loi « + » est unifère, elle a un élément neutre : :: \exists\, \vec 0 \in E , \ \forall\, \vec u \in E , \ \vec 0 + \vec u = \vec u + \vec 0 = \vec u \,
  - la loi « + » est symétrisable, tout élément de E a un opposé : :: \forall\, \vec u \in E , \ \exists\, (- \vec u) \in E\, /\, \ \vec u + (-\vec u) = (-\vec u) + \vec u = \vec 0 \,
  - la loi « + » est commutative : :: \forall\, \vec u \in E , \ \forall\, \vec v \in E , \ \vec u + \vec v = \vec v + \vec u \,
- la loi externe « • » est une application \mathbb \times E \to E,\, (\lambda,\, \vec u) \mapsto \lambda \cdot \vec u (on note aussi \lambda\, \vec u).
:Elle permet à \mathbb d'opérer sur E, selon les quatre axiomes suivants :
  - l'élément unité « 1 » du corps \mathbb est neutre à gauche pour la loi « • » : :: \forall\, \vec u \in E , \ 1 \cdot \vec u = \vec u \,
  - la loi « • » est distributive à gauche par rapport à l'addition de E : :: \forall\, \lambda \in \mathbb , \ \forall\, \vec u \in E , \ \forall\, \vec v \in E , \ \lambda \cdot ( \vec u + \vec v ) = ( \lambda \cdot \vec u ) + ( \lambda \cdot \vec v ) \,
  - la loi « • » est exodistributive à droite par rapport à l'addition du corps \mathbb : :: \forall\, \lambda \in \mathbb , \ \forall\, \mu \in \mathbb , \ \forall\, \vec u \in E , \ ( \lambda + \mu ) \cdot \vec u = ( \lambda \cdot \vec u ) + ( \mu \cdot \vec u ) \,
  - la loi « • » est exoassociative par rapport à la multiplication du corps \mathbb ( elle l'« importe » dans l'espace vectoriel) : :: \forall\, \lambda \in \mathbb , \ \forall\, \mu \in \mathbb , \ \forall\, \vec u \in E , \ ( \lambda \times \mu ) \cdot \vec u = \lambda \cdot ( \mu \cdot \vec u ) \, On appelle les éléments de \mathbb K des scalaires, par opposition aux éléments de E, appelés vecteurs ; en particulier, \vec 0 est le vecteur nul. Étant donnés un scalaire \ \lambda et un vecteur \vec u, le vecteur \lambda \cdot \vec u, souvent noté \lambda\, \vec u, est appelé produit de ce scalaire et de ce vecteur. Remarque : la loi « • » devrait en réalité vérifier 6 axiomes : 3 pour régler ses rapports avec les 3 autres lois impliquées, et 3 pour régler son comportement vis-à-vis de leurs 3 éléments neutres. Cependant, seuls quatre de ces six axiomes sont indépendants entre eux. Les deux « axiomes » suivants se déduisent en fait des précédents :
  - l'élément zéro « 0 » du corps \mathbb est exoabsorbant à gauche pour la loi « • » : :: \forall\, \vec u \in E , \ 0 \cdot \vec u = \vec 0 \,
  - l'élément neutre de l'addition vectorielle est absorbant à droite pour la loi « • » : :: \forall\, \lambda \in \mathbb , \ \lambda \cdot \vec 0 = \vec 0 \, Notations : on a désigné ci-dessus les vecteurs par des lettres latines surmontées d'une flèche. Cette notation, héritée du calcul vectoriel élémentaire (vecteurs du plan ou de l'espace), n'est pas usuelle en algèbre linéaire, compte tenu de la grande diversité des situations. En effet, on verra que les vecteurs peuvent être des applications, des polynômes, des matrices, etc. qu'il n'est pas habituel de noter ainsi. On abandonne donc cette notation dans la suite de l'article. On désignera le plus souvent les vecteurs par des minuscules latines (u, v, etc.) et les scalaires par des minuscules grecques (α, β, λ, etc.). En particulier, on notera 0 le vecteur nul d'un espace vectoriel E (il n'y a pas de risque de confusion avec le scalaire nul) ; si l'on tient à faire la distinction, on pourra désigner par 0_E le vecteur nul de E. Terminologie : un espace vectoriel sur \mathbb (respectivement : sur \mathbb, sur \mathbb) sera également appelé espace vectoriel rationnel (respectivement : espace vectoriel réel, espace vectoriel complexe). Quelques propriétés élémentaires : soient un scalaire \ \lambda et deux vecteurs u,\, v de E :
- \ (-1)\, u = -u
- lorsque \ \lambda \neq 0, \ v = \lambda\, u \iff u = \frac\, v
- si \ \lambda\, u = 0_E, alors \ \lambda = 0 ou (inclusif) \ u = 0_E

Exemples


  - Le corps \mathbb lui-même, muni de sa loi d'addition et de multiplication par un scalaire.
    - neutre pour l'addition : 0
  - Le produit cartésien \mathbb^n (ensemble des n-listes ou n-uplets d'éléments de \mathbb) muni des lois
    - +:((x_1,...,x_n),(y_1,...,y_n))\in\mathbb^n\times\mathbb^n \mapsto (x_1+y_1,...,x_n+y_n)
    - \cdot:(\lambda,(y_1,...,y_n))\in\mathbb\times\mathbb^n \mapsto (\lambda\, y_1,...,\lambda\, y_n)
    - neutre pour l'addition : (0,...,0), la n-liste dont tous les éléments sont nuls
  - l'ensemble \mathbb[X] des polynômes à coefficients dans \mathbb. Les lois «+» et «.» sont définies par : :si P=\sum_^a_k X^k et Q=\sum_^b_k X^k, \ p\leq n :
    - +:(P,Q)\in\mathbb[X] \times \mathbb[X] \mapsto P+Q=\sum_^(a_k+b_k) X^k
    - \cdot:(\lambda,Q)\in\mathbb \times \mathbb[X] \mapsto \lambda\, Q=\sum_^(\lambda\, b_k) X^k
    - neutre pour l'addition : le polynôme nul, celui dont tous les coefficients sont nuls
  - l'ensemble \mathcal_(\mathbb) des matrices à n lignes et p colonnes. Les lois «+» et «.» sont définies par : : si \ A=(a_) et \ B=(b_) :
    - +:(A,B)\in\mathcal_(\mathbb) \times \mathcal_(\mathbb) \mapsto A+B=(a_+b_)
    - \cdot:(\lambda,B)\in\mathbb \times \mathcal_(\mathbb) \mapsto \lambda\, B=(\lambda\, b_)
    - neutre pour l'addition : la matrice nulle, celle dont tous les coefficients sont nuls
  - l'ensemble \mathcal = E^D des applications définies sur un ensemble quelconque (non vide) D, et à valeurs dans un espace vectoriel E sur \mathbb. Les lois «+» et «.» sont définies par : : si \ f \in \mathcal, \ g \in \mathcal et \ \lambda \in \mathbb, on pose pour tout \ x \in D, \ s(x) = f(x) + g(x), \ p(x) = \lambda\, f(x) :
    - +:(f,g)\in \mathcal \times \mathcal \mapsto f+g=s
    - \cdot:(\lambda,f)\in\mathbb \times \mathcal \mapsto \lambda\, f=p
    - neutre pour l'addition : l'application nulle, celle qui envoie tout élément de D sur le vecteur nul de E

Sous-espaces vectoriels

Combinaisons linéaires

Soient (\lambda_i)_ une famille de scalaires tous nuls, sauf un nombre fini d'entre eux, et (x_i)_ une famille de vecteurs de E. La combinaison linéaire de la famille de vecteurs (x_i)_ ayant pour coefficients (\lambda_i)_ est le vecteur de E noté \sum_\lambda_i\, x_i, égal par définition à \sum_\lambda_i\, x_i, où \ J = \left\ (l'ensemble I peut fort bien être infini ; mais J est fini par hypothèse, ce qui donne un sens à la définition, puisqu'on ne sait définir la somme que pour un nombre fini de vecteurs. Lorsque les coefficients sont tous nuls, on convient que la combinaison linéaire est nulle). Cas particulier usuel : si I est un ensemble fini à m éléments (m ≥ 1), par exemple l'ensemble des entiers naturels compris entre 1 et m, les combinaisons linéaires sont les vecteurs pouvant s'écrire : \sum_^m \lambda_i\, x_i, ou encore \lambda_1\, x_1 + \cdots + \lambda_m\, x_m. Un espace vectoriel E est par définition stable par combinaisons linéaires (toute combinaison linéaire de vecteurs de E est un vecteur de E).

Définition

Soit E un \mathbb K-espace vectoriel et F un sous-ensemble non vide de E . On dit que F est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si : :les lois « + » et « • » peuvent être induites sur F, et, muni de ces lois induites, F est un \mathbb K -espace vectoriel.

Propriété fondamentale

Le sous-ensemble F est un \mathbb K-sous-espace vectoriel de E ssi :
- F \neq \emptyset \, ;
- \forall\, u \in F , \ \forall\, v \in F , \ u + v \in F \, ;
- \forall\, \lambda \in \mathbb , \ \forall\, u \in F , \ \lambda\, u \in F \,. Ceci équivaut à :
- F \neq \emptyset \,;
- \forall\, u \in F, \ \forall\, v \in F, \ \forall\, \lambda \in \mathbb, \ \lambda\, u + v \in F\,. En d'autres termes, F est un sous-espace vectoriel de E si et seulement s'il n'est pas vide et est stable par combinaisons linéaires. Nota : dans tout espace vectoriel E non réduit à \ \, il y a au moins deux sous-espaces vectoriels. Ce sont \ \ et E lui-même : on les appelle les deux sous-espaces vectoriels triviaux. Remarque : un sous-espace vectoriel F de E contient nécessairement le vecteur nul \ 0_E de E (en effet, comme F est non vide, il existe au moins un élément \ u_0 de F ; alors, pour tout \ \lambda dans \ \mathbb, \lambda\, u_0 appartient à F ; le choix \ \lambda = 0 donne 0_E = 0 \cdot u_0 \in F). C'est pourquoi, lorsqu'il s'agit de montrer qu'un sous-ensemble F de E est un sous-espace vectoriel de E, on vérifie que F n'est pas vide en s'assurant qu'il contient le vecteur nul.

Intersection de deux sous-espaces vectoriels

Propriété

Soient F_1\quad et F_2\quad deux sous-espaces vectoriels de E. Alors :
- F_1 \cap F_2 est un sous-espace vectoriel de E .

Somme de deux ou plusieurs sous-espaces vectoriels

Définition

Soient F_1\quad et F_2\quad deux sous-espaces vectoriels de E. On définit le sous-ensemble suivant de E : : F_1 + F_2 = \left\ .

Propriété et définition


- F_1 + F_2\quad est un sous-espace vectoriel de E contenant à la fois F_1 \quad et F_2\quad . On l'appelle somme de F_1\quad et F_2\quad.
- Si F est un sous-espace vectoriel de E contenant à la fois F_1 \quad et F_2\quad , alors F_1 + F_2 \subset F . :C'est pourquoi on dit que F_1 + F_2\quad est le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant F_1 \cup F_2. Cela équivaut à :
- F_1 + F_2\quad est l'intersection de tous les sous-espaces vectoriels de E contenant F_1 \cup F_2. Remarque : la réunion de deux sous-espaces vectoriels n'est pas, en général, un sous-espace vectoriel ; pour qu'elle le soit, il faut et il suffit que l'un des deux soit inclus dans l'autre.

Généralisation

Soient F_1,\, F_2,\, \dots, F_m m sous-espaces vectoriels de E. On définit le sous-ensemble suivant de E : : \sum_^m F_i = \left\ . :C'est l'ensemble des vecteurs de E qui admettent au moins une décomposition en somme de vecteurs appartenant respectivement aux sous-espaces vectoriels F_1,\, F_2,\, \dots, F_m (si cette décomposition est de plus unique, la somme des sous-espaces est dite directe). Dès lors :
- \sum_^m F_i est un sous-espace vectoriel de E contenant à la fois F_1,\, F_2,\, \dots, F_m . On l'appelle somme de ces sous-espaces.
- Si F est un sous-espace vectoriel de E contenant à la fois F_1,\, F_2,\, \dots, F_m , alors \sum_^m F_i \subset F . :On dit de même que \sum_^m F_i est le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant F_1 \cup F_2 \cup \cdots \cup F_m.

Sous-espace vectoriel engendré

Définition

Soit A \subset E une partie quelconque non vide de E. On définit le sous-ensemble suivant de E : : \mbox\,(A) = \left\. :(ainsi, \mbox\,(A) est par définition l'ensemble des combinaisons linéaires d'éléments de A).

Propriété

Soient A et B deux parties de E.

- L'ensemble \mbox\,(A) est un sous-espace vectoriel de E, et il contient A.
- Si F est un sous-espace vectoriel de E contenant A, alors \mbox\,(A) \subset F. : C'est pourquoi on dit que \mbox\,(A) est le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant A. :On l'appelle sous-espace vectoriel de E engendré par A. Nota : considérons l'application \varphi : \mathcal(E) \to \mathcal(E), A \mapsto \mbox\,(A), où \mathcal(E) désigne l'ensemble des parties de E. On désigne par A et B deux parties quelconques de E. Il résulte de la propriété précédente que :
- L'application \varphi est croissante : si A \subset B, alors \mbox\,(A) \subset \mbox\,(B) .
- L'application \varphi est extensive : A \subset \mbox\,(A) .
- L'application \varphi est idempotente : \mbox((\mbox\,(A)) = \mbox\,(A) : On dit alors que \varphi est une fermeture. Les sous-espaces vectoriels de E sont les points fixes de \varphi :
- Pour que A soit un sous-espace vectoriel de E, il faut et il suffit que \mbox\,(A) = A.

Propriété

Soient A et B deux parties de E. Alors :
- \mbox\,(A) + \mbox\,(B) = \mbox\,(A \cup B)

Familles libres, familles génératrices, bases

Familles libres, familles liées

Définitions


- Une famille \mathcal d'éléments de E est dite libre (sur \mathbb) lorsque toute combinaison linéaire d'éléments de \mathcal à coefficients non tous nuls est non nulle, autrement dit lorsque la seule combinaison linéaire nulle d'éléments de \mathcal est celle dont tous les coefficients sont nuls ; on dit aussi dans ce cas que les vecteurs de la famille sont linéairement indépendants.
- Une famille d'éléments de E est dite liée lorsqu'elle n'est pas libre ; cela signifie qu'il existe une combinaison linéaire nulle des éléments de cette famille à coefficients non tous nuls (c'est ce qu'on appelle une relation de dépendance linéaire).

Propriété


- Une famille d'éléments de E est liée si et seulement si l'un de ses éléments peut s'exprimer comme combinaison linéaire des autres. :On peut donc interpréter la liberté d'une famille comme une condition de minimalité, puisqu'une famille liée est caractérisée par le fait d'avoir au moins un élément « redondant ».
Nota

- Il en résulte qu'une famille \ (u_1,\, u_2) de deux vecteurs de E est liée si et seulement s'il existe un scalaire \ \alpha tel que \ u_2 = \alpha\, u_1 ou un scalaire \ \beta tel que \ u_1 = \beta\, u_2. On dit dans ce cas que les deux vecteurs sont colinéaires. :Autrement dit, une famille de deux vecteurs de E est libre si et seulement si ces vecteurs ne sont pas colinéaires.
- On prendra garde au fait que la propriété précédente ne s'étend pas à des familles ayant plus de deux éléments. Même si on ne peut pas y trouver deux vecteurs colinéaires, on ne peut pas affirmer que la famille soit libre.

Familles génératrices

Définition


- Une famille d'éléments de E est dite génératrice (de E) lorsque tout élément de E peut s'exprimer d'au moins une manière sous la forme d'une combinaison linéaire des éléments de cette famille. :C'est une condition de maximalité, car cela signifie que la famille porte en elle suffisamment d'information pour reconstituer tout l'espace.

Bases

Définition


- On appelle base de l'espace vectoriel E toute famille d'éléments de E libre et génératrice. :Une base est donc assez grande pour engendrer l'espace, mais pas trop pour ne pas faire apparaître de relations entre ses éléments.

Propriété et définition


- Une famille \mathcal d'éléments de E en est une base si et seulement si tout élément u de E s'exprime de manière unique comme combinaison linéaire des éléments de \mathcal.
- Les coefficients de cette combinaison linéaire sont alors appelés les composantes de u en base \mathcal. Nota : on démontre au moyen de l'axiome du choix que tout espace vectoriel non réduit à \ \ admet au moins une base ; mais, en dehors du cas des espaces vectoriels de dimension finie (voir ci-dessous), on est le plus souvent dans l'incapacité d'expliciter une base.

Espaces vectoriels de dimension finie

Théorème de la dimension


- Si un espace vectoriel E admet une base ayant un nombre fini d d'éléments, alors toute base de E a ce même cardinal d.
- L'entier d est appelé la dimension de E, notée \dim_ E, ou s'il n'y a pas d'ambiguïté, \dim E. :On dit alors que E est un espace vectoriel de dimension finie (sur \mathbb ), égale à d.
- On convient qu'un espace vectoriel réduit à \ \ (et qui n'a donc pas de base) est de dimension finie, égale à 0.
Cas particuliers

- On appelle droite vectorielle tout espace vectoriel de dimension finie égale à 1.
- On appelle plan vectoriel tout espace vectoriel de dimension finie égale à 2.

Propriété

Un espace vectoriel E est de dimension finie si et seulement s'il admet une famille génératrice ayant un nombre fini d'éléments.

Propriété

Soit E un espace vectoriel de dimension finie (non nulle) égale à n. Alors :
- toute famille génératrice de E a au moins n éléments ; si une famille génératrice de E a n éléments, c'est une base de E (on dit que les bases sont les familles génératrices minimales)
- toute famille libre de E a au plus n éléments ; si une famille libre de E a n éléments, c'est une base de E (on dit que les bases sont les familles libres maximales).

Théorème de la base incomplète

Soient E un espace vectoriel de dimension finie n strictement supérieure à 1, et \ (u_1, \dots, u_p) une famille libre de vecteurs de E telle que \ p < n (autrement dit, une famille libre qui n'est pas une base : elle n'est pas maximale). Alors, il existe \ n - p vecteurs de E, qu'on peut noter \ (u_, \dots, u_n), tels que la famille \ (u_1, \dots, u_n) soit une base de E. On dit qu'on a complété la famille libre \ (u_1, \dots, u_p) en une base de E.

Sous-espaces vectoriels en dimension finie

Soit E un espace vectoriel de dimension finie. Alors :
- tout sous-espace vectoriel F de E est de dimension finie, et dim F ≤ dim E
- si F est un sous-espace vectoriel de E tel que dim F = dim E, alors F = E. Nota : ce théorème fournit une méthode importante pour montrer que deux sous-espaces vectoriels de dimension finie F, G d'un même espace vectoriel E sont égaux. Il suffit pour cela de prouver que l'un des deux est inclus dans l'autre, et qu'ils ont la même dimension.
Formule de Grassmann
Soient E un espace vectoriel de dimension finie, et F_1,\, F_2 deux sous-espaces vectoriels de E. Alors : :\dim (F_1 + F_2) + \dim(F_1 \cap F_2) = \dim F_1 + \dim F_2. Nota : les espaces vectoriels qui ne sont pas de dimension finie sont dits de dimension infinie (cf. les exemples en fin d'article). Pour qu'un espace vectoriel E soit de dimension infinie, il faut et il suffit qu'il existe une famille libre infinie d'éléments de E.

Espace dual

Voir Espace dual

Exemples d'espaces (et de sous-espaces) vectoriels

On note \mathbb un corps (commutatif).
- On a vu plus haut que l'ensemble \mathbb^n des n-listes (ou n-uplets) d'éléments de \mathbb est un espace vectoriel sur \mathbb.
:Si, pour tout entier k compris entre 1 et n, on définit la n-liste \ e_k dont tous les éléments sont nuls, sauf le k-ième, égal à 1, alors la famille \mathcal = (e_1,\, \dots,\, e_n) est une base de \mathbb^n, appelée base canonique.
:Tout vecteur u = (x_1,\, \dots,\, x_n) \in \mathbb^n se décompose dans cette base sous la forme u = x_1\, e_1 + \cdots + x_n\, e_n : les composantes de u en base canonique sont x_1,\, \dots,\, x_n . Ainsi, l'espace vectoriel \mathbb^n est de dimension finie égale à n. :En particulier, l'ensemble \mathbb^n des n-listes de réels est un espace vectoriel réel de dimension n.
- Considérons les quatre ensembles suivants : :L'ensemble \mathbb R^ des suites réelles (les applications définies sur \mathbb, à valeurs dans \mathbb) :l'ensemble \mathcal des suites réelles convergentes :l'ensemble \mathcal des suites réelles qui convergent vers 0 :l'ensemble \mathbb^ des suites réelles à termes tous nuls à partir d'un certain rang :On sait que \mathbb R^ est un espace vectoriel réel, et l'on vérifie que les trois autres ensembles en sont des sous-espaces vectoriels ; on a les inclusions suivantes : \mathbb^ \subset \mathcal \subset \mathcal \subset \mathbb R^. :Ces quatre espaces vectoriels sont tous de dimension infinie : pour le justifier, il suffit de prouver que \mathbb^ est de dimension infinie. :Pour cela, on définit, quel que soit i \in \mathbb, la suite \ e_i dont les termes (réels) sont tous nuls, à l'exception du terme d'indice i, égal à 1 : la famille (e_i)_ est une famille libre infinie de vecteurs de \mathbb^ (c'en est même une base) ; ceci établit la propriété annoncée.
- On a vu plus haut que l'ensemble \mathbb[X] des polynômes à coefficients dans \mathbb est un espace vectoriel sur \mathbb ; la famille (X^k)_ est une base, appelée base canonique, de cet espace vectoriel : les composantes d'un polynôme dans cette base sont ses coefficients. Ainsi, l'espace vectoriel \mathbb[X] est de dimension infinie. :Pour tout n \in \mathbb, l'ensemble \mathbb_n[X] des polynômes à coefficients dans \mathbb, et de degré inférieur ou égal à n, est un sous-espace vectoriel de \mathbb[X], de dimension n + 1, car la famille \ (X^0, \, \dots,\, X^n) est une base de ce sous-espace vectoriel.
- On sait que l'ensemble des fonctions définies sur un intervalle I à valeurs dans \mathbb est un espace vectoriel réel ; l'ensemble des fonctions continues sur I à valeurs dans \mathbb, l'ensemble des fonctions dérivables sur I à valeurs dans \mathbb, en sont des sous-espaces vectoriels. :Ils sont tous de dimension infinie. En effet, pour tout i \in \mathbb, soit la fonction \ e_i : I \to \R,\, x \mapsto x^i ; alors, la famille (e_i)_ est une famille libre infinie de vecteurs appartenant à chacun des ces trois espaces vectoriels, ce qui établit la propriété annoncée.
- Soient \mathbb un corps (commutatif) et \mathbb un sous-corps. L'ensemble \mathbb, muni de l'addition des éléments de \mathbb et du produit par un élément de \mathbb, est un espace vectoriel sur \mathbb. Donnons-en deux exemples :
  - l'ensemble \mathbb, muni de l'addition des complexes et du produit par un réel, est un espace vectoriel réel. La famille (1, i) est une base de cet espace vectoriel, puisque tout nombre complexe z s'écrit de manière unique z = x 1 + y i, où x, y sont deux réels ; l'espace vectoriel \mathbb est donc de dimension 2 sur \mathbb : \dim_ \mathbb = 2.
  - l'ensemble \mathbb, muni de l'addition des réels et du produit par un rationnel, est un espace vectoriel rationnel. Il est de dimension infinie sur \mathbb : on va le prouver en montrant l'existence d'une famille infinie de réels qui est libre sur \mathbb. ::En effet, on sait qu'il existe dans \mathbb des nombres transcendants (tels que \pi ou la base \mathrm des logarithmes népériens) : ce sont par définition des réels qui ne sont racines d'aucun polynôme à coefficients rationnels autre que le polynôme nul. ::Si x est un réel transcendant, alors la famille infinie \left(x^i\right)_ des puissances de x est libre sur \mathbb : dans le cas contraire, on pourrait trouver n \in \mathbb, et des rationnels \alpha_0, \dots, \alpha_n non tous nuls, tels que \sum_^n \alpha_k\, x^k = 0 ; cela signifierait que x est racine du polynôme non nul P = \sum_^n \alpha_k\, X^k \in \mathbb[X], et contredirait la transcendance de x.

Voir aussi


- Vecteur
- Structure algébrique
- Application linéaire ja:ベクトル空間 ko:벡터 공간

Application linéaire

En mathématiques, une application linéaire (aussi appelée opérateur linéaire ou transformation linéaire) est une application entre deux espaces vectoriels qui respecte l’addition des vecteurs et la multiplication scalaire définie dans ces espaces vectoriels, ou, en d’autre termes, qui « préserve les combinaisons linéaires ».

Définitions

Soit : ƒ : E → F une application où E et F sont deux \mathbb K espaces vectoriels. : ƒ est une application linéaire (ou morphisme de \mathbb K espaces vectoriels) si : :
- \forall x \in E , \forall y \in E , f(x+y) = f(x) + f(y) :
- \forall \lambda \in \mathbb K, \forall x \in E, f(\lambda \cdot x) = \lambda \cdot f(x) Une application possédant la première propriété est dite additive, et, pour la seconde, homogène. : ƒ est un isomorphisme si : :
- ƒ est un morphisme :
- ƒ est bijective : ƒ est un endomorphisme si : :
- ƒ est un morphisme :
- F = E : ƒ est un automorphisme si : :
- ƒ est un endomorphisme :
- ƒ est bijective : Si F = \mathbb K, on parle de forme linéaire. On note
- L_(E,F) l’ensemble des applications linéaires de E dans F ;
- Isom_(E,F) l’ensemble des isomorphismes ;
- L_(E) l’ensemble des endomorphismes ;
- GL_(E) (appelé aussi le groupe linéaire]], c’est un groupe abélien) l’ensemble des automorphismes.

Noyau et Image

Si ƒ est une application linéaire de E dans F, on définit le noyau de ƒ, noté ker(ƒ) (kern signifie « noyau » en allemand), et l’image de ƒ, notée im(ƒ), par :\ker(f)=\ :\operatorname(f)=\ ker(ƒ) est un sous-espace vectoriel de E et im(ƒ) est un sous-espace de F. La formule suivante sur les dimensions est souvent utile : : \dim(\ker( f )) + \dim(\operatorname( f )) = \dim( E ) \, Le nombre dim(im(ƒ)) est aussi appelé rang de ƒ et est noté rg(ƒ). Si E et F sont de dimension finie et ƒ est représenté par la matrice A, alors le rang de ƒ est égal au rang de la matrice A ; une telle applicaiton linéaire est un tenseur d'ordre 2, une fois covariant, une fois contravariant.

Exemples


- la fonction linéaire « habituelle » : f : x \mapsto a\cdot x où a est un scalaire ;
- les combinaisons linéaires de vecteurs
- l’application dérivation :
- : d : D(\mathbb,\mathbb) \to F(\mathbb,\mathbb)
- :: f\quad \mapsto\quad f' ja:線型写像 catégorie:Algèbre linéaire catégorie:tenseur

Descartes

René Descartes (La Haye en Touraine, France, 31 mars 1596 - Stockholm, Suède, 11 février 1650) est un homme de science (philosophe, mathématicien, physicien, etc.) français, considéré comme le fondateur de la philosophie moderne.

Biographie

René Descartes est né le 31 mars 1596 à La Haye, dans une famille noble de la Touraine. Il était le troisième enfant de Joachim Descartes, conseiller au parlement de Rennes. Sa mère mourut un an après sa naissance, et Descartes fut élevé par sa grand-mère. Enfant maladif, il se fit remarquer par ses dons intellectuels précoces. Son père l’appelait le philosophe, car le petit René ne cessait de poser des questions. :« Joachim Descartes n’étoit pas tellement occupé des fonctions de sa charge, et des établissements de sa nouvelle famille en Bretagne, qu’il ne se donnât aussi le loisir de songer à son fils, qu’il avoit coûtume d’appeler son philosophe, à cause de la curiosité insatiable avec laquelle il lui demandait les causes et les effets de tout ce qui lui passait par les sens. » (Baillet, Vie de M. Descartes) À l’âge de huit ans, Descartes entra au Collège royal de la Flèche, où enseignaient les Jésuites, et il y resta jusqu’à l’âge de 18 ans ; il reçut un traitement de faveur en raison de sa mauvaise santé et de ses dons. Il apprit la physique et la philosophie scolastique et étudia les mathématiques. Il dira plus tard dans son Discours de la méthode combien ces études lui paraissaient incohérentes et peu propres à la bonne conduite de la raison. De cette période, nous ne conservons qu’une lettre d’authenticité douteuse (elle est peut-être de l’un de ses frères), lettre que Descartes aurait écrite à sa grand-mère. En 1616, il obtient son baccalauréat et sa licence de droit à l’université de Poitiers. Après ses études, il partit vivre à Paris. De cette époque date un traité d’escrime. Il finit par se retirer en solitaire dans un quartier de la ville pour se consacrer à l’étude. Après deux années de cette vie cachée (Heureux qui a vécu caché était alors sa devise), il décide d’étudier le grand livre du monde. Il s’engage alors en 1618 en Hollande à l’école de guerre de Maurice de Nassau, prince d’Orange, et fait la même année la connaissance du physicien Beeckman. C’est à ce dernier que sont adressées les premières lettres que nous avons de Descartes, et l’Abrégé de musique a été rédigé pour lui. Beeckman tenait un journal de ses recherches, et il y relate les idées sur les mathématiques, la physique, la logique, etc. que Descartes lui communiquait ; ce dernier consacrait alors ses heures de loisir à l’étude et aux mathématiques. En 1619, Descartes quitte la Hollande pour le Danemark, puis l’Allemagne, où la guerre de Trente ans allait éclater, et assista au couronnement de l’Empereur Ferdinand à Francfort. Il s’engage alors dans l’armée du duc Maximilien de Bavière. C’est pendant ses quartiers d’hiver (1619 - 1620) à Neuburg que se révèle à lui une pensée décisive pour sa vie : le 10 novembre 1619, il fait en effet trois songes exaltants qui l’éclairent sur sa vocation : :« Le 10 novembre 1619 lorsque rempli d’enthousiasme je trouvai le fondement d’une science admirable… » (Olympiques, fragment) Baillet en a fait le récit, dont voici le début :« La recherche qu’il voulut faire de ces moyens, jetta son esprit dans de violentes agitations, qui augmentèrent de plus en plus par une contention continuelle où il le tenait, sans souffrir que la promenade ni les compagnies y fissent diversion. Il le fatigua de telle sorte que le feu lui prît au cerveau, et qu’il tomba dans une espéce d’enthousiasme, qui disposa de telle maniére son esprit déjà abattu, qu’il le mit en état de reçevoir les impressions des songes et des visions. :Il nous apprend que le dixiéme de novembre mille six cent dix-neuf, s’étant couché tout rempli de son enthousiasme, et tout occupé de la pensée d’avoir trouvé ce jour là les fondements de la science admirable, il eut trois songes consécutifs en une seule nuit, qu’il s’imagina ne pouvoir être venus que d’en haut. » Il raconte alors comment il s’enferma dans son poêle et conçut sa méthode. Il renonça alors à la vie militaire, et de 1620 à 1622, il voyage en Allemagne, et en Hollande, puis revient en France. Ce qu’il a écrit pendant cette période se trouvait dans un petit registre mentionné dans l’inventaire fait à Stockholm après sa mort, mais il est aujourd’hui perdu. Il nous est néanmoins connu par Baillet et par Leibniz qui en avait fait des copies. Ces copies furent retrouvées par Foucher de Careil et publiées en 1859 sous le titre Cogitationes Privatae. Mais il se trouve qu’elles ont depuis de nouveau disparu. De cette époque nous possédons également un De Solidorum elementis. En 1622, Descartes estime sa fortune suffisante pour ne pas avoir à travailler ; il règle ses affaires de famille, et recommence à voyager, visitant l’Italie. De l’été 1625 à l’automne 1627, Descartes est de nouveau en France. Il rencontre le père Marin Mersenne à Paris, et commence à être connu pour ses inventions en mathématique. Il fréquente le monde, cherche la compagnie des savants et se bat en duel. Mais, à l’automne 1627, chez le nonce du pape, le cardinal de Bérulle lui fait obligation de conscience d’étudier la philosophie. Il part alors à la campagne, en Bretagne, pendant l’hiver 1627 - 1628. C’est de cette époque (1622 - 1629) que datent divers traités de mathématiques (sur l’algèbre, l’hyperbole, l’ellipse, la parabole) connus par le journal de Beeckman, et d’autres petits traités qui sont perdus. L'œuvre la plus importante de cette période sont les Règles pour la direction de l’esprit. Cherchant la solitude, il décide de s’installer dans les Provinces-Unies ; il y fait d’abord un bref séjour (à l’occasion duquel il va voir Beeckman), mais revient probablement à Paris pendant l’hiver 1628, puis s’installe définitivement en Hollande au printemps 1629. Sa vie va alors être entièrement consacrée à l’étude. Il s’inscrit à l’Université de Franeker. Il continue pourtant de se déplacer (de 1629 à 1633 : Franecker, Amsterdam, Leyde, Deventer). Souhaitant ne pas être dérangé, il n’indique jamais sur ses lettres le vrai lieu où il se trouve, mais donne le nom de quelque ville. À Amsterdam, Descartes vit au centre de la ville, dans la Kalverstraat, le quartier des bouchers, ce qui lui permet de faire de nombreuses dissections. Il rencontre des savants : Reneri, Hortensius, Plempius, Schooten, etc. Ses rencontres, comme sa volonté de vivre solitaire, sont ainsi toujours subordonnées à sa passion de la recherche. Il commence en 1629 un Traité de métaphysique (aujourd’hui perdu), mais il ne semble pas que ses pensées se soient encore dirigées vers les thèses des Méditations Métaphysiques. S’il formule néanmoins le 15 avril 1630 sa théorie de la création des vérités éternelles, c’est qu’il s’interroge sur la place de la science ; sa métaphysique se développe ainsi d’après ses réflexions de physique, et il ne tire pas encore au clair tous les fondements qui seront exprimés dans ses ouvrages ultérieurs. Mais Descartes s’occupe également de mathématiques : il tente de réformer le système de notation et introduit l’usage des lettres de l’alphabet latin. C’est en 1631, quand Gollius lui proposa le problème de Pappus, qu’il découvre les principes de la géométrie analytique. Il commence les Météores à l’occasion de l’observation des parhélies (observations faites à Rome, en 1629). Il étudie l’optique, découvre les lois de la réfraction, et achève la rédaction de la Dioptrique. Enfin, Descartes veut expliquer tous les phénomènes de la nature : il étudie les êtres vivants et fait de nombreuses dissection à Amsterdam pendant l’hiver 1631 - 1632. De là viendront le Monde et le Traité de l’Homme. Les observations anatomiques de Descartes nous sont connues par les copies de Leibniz et des fragments (Excerpta anatomica, Primae cogitaniones circa generationem animalium, Partes similares et excrementa et morbi, ce dernier daté de 1631). Mais les dates de certains textes sont incertaines (pour certains jusqu’à 1648 peut-être). Les lettres de cette période vont voir le même esprit occupé de science ; on trouve néanmoins quelques remarques d’esthétique sur la musique, et Descartes dit songer à faire un traité de morale (lettre à Mersenne, 4 novembre 1630). Elles nous renseignent également sur son caractère susceptible et dur, méprisant l’irrésolution. À la fin de 1633, Descartes quitte Deventer pour Amsterdam ; en 1635, il est à Utrecht ; il passe ensuite à Leyde (où il avait déjà été en 1630) et s’arrête à Santport en 1637. Pendant cette période, Descartes renonce à publier le Traité du Monde, et décide de donner une autre présentation à son œuvre : ce sera le Discours de la méthode et les Essais qui le suivent. Pourquoi Descartes a-t-il renoncé à publier son traité ? Le Saint-Office, le 24 février 1616, avait condamné les propositions : Sol est centrum mundi et omnino immobilis motu ; en 1620, un décret de la Congrégation des cardinaux avait autorisé de supposer le mouvement de la Terre par hypothèse. Mais l’ouvrage de Galilée, Massami Sistemi, fut condamné le 22 juin 1633, et l’hypothèse du mouvement de la Terre fut interdite. De 1637 à 1641, Descartes vit principalement à Santpoort. Il fait venir auprès de lui Hélène, la servante et amie dont, en 1635, il a eu une fille, Francine. Mais Francine meurt en septembre 1640, laissant à Descartes « le plus grand regret qu’il eût jamais senti de sa vie ». Un mois plus tard, Descartes perd son père, âgé de soixante-dix-huit ans et qui était le doyen du Parlement de Bretagne. Le 31 mars 1641, il s’installe dans le petit château d’Endegeest, agrémenté d’un beau jardin, de vergers et de prairies. C’est là qu’il recevra l’abbé Picot, l’abbé de Touchelaye, le conseiller Desbarreaux et de nombreux amis. En 1641, il répond aux objections de Hobbes contre ses Méditations Métaphysiques. En 1643, il rencontre Élisabeth de Bohême, fille de l’électeur Palatin détrôné en exil en Hollande, et commence une abondante correspondance, qui aboutira au Traité des Passions (1649). Il fait trois séjours en France (1644, 1647 et 1648). C’est au cours du second qu’il rencontrera Pascal et qu’il lui inspirera les expériences du Puy de Dôme sur la pression atmosphérique. En 1650, il accepte l’invitation de la reine Christine à Stockholm ; la rigueur du climat et l’horaire matinal de ses entretiens avec la reine (5 heures) sont pour lui inhabituels et ont raison de sa santé. Il meurt d’une pneumonie le 11 février 1650. En 1667, les restes de Descartes furent rapatriés en France. Depuis 1819 sa tombe est à l'église saint-Germain-des-prés, à Paris. Pourtant honorés par la Convention nationale, en 1792, qui projetait de transférer ses cendres au Panthéon de Paris avec les honneurs dus aux grands hommes, ses restes sont, deux siècles plus tard, toujours « coincés » entre deux autres pierres tombales - celles de Mabillon et de Bernard de Montfaucon - dans une chapelle abbatiale de l’église saint-Germain-des-prés, à Paris. L’arrêté de la Convention n’a toujours pas été appliqué.

Le projet cartésien : la recherche d’une science universelle

Quand Descartes commence à s’intéresser aux sciences, la domination de l’aristotélisme s’est effondrée, laissant la place à une science nouvelle, la mécanique, issue de l’astronomie et de la physique. Les sciences deviennent des disciplines autonomes qui se passent de la métaphysique. La critique de la scolastique touche également les dogmes de la religion. Il y a aussi au une influence des courants philosophiques du stoïcisme, de l’augustinisme et du scepticisme – plus particulièrement en ce qui a trait à l’influence de Montaigne, qui constitue à cet égard une figure représentative du doute qui anime l’époque. Le doute sceptique est une question qui intéresse son siècle : on a conscience de ne pas posséder une vérité indubitable, surtout dans le domaine des moeurs et des opinions, mais on la cherche (le cheminement vers le doute s’oriente vers la vérité). Descartes, avide de connaissances, s’interrogea sur la place de la science dans la connaissance humaine, et élabora une méthode qu’il voulait universelle, aspirant à étendre la certitude mathématique à l’ensemble du savoir, et espérant ainsi fonder une mathesis universalis, une mathématique universelle. Il affirme ainsi que l’univers dans son ensemble (mis à part l’esprit qui est d’une autre nature que le corps) est susceptible d’une interprétation mathématique. Tous les phénomènes doivent pouvoir s’expliquer par des raisons mathématiques, c’est-à-dire par des figures et des mouvements conformément à des lois. Mais il sentira la nécessité d’un fondement métaphysique pour la connaissance, fondement métaphysique lié à la théologie qui permettrait d’affermir la religion. La métaphysique cartésienne a ainsi une double fonction, et le but serait atteint si l’on met en évidence les principes premiers dont on peut déduire tout le reste. C’est le point de départ de toutes les connaissances jusqu’à la morale qui en est le fruit. Enfin, ce projet s’inscrit dans une conception éthique de la recherche de la vérité : :« C’est proprement avoir les yeux fermés, sans tâcher jamais de les ouvrir, que de vivre sans philosopher ; et le plaisir de voir toutes les choses que notre vue découvre n’est point comparable à la satisfaction que donne la connaissance de celles qu’on trouve par la philosophie ; et, enfin, cette étude est plus nécessaire pour régler nos mœurs et nous conduire en cette vie, que n’est l’usage de nos yeux pour guider nos pas. Les bêtes brutes, qui n’ont que leur corps à conserver, s’occupent continuellement à chercher de quoi le nourrir ; mais les hommes, dont la principale partie est l’esprit, devraient employer leurs principaux soins à la recherche de la sagesse, qui en est la vraie nourriture ; et je m’assure aussi qu’il y en a plusieurs qui n’y manqueraient pas, s’ils avaient espérance d’y réussir, et qu’ils sussent combien ils en sont capables. Il n’y a point d’âme tant soit peu noble qui demeure si fort attachée aux objets des sens qu’elle ne s’en détourne quelquefois pour souhaiter quelque autre plus grand bien, nonobstant qu’elle ignore souvent en quoi il consiste. Ceux que la fortune favorise le plus, qui ont abondance de santé, d’honneurs, de richesses, ne sont pas plus exempts de ce désir que les autres ; au contraire, je me persuade que ce sont eux qui soupirent avec le plus d’ardeur après un autre bien, plus souverain que tous ceux qu’ils possèdent. Or, ce souverain bien considéré par la raison naturelle sans la lumière de la foi, n’est autre chose que la connaissance de la vérité par ses premières causes, c’est-à-dire la sagesse, dont la philosophie est l’étude. Et, parce que toutes ces choses sont entièrement vraies, elles ne seraient pas difficiles à persuader si elles étaient bien déduites. » (Principes de la philosophie, lettre-préface de l’édition française des principes)

La méthode

Caractère de la méthode

La philosophie est donc la recherche de la vérité par la lumière naturelle, et elle doit élaborer une méthode pour y parvenir, car la méthode est « la voie que l’esprit doit suivre pour atteindre la vérité. » (Règles pour la direction de l’esprit, IV). La méthode est le point de départ de toute philosophie, car elle « prépare notre entendement pour juger en perfection de la vérité et nous apprend à régler nos volontés en distinguant les choses bonnes d’avec les mauvaises. » (Recherche de la vérité, X). La grande préoccupation de Descartes est ainsi d’atteindre la certitude. C’est pourquoi, il rejette d’emblée ces connaissances qui nous viennent des sens et des livres, car ce ne sont là que des certitudes paresseuses, quand il ne s’agit pas seulement de probabilité, et, par ce moyen, nous ne pouvons trouver la vérité que par hasard et non par méthode. La certitude que Descartes se propose de trouver est au contraire absolue, et c’est une certitude analogue à celle des démonstrations mathématiques qui nous font voir avec évidence que la chose ne saurait être autrement que nous la jugeons et qui ne donne pas prise au scepticisme : :« Ces longues chaînes de raisons, toutes simples et faciles, dont les géomètres ont coutume de se servir pour parvenir à leurs plus difficiles démonstrations, m’avaient donné occasion de m’imaginer que toutes les choses qui peuvent tomber sous la connaissance des hommes s’entresuivent en même façon, et que, pourvu seulement qu’on s’abstienne d’en recevoir aucune pour vraie qui ne le soit, et qu’on garde toujours l’ordre qu’il faut pour les déduire les unes des autres, il n’y en peut avoir de si éloignées auxquelles enfin on ne parvienne, ni de si cachées qu’on ne découvre. » Ainsi, par le nom de science, Descartes n’entend-il rien d’autre qu’une connaissance claire et distincte. Le point de départ de la théorie de la connaissance, ce qui sera retenu tout particulièrement par un cartésien comme Malebranche, c’est la simplicité et la clarté des premiers éléments. Mais cette pensée de l’évidence serait vide si elle ne prenait pour matière l’expérience, et ne procédait par induction, c’est-à-dire par l’énumération des éléments d’une question à résoudre. Seule une telle connaissance, en augmentant notre savoir, « en formant notre esprit à porter des jugements solides et vrais sur tout ce qui se présente à lui » (Règles, I) peut nous permettre de posséder toute la certitude et la vérité dont notre esprit est capable. C’est pourquoi il faut dire également que toutes nos connaissances dépendent de notre entendement, et que ce dernier procède de la même manière dans toutes les sciences. Il y a ainsi pour Descartes une unité de la méthode, et il ne peut y avoir qu’une méthode vraie qui exprime l’unité et la simplicité essentielle de l’intelligence : la méthode en est la manifestation ordonnée. Mais comment parvenir à une telle certitude ? Tout doit être reconstruit ; Descartes va ainsi s’efforcer de bâtir la science en un fonds qui soit tout à lui. Mais la première condition pour bâtir l’édifice des sciences certaines, c’est que l’esprit se crée ses propres instruments, au lieu d’emprunter à autrui des outils dont il n’a pas éprouvé la rigueur. Quelqu’un qui veut exercer l’art de forgeron sans encore en avoir les outils, devra se forger pour son usage avec les moyens de la nature les outils dont il a besoin (Règles, VIII, X). Cette instrument que se forge lui-même l’esprit, ce sont les règles de la méthode.

Préceptes de la méthode

Les règles de la méthode sont ainsi présentées par Descartes dans le [http://wikisource.org/wiki/Discours_de_la_m%C3%A9thode Discours de la méthode] : :«[…] comme la multitude des lois fournit souvent des excuses aux vices, en sorte qu'un état est bien mieux réglé lorsque, n'en ayant que fort peu, elles y sont fort étroitement observées ; ainsi, au lieu de ce grand nombre de préceptes dont la logique est composée, je crus que j'aurais assez des quatre suivants, pourvu que je prisse une ferme et constante résolution de ne manquer pas une seule fois a les observer. »
- l'évidence : : « Le premier était de ne recevoir jamais aucune chose pour vraie que je ne la connusse évidemment être telle ; c'est-à-dire, d'éviter soigneusement la précipitation et la prévention, et de ne comprendre rien de plus en mes jugements que ce qui se présenterait si clairement et si distinctement à mon esprit, que je n'eusse aucune occasion de le mettre en doute. »
- l'analyse : : « Le second, de diviser chacune des difficultés que j'examinerais, en autant de parcelles qu'il se pourrait, et qu'il serait requis pour les mieux résoudre. »
- la synthèse et le raisonnement : : « Le troisième, de conduire par ordre mes pensées, en commençant par les objets les plus simples et les plus aisés à connaître, pour monter peu à peu comme par degrés jusques à la connaissance des plus composés, et supposant même de l'ordre entre ceux qui ne se précèdent point naturellement les uns les autres. »
- le dénombrement : : « Et le dernier, de faire partout des dénombrements si entiers et des revues si générales, que je fusse assuré de ne rien omettre. »

Intuition et déduction

Dans les Règles pour la direction de l'esprit, Descartes avait fait l'inventaire de nos moyens de connaître, et avait écarté l'imagination et la mémoire comme trop incertaines, pour ne retenir que l’intuition et la déduction. Ce qui est immédiatement évident est la condition de la connaissance. C’est au moyen d’une intuition que la pensée saisit les éléments les plus simples, c’est-à-dire les principes. Il existe donc pour Descartes des propositions simples qui, dès qu’elles sont pensées, sont tenues pour vraies : rien ne produit rien, une seule et même chose ne peut à la fois être et ne pas être, etc. Ces propositions ne sont pourtant pas données, elles s’appuient sur des cas généraux, mais sont saisies en tant que telle par la pensée. C’est à partir de ces intuitions des principes premiers que nous pouvons raisonner, c’est-à-dire nous avancer dans la connaissance au moyen de la déduction. La déduction est ainsi un mouvement de la pensée, consistant en une série d’intuitions enchaînées, mises en relation par ce mouvement continu de l’esprit. Par ces séries d’intuitions reliées par le raisonnement, nous ramenons ce qui est inconnu aux principes, c’est-à-dire à ce qui est connu. Ainsi, en raisonnant sur la base de l’évidence, la pensée étend son domaine de connaissance au-delà des premiers principes. La méthode de Descartes n’est donc pas strictement rationaliste. C’est une erreur assez répandue de faire de Descartes un philosophe qui voudrait déduire a priori les phénomènes. Mais c’est l’expérience des cas particuliers qui met la pensée en mouvement, et cette pensée déduit et trouve de nouvelles connaissances. Néanmoins, si ce ne sont pas les causes qui prouvent les effets, il reste que la vérité est établie par des déductions à partir de principes, plutôt que par l’accord avec l’expérience. Ainsi Descartes est-il rationaliste quand il estime que la déduction est par elle-même suffisante pour valider la connaissance, et que ce sont les causes prouvées par l’expérience qui expliquent l’expérience. La science est donc pour Descartes un système hypothético-déductif s’appuyant sur l’expérience, mais il reste que pour lui il devrait être possible de comprendre le monde physique par une théorie explicative complète prenant la forme d’une algèbre universelle. Cette méthode scientifique étant établie, se pose alors la question de savoir quels sont ces premiers principes : sur quoi notre pensée peut-elle se fonder pour s’assurer la certitude de ses connaissances ? Nous pouvons en effet douter de toutes nos connaissances.

Le doute


- Voir Méditations Métaphysiques pour plus de détails

Le doute méthodique

Pour s’assurer de la solidité de nos connaissances, il nous faut trouver une bonne fois pour toutes un fondement inébranlable à partir duquel nous pourrions déduire tout le reste. Ainsi peut-on dire que la méthode cartésienne commence en réalité par la mise en doute systématique de toutes les connaissances qui nous semblent évidentes. Mais il faut tout d’abord faire quelques remarques sur l’exposition de la pensée cartésienne. Bien que Descartes écrive le Discours de la Méthode en français pour rejoindre une plus large audience (il s’agit du tout premier ouvrage philosophique à être écrit en français, alors qu’à l’époque le latin était parfaitement maîtrisé par les érudits, qui considéraient cette langue comme la langue universelle de la science), il ne conseille pas de le suivre dans les voies qu’il a explorées :
- parce qu’il faut faire par soi-même l’épreuve de nos connaissances pour parvenir à la certitude ; Descartes ne peut être certain pour son lecteur. Le doute et la méthode ont donc des aspects subjectifs très marqués, alors même que Descartes espère fonder les sciences.
- parce que certains esprits n’en sont pas capables, par précipitation ou modestie ; et il faut déconseiller le doute à la plupart des hommes parce que le risque est trop grand qu’ils ne s’égarent pour toute leur vie : :« ÉPISTEMON : Je pense qu’il est très dangereux de s’avancer trop loin dans cette manière de raisonner : les doutes universels de ce genre nous conduisent droit à l’ignorance de Socrate, ou à l’incertitude des pyrrhoniens, qui est comme une eau profonde où l’on ne peut trouver pied. :EUDOXE : J’avoue que ce n’est pas sans grand danger qu’on s’y hasarde sans guide, quand on n’en connoît pas le gué, et que beaucoup même s’y sont perdus. » (Recherche de la vérité par les lumières naturelles) Parmi les connaissances que nous avons dans notre esprit, Descartes distingue celles que nous avons reçues dès le plus jeune âge et celle que l’on apprend dans les livres ou par des maîtres : :« Comme nous avons été enfants avant que d’être hommes et que nous avons jugé tantôt bien et tantôt mal des choses qui se sont présentées à nos sens lorsque nous n’avions pas encore l’usage entier de notre raison, plusieurs jugements ainsi précipités nous empêchent de parvenir à la connaissance de la vérité, et nous préviennent de telle sorte qu’il n’y a point d’apparence que nous puissions nous en délivrer, si nous n’entreprenons de douter une fois en notre vie de toutes les choses où nous trouverons le moindre soupçon d’incertitude. » (Principes de la philosophie, 1) Le préjugé et la précipitation nous empêchent de bien juger. Nous devons donc suspendre notre jugement. Mais il n’est pas suffisant de douter des connaissances que nous avons reçues par notre éducation, car nous pouvons facilement remarquer que nous sommes quelques fois trompés par nos sens. Descartes fait ainsi plusieurs expériences de pensée qui l’amènent à penser que les sens nous trompent peut-être tout le temps, comme dans le rêve ou la folie. Ce doute au sujet de la véracité des sens l’amène à mettre en cause l’existence de l’ensemble des choses matérielles, de son corps et par conséquent de l’existence même du monde qui l’entoure. Néanmoins, dans un passage des Méditations Métaphysiques, Descartes montre, par l’exemple d’un simple morceau de cire, que ce ne sont pas nos sens qui nous trompent, mais le jugement que nous formulons sur leurs témoignages. C’est l’entendement qui conçoit le morceau de cire en tant que substance étendue, au-delà des formes, des couleurs, des odeurs, etc. que nous pouvons lui prêter. Ainsi, s’il y a erreur, elle ne peut venir que de la précipitation à juger de ce que nous recevons par le moyen de la perception ; c’est pour nous une marque d’imperfection et une source intarissable d’erreurs.

Le doute hyperbolique

Une fois toutes ces sources d’erreurs écartées, il reste encore quelques vérités qui nous semblent très évidentes, parce qu’elles portent sur les éléments les plus simples : ainsi des vérités mathématiques. Néanmoins, il arrive que nous nous trompions en calculant ; mais ce n’est pas encore là le doute le plus universel que nous puissions concevoir, car nous pouvons faire l’hypothèse d’un dieu trompeur, d’un mauvais génie qui nous aurait créés tels que nous nous trompions toujours : :« Je supposerai donc qu’il y a, non point un vrai Dieu, qui est la souveraine source de vérité, mais un certain mauvais génie, non moins rusé et trompeur que puissant qui a employé toute son industrie à me tromper. Je penserai que le ciel, l’air, la terre, les couleurs, les figures, les sons et toutes les choses extérieures que nous voyons, ne sont que des illusions et tromperies, dont il se sert pour surprendre ma crédulité. Je me considérerai moi-même comme n’ayant point de mains, point d’yeux, point de chair, point de sang, comme n’ayant aucuns sens, mais croyant faussement avoir toutes ces choses. Je demeurerai obstinément attaché à cette pensée ; et si, par ce moyen, il n’est pas en mon pouvoir de parvenir à la connaissance d’aucune vérité, à tout le moins il est en ma puissance de suspendre mon jugement. » (Méditations Métaphysiques) Le doute devient alors hyperbolique, et son caractère excessif fait de lui un doute métaphysique, car il ne concerne plus seulement les sens et les jugements que nous pouvons formuler à partir de leurs témoignages ; ce doute est la formulation de l’hypothèse que l’erreur et l’illusion sont ontologiquement liées à notre entendement, qu’elles sont donc radicales et insurmontables ; rien ne semble plus pouvoir être tenu pour certain. Même les mathématiques, aussi évidentes soient-elles pour notre pensée, pourraient bien n’être que le résultat d’une tromperie dont nous sommes les victimes. Par ce doute hyperbolique, nous en arrivons donc à ne plus pouvoir rien juger, à ne plus pouvoir rien tenir ni pour vrai ni pour faux, à ne plus tenir aucun être comme réel.

Le cogito

Mais il reste, dans ce néant universel, quelque chose dont nous ne saurions jamais douter : nous savons que nous doutons, et le sachant, nous avons l’intuition immédiate et claire que nous ne sommes pas rien : tandis que je doute, je sais que j’existe, car s’il y a un doute, c’est qu’il y a nécessairement quelqu’un qui est là pour douter : cogito, ergo sum, je pense donc je suis (Les Principes de la philosophie, article 7). Cette intuition n’est pas conçue comme un raisonnement (penser est ici une opération, une expérience) ; le donc de la proposition ne doit pas être interprété comme l’expression d’une déduction : je pense, je suis, ce n’est pas un syllogisme, c’est une certitude immédiate qui comprend ces deux termes : :« Après y avoir bien pensé, et avoir soigneusement examiné toutes choses, enfin il faut conclure, et tenir pour constant que cette proposition : « Je suis, j’existe », est nécessairement vraie, toutes les fois que je la prononce, ou que je la conçois en mon esprit. […] Je ne suis donc, précisément parlant, qu'une chose qui pense […] C'est-à-dire une chose qui doute, qui conçoit, qui affirme, qui nie, qui veut, qui ne veut pas, qui imagine aussi et qui sent.» Cette certitude étant mise au jour, il apparaît néanmoins qu’elle n’est pas une connaissance. En effet, savoir et conscience ne sont pas ici la même chose : je sais que j’existe, mais je ne sais pas ce que je suis. Je sais seulement que je pense, i.e. que je doute, que je sens, que je veux, etc. Je suis donc une chose qui pense, c’est-à-dire une réalité pensante (ou une substance mais cette notion de substance sera introduite par Descartes dans les Principes de la philosophie). Tout part donc pour moi de ma pensée : ma réalité la plus certaine et la plus immédiate consiste dans cette conscience de ma réalité pensante. Par cette remarque d’apparence anodine, Descartes évacue l’essentialisme de la nature humaine : il est faux d’affirmer que je suis un animal rationale (un animal raisonnable), comme le dit une définition classique de l’homme, car je ne sais ni ce qu’est un animal, ni ce qu’est la raison, ni encore moins comment elle se trouve en l’homme. Descartes est donc parvenu à une certitude première, mais il apparaît pour le moins difficile d’en déduire une connaissance quelconque. Descartes semble maintenant enfermé dans ce que l’on nomme le « solipsisme ». La question est alors de savoir si nous pouvons donner un fondement réel, objectif à notre connaissance, ce que Descartes affirme : :« Prêtez-moi seulement votre attention ; je vais vous conduire plus loin que vous ne pensez. En effet, c’est de ce doute universel que, comme d’un point fixe et immuable, j’ai résolu de dériver la connaissance de Dieu, de vous-même, et de tout ce que renferme le monde. » (Recherche de la vérité par les lumières naturelles)

Les idées

Descartes analyse alors les idées que nous avons, indépendamment de leur vérité ou de leur fausseté ; il les examine ainsi en tant qu’elles sont dans la pensée, en tant que représentation (c’est-à-dire en tant qu’elles ont un esse objectivum). Descartes se place ainsi en deçà du vrai et du faux par une distinction radicale et anti scolastique de l’esse objectivum et de l’esse formale. Il analyse les idées qui sont en son esprit à la lumière des principes que nous concevons intuitivement comme évident. Or, certaines de nos idées semblent venir de l’extérieur de nous ; d’autres semblent être de notre propre fait. Toutes ces idées doivent avoir une cause, car c’est un principe postulé par Descartes que tout effet doit avoir une cause (principe de causalité) ; nous allons voir qu’il utilise également ce principe ontologique suivant lequel un effet ne renferme pas plus de réalité que sa cause. Nous avons en nous, selon Descartes, l’idée d’un être infini, somme de toutes perfections et de toutes réalités. Mais nous ne pouvons manifestement pas en être les auteurs.

Le fondement théologique de la connaissance

La notion de l’infini ne peut venir d’un être imparfait : un être imparfait, c’est-à-dire cette substance pensante qui doute et qui désire. Cette idée n’est ni une construction de notre esprit à partir d’éléments de l’expérience (où trouverions-nous donc cette idées dans les choses particulières ? toute cause extérieure est finie, limitée), ni une création indépendante de notre raison imparfaite. Le raisonnement de Descartes postule alors certains axiomes, et peut se formuler ainsi : Puisque tout effet a une cause, et que la cause n’a pas moins de réalité que l’effet, il faut que cette idée de l’infini soit causée par quelque être parfait qui en est le véritable auteur ; donc Dieu existe. Dieu existe, et l’idée que j’ai de l’infini est la marque de son ouvrage ; c’est la marque du créateur dans sa créature. Cette idée nous est donc innée : dès que je pense, la clarté et l’évidence dans ma faculté me font concevoir que Dieu existe. Malebranche sera plus économe encore : je pense, donc Dieu existe. Néanmoins, l’innéité de l’idée ne veut pas dire qu’elle soit donnée : elle se développe en nous avec notre pensée, pour devenir une intuition : : « Les idées innées proviennent de notre faculté de penser elle-même. » L’existence de Dieu étant assurée, Descartes pense posséder maintenant une certitude solide pour fonder nos connaissances. Remarquons toutefois que le fondement de ce raisonnement est le principe de causalité. On peut donc se demander avec Pascal si Descartes avait réellement besoin de Dieu pour fonder la science. Mais il faut à présent comprendre comment la connaissance devient possible par la certitude de cette idée innée qu’est l’infini. Un être imparfait se trompe et peut être trompé. Un être parfait ne trompe pas, car la tromperie participe du défaut, et on ne peut l’attribuer à Dieu sans contradiction. Si donc Dieu existe et que par des idées innées je participe à sa perfection, alors l’erreur n’est plus le résultat d’un défaut ontologique (le malin génie, l’impossibilité radicale de toutes connaissances) mais provient uniquement de la finitude de mes facultés. Cette perfection de Dieu que nous concevons de manière innée explique également que nous nous concevions imparfaits : c’est parce que nous avons l’idée de la perfection que nous pouvons reconnaître notre imperfection. L’imperfection subjective (celle du sujet, de la substance pensante) suppose la perfection objective, ontologique, en un mot, l’existence de Dieu. Le résultat de cette recherche des premiers fondements aboutit donc à introduire Dieu dans la théorie de la connaissance. L’idée même de la nature (de ce que les sciences étudient) va s’en trouver modifiée : : « Par la nature considérée en général, je n’entends maintenant autre chose que Dieu même, ou bien l’ordre et la disposition que Dieu a établie dans les choses crées. » Qu’est-ce donc que la connaissance ? C’est connaître l’ordre et les lois de la nature par notre participation à la perfection divine. Malebranche, souvent plus économe que Descartes, dira que nous voyons en Dieu. Ce que nous connaissons, ce sont donc les vérités éternelles instituées par la volonté immuable et absolue de Dieu.

Théologie cartésienne

Les différentes preuves de l’existence de Dieu

Il faut donc à présent examiner ce fondement théologique de la connaissance. Descartes écarte les preuves de l’existence de Dieu qui s’appuient sur l’expérience : notre esprit, en examinant l’enchaînement des phénomènes ne peut jamais y trouver de cause première. Cette preuve implique d’ailleurs que nous supposions l’idée d’un premier moteur, mais c’est une supposition illégitime dans la cadre du doute : nous ne savons pas ce que c’est qu’une cause première ou un premier moteur. La preuve de Descartes, formulée plus haut, suppose uniquement que le fini est une limitation de l’infini, que nous naissons de l’infini par une cause qui a plus de réalité que nous. Dieu est donc l’auteur d’une création continue, puisque ce qui est fini n’a pas la puissance de subsister par soi-même : :« si une telle puissance résidait en moi, certes je devrais à tout le moins le penser et en avoir connaissance ; mais je n’en ressens aucune dans moi, et par là je connais évidemment que je dépends de quelque être différent de moi. » Mais Descartes propose également d’autres preuves, dont la preuve ontologique : Si nous concevons clairement et distinctement l’idée d’un être infini, nous devons admettre son existence. En effet, refuser l’existence à un tel être, ce serait lui refuser une perfection que nous lui attribuons pourtant. Nous ne pouvons à la fois concevoir cette idée et nier l’existence de Dieu sans être en contradiction avec nous-mêmes. Cette idée, depuis sa première formulation par Anselme, a été réfutée de nombreuses fois : attribuer de la perfection à une idée, ce n’est pas la même chose que d’affirmer l’existence réelle en être de cette perfection (cf. Gaunillon, Gassendi, Kant).

La notion de substance

L’idée que Descartes se fait de Dieu n’est guère comparable à celle que peuvent s’en faire les hommes qui ne font pas de philosophie, ou qui affirment la mépriser (cf. Pascal). En effet, pour Descartes, Dieu est la substance absolue qui renferme en elle-même toute la réalité, toutes les perfections possibles et toutes les qualités possibles. Être une substance, cela signifie exister par soi-même (per se), sans le concours d’un autre être (définition exposée dans les Principes de la philosophie). Mais cette conception va provoquer de graves difficultés dans la pensée cartésienne. En effet, la notion de substance chez Descartes possède plusieurs sens. Rappelons la notion de chose pensante : un être fini, tel que nous-même en tant que nous pensons ; or cette réalité est aussi, dans les Principes de la philosophie, une substance. On ne peut donc employer cette notion en un sens univoque : les substances finies dépendent d’un être infini, et elles ne dépendent que de lui. La notion cartésienne de substance a donc un sens plus large, ou, selon sa propre explication un sens plus modeste : une substance est un être possédant certaines qualités. Un être fini est donc en ce sens une substance. Pourtant, à rigoureusement parler, il n’y a qu’une seule substance, qu’un seul être qui existe per se, Dieu : : « On ne peut prouver l’existence de Dieu sans le considérer comme l’être le plus parfait de tous ; mais il ne le serait pas s’il se passait dans la nature quelque chose qui n’émanât pas de lui. La philosophie naturelle nous enseigne déjà que la moindre pensée ne peut s’élever dans l’esprit humain sans que Dieu le veuille et sans qu’il ait voulu de toute éternité qu’elle s’élevât. » C’est pourquoi, je ne peux me concevoir existant par moi-même : il faut un acte qui me crée et qui me maintienne dans l’existence. Or, ce n’est pas moi qui me crée, je ne me sors pas moi-même du néant, et je n’ai pas le pouvoir de me maintenir par moi-même. Il y a donc un être dont l’acte est de maintenir la création en l’état. C’est la théorie de la création continuée. Une conséquence intéressante de cette idée de substance, au sens strict, est que la nature ne peut être constituée d’atomes. L’atome est en effet conçu comme un être existant par soi. Mais seul Dieu est par soi, donc il n’y a pas d’atomes. Une objection très sérieuse fut formulée par Hobbes et par Gassendi : nous ne connaissons que des qualités (des attributs, des phénomènes) : nous n’avons aucune perception immédiate de la substance. C’est une objection qui, si elle est juste, réduit à rien le système cartésien. Descartes accorde que nous ne percevons aucune substance, mais soutient que nous pouvons néanmoins la penser. Mais l’objection la plus lourde de conséquences consiste à dire que l’on ne peut accepter le double sens de la notion de substance : la rigueur exige que seul Dieu soit une substance. Ce sera la conclusion de Spinoza.

La causalité

Une autre difficulté de la théologie cartésienne est l’emploi de la causalité dans la preuve de l’existence de l’être absolu. En effet, un tel principe menace de dépasser l’idée même de Dieu, car ne faut-il pas en vertu du principe de causalité que Dieu ait également une cause ? Pour résoudre cette difficulté, Descartes distingue entre ce qui a une cause hors de soi (substance au sens large) et ce qui a sa cause en soi (la substance per se). Il faut que Dieu soit à lui-même sa propre cause ; le rapport de Dieu à Dieu, pour ainsi dire, est un rapport de cause à effet. On nomme causa sui ce rapport de causalité propre à l’être suprême. Ce rapport s’explique, selon Descartes, par l’idée de toute-puissance : la puissance infinie de Dieu lui permet d’exister par lui-même. Descartes opère ainsi la synthèse entre la notion de substance et celle de cause de soi-même. L’objection classique (formulée par Antoine Arnauld) contre cette idée de la substance est que l’on ne peut donner ce que l’on n’a pas : la cause précède l’effet, et il faut donc que Dieu existât avant que d’être son propre... effet ! On voit que cette idée implique également que l’on distingue en Dieu passé, présent et