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Coupe Pentagonale De La Pyramide à Base Carrée

Coupe pentagonale de la pyramide à base carrée

Catégorie:Géométrie Catégorie:Géométrie En géométrie, il est possible d'opérer une coupe pentagonale régulière de la pyramide régulière à base carrée. Une telle coupe est représentée sur la figure ci-contre.

Problématique

Dans l'espace euclidien, on considère une pyramide régulière (toutes ses arêtes sont de même longueur) à base carrée. Il existe alors un plan dont l'intersection avec la pyramide est un pentagone régulier, c'est-à-dire dont tous les côtés sont de même longueur.

Propriétés de la coupe pentagonale

On note ABCDO la pyramide dont le sommet est O. Le pentagone est noté PQRST où P est situé sur [OC], Q sur [OB], R sur [AB], S sur [AD] et T sur [OD]. Si

a

est la longueur des arêtes de la pyramide, alors :
- le pentagone a pour côtés (en turquoise sur la figure) :

PQ = QR = RS = ST = TP = (3-\sqrt)a

;
- trois sommets du pentagone (représentés en rouge sur la figure) sont situés à la même distance du sommet de la pyramide le plus proche, à savoir

AR = AS = OP = PQ/2 = (3-\sqrt) a/2

Généralisation de la propriété

Une propriété similaire existe pour la pyramide régulière à base triangulaire, ou tétraèdre régulier, dont une section est un quadrilatère régulier (carré). En revanche, il n'existe pas de coupe hexagonale de la pyramide régulière à base pentagonale. Plus généralement, si l'on considère une pyramide régulière dont la base est un polygone à

n

côtés et qu'il existe une section

(n+1)

-gonale régulière, alors
- soit n = 3 (tétraèdre) ;
- soit n = 4 (pyramide à base carrée).

Voir également

- géométrie
- pentagone
- pyramide
- Coupe carrée du tétraèdre régulier
- section

Catégorie:Géométrie

Catégorie:Mathématiques ja:Category:幾何学 ko:분류:기하학 zh-min-nan:Category:Kí-hô-ha̍k

Section

Une section du latin sectio: division est une coupe ou l'action de couper de diviser.

Géométrie

La section est la surface d'un plan coupant un volume.

Organisation administrative

Le mot section est souvent employé pour désigner une subdivision dans une organisation d'une certaine importance (exemple: une Direction d'une administration). On peut aussi parler des Sections révolutionnaire de Paris pendant la commune.

Organisation Militaire

Une section est une unité militaire composée de quelques dizaines d'hommes de troupe. Elle est généralement commandé par un officier ayant au plus le grade de lieutenant ou par un sous-officier ayant au moins le grade de sergent-chef. Dans les armes à cheval, on parle de peloton. La section de combat ou section toutes armes (TTA), dont l'organisation sert de base à toute l'armée française, est composée d'un chef de section assisté par son adjoint et de trois groupes de combats d'une dizaine de militaires du rang commandés par des chefs de groupe, en général des sergents. Les groupes sont eux-mêmes subdivisés en deux ou trois équipes commandés par un petit gradé, caporal ou caporal-chef.

Transport

Certaines lignes de transport en commun ont leur parcours divisé en sections, qui servent à déterminer le prix du trajet.

Matériel électrique

La section est la surface en mm² de la coupe tranversale de la partie conductrice (l'âme)d'un fil électrique. catégorie:unité militaire

Espace euclidien

ko:유클리드 공간 ja:ユークリッド空間 catégorie:mathématiques Un espace euclidien est défini de nos jours comme un espace vectoriel ou affine réel normé de dimension finie et dont la norme est héritée d'un produit scalaire. On a coutume de penser l'espace où nous évoluons, notre espace physique, comme un espace affine euclidien de dimension 3.

Remarque sur l’histoire du concept

Historiquement, l’espace euclidien était seulement l’espace physique de dimension 3. La définition actuelle est plus générale et elle souligne les ressemblances entre les espaces euclidiens de dimensions différentes, 1, les droites, 2, les plans, ou espaces infinis dans deux directions perpendiculaires, 3, les espaces infinis dans trois directions mutuellement perpendiculaires, 4, les espaces infinis dans quatre directions perpendiculaires, et ainsi de suite. Les espaces de dimension supérieure ou égale à quatre sont un peu difficiles à concevoir mais ils peuvent être très bien connus. En principe rien n’empêche de les connaître aussi bien que les espaces plus usuels, sauf qu’on ne peut pas en donner une représentation visuelle complète. On peut quand même en donner des représentations partielles. De la même façon que les tranches d’un saucisson (un volume à trois dimensions) sont idéalement (si elles étaient infiniment fines) des figures à deux dimensions, les tranches d’un espace de dimension n sont des espaces de dimension n-1.

Espace euclidien et espace-temps

Il faut faire attention à ne pas confondre l’espace euclidien de dimension 4 avec l’espace-temps, qui est de dimension 4 pour les théories courantes, mais qui n’est pas euclidien. Le “carré de la distance” spatio-temporelle (

x^2 + y^2 + z^2 - t^2

) n’est pas toujours positif et n’est donc pas défini par un produit scalaire. Pour la théorie de la relativité restreinte, l’espace est un espace euclidien de dimension 3. Cela veut dire que si l’on prend une tranche instantanée d’espace-temps (l’ensemble de tous les points spatio-temporels, ou évènements, simultanés relativement à un référentiel), on obtient un espace euclidien de dimension 3. Le produit scalaire peut y être défini à partir de l’ensemble des positions possibles des corps rigides en munissant le référentiel d’un repère orthonormé. Voir Einstein, La relativité, et ci-dessous. ...

L’approche euclidienne de la science de l’espace

Euclide a rassemblé dans un livre fondateur (Les Éléments) toutes les connaissances géométriques de son temps sous la forme d’une théorie axiomatique. Toutes les vérités sont ou bien des théorèmes, ou propositions, ou bien des axiomes, qu’Euclide rassemble en définitions, postulats, et notions communes. La façon classique de concevoir les rôles respectifs des axiomes, des théorèmes et des définitions (Pascal, L’esprit de géométrie et l’art de persuader) n’était pas celle d’Euclide. L’œuvre d’Euclide s’inscrit dans un contexte polémique. Les définitions sont destinées à fixer le sens des notions fondamentales. Les notions communes sont des vérités peu ou pas discutables. En revanche les cinq postulats ont davantage le caractère d’exigences qu’on peut ou non accepter. Les trois premiers fixent des droits de construction des figures avec des droites et des cercles. Le quatrième (tous les angles droits sont égaux) impose une uniformité à la structure de l’espace. Le cinquième est beaucoup moins évident que les précédents mais il est indispensable pour les preuves de presque tous les théorèmes (sauf les premiers). Selon les critères de l’axiomatique moderne, les Éléments ne sont pas complètement satisfaisants. Certains axiomes ne sont jamais utilisés. D’autres sont utilisés sans avoir été mentionnés comme tels au préalable, ou sans être énoncés. Les preuves ne sont pas toujours complètes. Elles font souvent appel à des constructions géométriques. La question des règles de déduction n’est pas posée. La méthode axiomatique euclidienne a été développée en plusieurs temps.
- Le caractère polémique de l’œuvre initiale a rapidement disparu. Le prestige d’Euclide a été tel que ses axiomes, parfois contestables, ont été considérés comme des vérités premières. Seul le cinquième postulat suscitait des objections et certains ont pour cela espéré le prouver à partir des autres axiomes. On sait depuis le développement des géométries non-euclidiennes qu’une telle preuve ne peut exister.
- Les axiomes étant considérés comme des vérités évidentes, l’esprit de géométrie a été défini par Pascal comme la capacité à exposer toutes les connaissances, soit comme des axiomes, ou vérités premières, soit comme des théorèmes prouvés à partir des axiomes. Les axiomes sont considérés comme improuvables et leur vérité est supposée connue de tout être rationnel. Par analogie, certaines notions fondamentales (point, droite, plan, ...) étaient considérées comme des notions premières, indéfinissables, dont la signification était supposée connue de tout être rationnel.
- Les insuffisances formelles de l’exposé d’Euclide ont été progressivement complétées, notamment par Pasch et Hilbert. Celui-ci a donné, avec Les fondements de la géométrie, un exposé axiomatique complet, rigoureux, et cependant toujours fidèle à l’esprit de l’œuvre initiale.
- L’algèbre moderne a achevé le programme d’unification, entamé par Euclide et ses prédécesseurs, poursuivi par Descartes, entre les méthodes géométriques et les méthodes algébriques (les calculs avec des nombres et plus généralement les calculs avec des équations). La suite de cet article est consacrée à cette unification, et à son sens physique.

Les méthodes algébriques en géométrie

Descartes a utilisé et développé les méthodes algébriques de son temps et il a montré clairement leur pertinence pour trouver des solutions aux problèmes géométriques. Par exemple, un cercle centré sur l'origine et de rayon R est l’ensemble de tous les points d’un plan dont les coordonnées (x, y) satisfont à l’équation

x^2+y^2=R^2

. On peut se servir de cette méthode cartésienne pour fonder la géométrie sur la théorie des nombres réels. Cela rejoint le principe de Pythagore, tout est nombre, mais dans un esprit un peu différent de celui des pythagoriciens, pour qui les nombres étaient toujours rationnels, au double sens, mathématique - un quotient de deux nombres entiers - et philosophique - ce qui peut être connu d’une façon rationnelle. On part de la définition du corps

\mathbb R

des nombres réels. Si on définit les points par des couples (x,y) de nombres, les droites par les ensembles de points qui sont solutions d’une équation ax + by + c = 0, avec (a,b) ≠ (0,0), la congruence des figures par l’existence d’une isométrie, ou transformation qui conserve les distances, et la distance entre deux points par la norme du vecteur qui relie l'un à l’autre, alors tous les axiomes de la géométrie euclidienne donnés par Hilbert sont vrais. On dit qu’on a défini un modèle de ces axiomes. Inversement, on peut partir des axiomes géométriques, définir le corps des nombres réels et les espaces

\mathbb R ^2

\mathbb R ^3

munis de leur structure vectorielle et de leur norme euclidienne. Les approches euclidiennes et algébriques sont donc équivalentes, mais la méthode algébrique, bien que parfois moins intuitive, est de loin la plus puissante. Les axiomes algébriques sont souvent formellement plus simples et plus aisément généralisables que les axiomes géométriques.

Les positions des corps rigides

L’étude des positions des corps rigides est une troisième façon, formellement équivalente aux précédentes, d’aborder les principes de la géométrie euclidienne. Elle permet de relier directement des principes géométriques à des principes physiques (relatifs à des observations). Elle peut être généralisée à la géométrie de l’espace-temps, parce qu’il suffit de remplacer la notion de corps rigide par celle d’automate rigide, ou horloge. Elle éclaire le lien entre les méthodes algébriques et les constructions géométriques.

Égalité des figures et rigidité des corps

Une des notions fondamentales de la théorie d’Euclide est celle d’égalité, ou congruence entre figures. Deux figures, par exemple deux triangles, sont égales, si elles peuvent représenter deux positions différentes d’un même corps rigide. Pour comprendre le sens physique de l'égalité des longueurs, il n’est donc pas nécessaire d’introduire les nombres. Si par exemple on veut mesurer la largeur d’une fenêtre pour acheter un rideau, il suffit de prendre une ficelle et d’y faire une marque. On peut se servir de la ficelle pour choisir la bonne largeur de rideau sans avoir besoin de connaître son nombre de centimètres. De façon générale, pour savoir si deux distances AB et CD sont égales, on peut repérer deux points E et F sur une règle rigide ou une ficelle tendue, et s’assurer que EF peut être ajusté à la fois sur AB et sur CD . Il faut bien sûr que la règle soit rigide ou la ficelle tendue. Cela conduit à un problème de circularité : Au sens géométrique, une règle est rigide lorsque les distances entre ses points ne varient pas. Mais comment savoir que ces distances ne varient pas, qu’elles restent toujours égales à elles-mêmes ? Pour savoir que deux distances sont égales, on se sert d’un corps rigide. Mais pour savoir qu’un corps est rigide il faut savoir que ses distances restent égales. Voilà qui ressemble à un cercle vicieux. Les mesures de longueur fournissent des résultats cohérents lorsque la règle de transitivité est respectée : si les mesures établissent que AB et CD ont la même longueur, et que CD et EF ont aussi la même longueur, alors elles doivent établir que AB et EF ont la même longueur. Imaginons que parmi tous les corps supposés rigides, les uns se dilatent, d’autres se contractent, et chacun selon son propre rythme. Alors les mesures de longueur ne seraient plus possibles, elles fourniraient des résultats incohérents. Cette hypothèse n’est pas purement imaginaire : les solides réels ne sont pas rigides au sens géométrique. Leurs dimensions varient avec la température. Pour obtenir des mesures cohérentes, il faut expérimenter dans un milieu de température uniforme ou bien avec des matériaux peu sensibles aux variations de température. Imaginons maintenant que tous les corps supposés rigides soient en vérité dans un mouvement de perpétuelle expansion, tous au même rythme. Les mesures de longueur seraient toujours possibles, elles fourniraient des résultats cohérents et elles conduiraient à supposer qu’une distance sur un corps reste toujours égale à elle-même alors qu’elle ne cesse de grandir. Cela montre qu’on ne peut pas savoir en un sens absolu si une distance reste toujours égale à elle-même. Les vérités géométriques sont fondés expérimentalement sur des mesures qui établissent des relations entre les corps. C’est la cohérence entre toutes les mesures qui montrent la vérité des équations que l’on établit. Toute cette discussion sur l’égalité des longueurs pourrait être conduite sur l’égalité des durées, des masses, des températures et de n’importe quelle grandeur physique. La vérité des théories repose sur la cohérence des mesures.

Le rôle fondamental de l’étude des translations

L’étude géométrique d’une figure peut être très compliquée dès qu’il y a de nombreuses parties. Il faut étudier toutes les positions relatives. Mais on dispose d’outils d’une grande puissance parce qu’ils sont très généraux, parce qu’ils permettent d’étudier en une seule fois toutes les positions de tous les corps. Pour cela on étudie l’ensemble de tous les déplacements possibles des corps. Un déplacement est défini par un couple de positions d’un même corps, l’une initiale, l’autre finale. Au premier abord on ne voit pas le gain en généralité parce que la diversité des déplacements est encore plus grande que la diversité des corps. Mais on peut introduire une notion abstraite et générale pour laquelle deux corps peuvent effectuer le même déplacement même si par ailleurs ils sont très différents. Quand des objets sont fixés sur une table que l’on déplace, ils effectuent tous en un sens le même déplacement. Par définition deux corps effectuent le même déplacement quand il existe un troisième corps, une table, un support, sur lequel ils pourraient être tous les deux fixés lors du passage de la position initiale à la position finale. Il suffit donc d’étudier l’ensemble de tous les déplacements d’un support pour en déduire les déplacements de tous les corps. Connaissant tous ces déplacements possibles, on en déduit toutes les positions possibles, puisque toutes les positions peuvent être obtenues par un déplacement à partir de n’importe quelle position initiale. Pour la géométrie des corps rigides, il y a seulement deux types de déplacements fondamentaux, les translations et les rotations. La géométrie des corps rigides est donc essentiellement l’étude des translations et des rotations. Les translations jouent un rôle particulièrement fondamental parce qu’elles relient d’une façon très déterminée tous les points de l’espace : étant donnés deux points il existe toujours une translation et une seule qui déplace l’un sur l’autre. L’ensemble des translations révèle donc particulièrement bien la structure de l’espace, c’est-à-dire les relations entre ses points. Les translations sont des déplacements en ligne droite, sans tourner sur soi-même. Les rotations consistent à tourner autour d’un point fixe. La propriété fondamentale des rotations est donc simple : il y a un point fixe. Un point du support garde la même position au cours du déplacement. La distance entre sa position initiale et sa position finale est égale à zéro. La propriété fondamentale des translations est un peu plus compliquée : tous les points du support effectuent le même trajet. Les distances entre la position initiale et la position finale de tous les points du support sont toutes égales.

Qu’est-ce qu’une ligne droite ?

Si l’on définit les translations à partir de leur propriété fondamentale alors on peut définir la notion de ligne droite à partir de celle de translation. Une droite est un ensemble de points qui sont tous obtenus à partir d’un seul d’entre eux et d’un ensemble complet de translations parallèles. Intuitivement on trace une ligne droite quand on chemine sans jamais changer de direction. La notion de parallélisme ou d’égalité des directions de deux translations est un peu délicate à définir. Il faut d’abord introduire la notion de composition des déplacements. A partir de deux déplacements d et e on peut définir un troisième f qui est le produit des deux. On dit aussi que f est obtenu par composition de d et e. f consiste à effectuer d’abord le déplacement d puis le déplacement e. f est égal à d suivi de e. Soit x une position initiale d’un point du support. On note d(x) sa position finale après le déplacement d. Si l’on effectue ensuite e, sa nouvelle position finale est e(d(x)), on a donc f(x)=e(d(x)). On a adopté une notation curieuse au premier abord : d suivi de e s’écrit e°d , parce que f(x)=(e°d)(x)=e(d(x)) . Les déplacements sont des applications. La composition des déplacements est un cas particulier de la composition des applications. A partir d’un seul déplacement d, on peut en définir de nombreux autres : d°d, d°d°d, d°d°d°d, et ainsi de suite. Ils vont tous dans la même direction. Ils sont tous parallèles. On peut aussi trouver des petits déplacements, p par exemple, tels que d=p°p°p°p°p°p°p. P est le résultat de la division de d en sept parties égales. p a bien sûr la même direction que d. La définition de la notion générale d’égalité des directions pose cependant une difficulté technique à cause des nombres irrationnels.

Les nombres irrationnels

Au premier abord on pourrait croire que la division d’une ligne en parties égales et la possibilité de mettre des lignes les unes au bout des autres suffisent pour définir toutes les distances. En répétant un grand nombre de fois une même distance, on peut aller aussi loin qu’on veut. C’est le principe d’Archimède. En divisant une ligne en parties égales, on peut avoir des morceaux aussi petits que l’on veut. On peut donc faire des mesures avec toute la précision souhaitée. On sait cependant qu’il y a des distances incommensurables. La diagonale d’un carré par exemple est incommensurable avec son côté. On peut diviser le côté en parties égales aussi petites qu’on le veut et réassembler les morceaux de toutes les façons possibles, on n’obtiendra jamais une longueur exactement égale à la diagonale du carré. La démonstration de ce théorème n’est pas très difficile. On l’attribue en général à un pythagoricien. On raconte que celui qui a trouvé cette démonstration a été jeté par ses camarades du haut d’une falaise parce que cela semblait aller à l’encontre de l’enseignement de leur maître Pythagore. Lorsqu’un nombre mesure une distance incommensurable avec l’unité de longueur, on dit qu’il est irrationnel, non parce que Pythagore est pris comme exemple de rationalité, mais parce que la division en parties égales et la réunion sont exemplaires de l’activité de la raison. Les nombres décimaux ne sont pas irrationnels parce qu’ils n’ont qu’un nombre fini de chiffres après la virgule. Les nombres irrationnels ont toujours un nombre infini de chiffres après la virgule. Certains nombres rationnels aussi, un tiers par exemple : 1/3=0,3333333333333....Mais les nombres irrationnels ont cette propriété remarquable que les séquences de chiffres font toujours une place à l’innovation. Si une suite infinie de décimales est obtenue par la répétition d’une même séquence de chiffres, c’est que le nombre est rationnel. Lorsqu’une translation peut être obtenue à partir d’une autre par division en parties égales et composition des parties, elles sont commensurables. Pour prendre en compte les translations parallèles et incommensurables on peut passer par la notion de convergence d’une suite. Deux translations sont parallèles ou ont la même direction lorsqu’il existe une suite de translations toutes commensurables avec l’une et qui convergent vers l’autre, c’est-à-dire qu’elle s’en rapproche indéfiniment. Un ensemble de translations parallèles est complet s’il contient toutes les translations qui ont la même direction. Cela termine la définition de la notion de ligne droite à l’intérieur d’une théorie des positions des corps rigides.

Les plans et l’espace euclidien à trois dimensions

Un plan est un ensemble de points qui sont tous obtenus à partir des points d’une droite et d’un ensemble complet de translations parallèles entre elles mais non parallèles à la droite initiale. On obtient un plan en déplaçant une ligne droite transversalement sans jamais changer de direction. Un plan peut donc être défini à partir d’un point et de deux translations non-parallèles. Une translation est coplanaire à deux autres, ou parallèle au plan défini par les deux autres, lorsqu’elle déplace les points de ce plan sans les en faire sortir, comme lorsqu’on fait glisser une feuille de papier sur une autre. Un espace euclidien à trois dimensions est un ensemble de points qui sont tous obtenus à partir des points d’un plan et d’un ensemble complet de translations parallèles entre elles mais non-parallèles au plan initial.

Les limites de la vérité expérimentale de la géométrie euclidienne

C’est un fait d’expérience que notre espace est euclidien à trois dimensions, du moins si on se limite aux observations à notre échelle, celle des corps rigides sur la Terre. La physique des particules élémentaires d’une part , l’astrophysique à grande échelle d’autre part ne peuvent pas se contenter de la géométrie euclidienne. Même à notre échelle, la gravitation, le fait que les corps tombent, est une manifestation du caractère non-euclidien de l’espace, mais il s’agit d’une géométrie de l’espace-temps (la théorie dite de la relativité générale) et elle ne remet pas en question la validité locale à notre échelle de la géométrie euclidienne. Dire que l’espace est euclidien à trois dimensions n’est pas une vérité métaphysique sur la nature de la réalité ou de la matière. Les questions sur le très-petit et le très-grand conduisent à la remettre en question comme n’importe quelle hypothèse. Que l’espace est euclidien veut seulement dire que la théorie marche bien quand on l’applique dans de bonnes conditions aux corps solides à notre échelle.

Coordonnées cartésiennes et espaces vectoriels

Les translations sont particulièrement commodes pour introduire la méthode cartésienne, pour numériser la géométrie. Pour se repérer dans l’espace, il suffit de se donner trois translations non-coplanaires. Par exemple dans une ville, on peut adopter les trois directions ouest-est, nord-sud et bas-haut. On peut atteindre tous les points de l’espace à partir d’un seul par une succession de trois trajets selon ces trois directions (dans les deux sens). À Manhattan par exemple, on chemine sur des rues, des avenues et dans des conduites d’ascenseur. On peut repérer chaque point en mesurant les longueurs de ces trajets. Les trois nombres ainsi obtenus sont ses coordonnées cartésiennes. Les trois numéros, avenue, rue et étage, à Manhattan, en fournissent un exemple approximatif. Un ensemble complet de translations parallèles est un espace vectoriel (réel) à une dimension. On peut définir des espaces vectoriels à plusieurs dimensions et la théorie générale de ces espaces est l’algèbre linéaire. Les ensembles de translations dans notre espace physique sont des espaces vectoriels à une, deux ou trois dimensions pourvu qu’ils soient complets. En particulier ils doivent être clos pour la composition, c’est-à-dire qu’ils contiennent toujours u°t s’ils contiennent les translations t et u.

Les translations et les rotations suffisent pour définir tous les déplacements des corps rigides

Toutes les positions d’un corps rigide peuvent être atteintes à partir de n’importe quelle position initiale à partir d’une translation et d’une rotation. L’approche moderne de la géométrie, par les translations et les rotations, permet donc de comprendre a posteriori pourquoi Euclide a pu développer une théorie aussi puissante avec des éléments aussi réduits, les lignes droites et les cercles.

La définition d'un produit scalaire à partir des positions des corps rigides

Il suffit de définir un repère orthonormé, c'est à dire un point origine et trois vecteurs - translations - mutuellement perpendiculaires. Pour définir la perpendicularité de deux droites à partir de l'égalité des longueurs, on peut passer par exemple par la notion de médiatrice. Une droite D est une médiatrice d'un segment AB lorsqu'elle passe par le milieu de ce segment et que PA=PB pour un autre point P de D. Deux droites sont perpendiculaires lorsque l'une est une médiatrice d'un segment contenu dans l'autre. Deux vecteurs sont perpendiculaires lorsqu'ils sont les directions de deux droites perpendiculaires. Dès qu'un repère orthonormé est défini, le produit scalaire de deux vecteurs dont les coordonnées dans ce repère sont (v1, v2, v3) et (w1, w2, w3) est défini par : v.w =def v1.w1 + v2.w2 + v3.w3 De cette façon tous les axiomes algébriques des espaces vectoriels euclidiens acquièrent un sens physique relatif aux positions des corps rigides.

Pyramide

Géométrie

Une pyramide (du grec pyramis) est une forme géométrique créée en connectant une base polygonale et un point appelé l'apex par des faces triangulaires. Lorsque cela n'est pas spécifié, on suppose que la base de la pyramide est un carré ; c'est un polygone à cinq faces. Une pyramide à base triangulaire est appelée tétraèdre car elle a quatre sommets (elle a également quatre faces). Le volume d'une pyramide est donné par : S × h / 3, où S est la surface de la base et h la hauteur de la base à l'apex. La pyramide est un cône.

Architecture

cône] La pyramide est une construction dont la forme se rapproche de l'objet géométrique du même nom (cf. supra). Les civilisations précolombiennes (Aztèques, Incas, Mayas...), ainsi que les civilisations égyptiennes, ont créé de nombreuses pyramides, à usage religieux de temple ou de sépulture. Cette forme a été reprise à la fin du par Jean Balladur pour la réalisation de La Grande-Motte. A San Francisco (Californie), les architectes de la Transamerica Pyramid (construite en 1972, 260 mètres) ont choisi de traiter de façon futuriste la forme de la pyramide.... La pyramide du Louvre, dessinée par l'architecte sino-américain Ieoh Ming Pei, sert de porte d'entrée monumentale au musée.

Égypte

Ieoh Ming Pei Voir l'article pyramides d'Égypte.

Organisation pyramidale

Une organisation très hiérachisée. Voir l'article organisation

Texte de sous-titre

[(remplacez ceci par l'URL ou adresse du lien) (remplacez ceci par la légende)]Insérez le texte à mettre en italique à la place de celui-ci[(remplacez ceci par l'URL ou adresse du lien) (remplacez ceci par la légende)]

Vente pyramidale

Un type d'escroquerie. Voir l'article vente pyramidale

Légende urbaine

La forme pyramidale serait magique, et augmenterait certaines qualités à un endroit précis, en elle.

Géologie

Les pyramides sont des colonnes protégées par des pierres et formées par l'érosion. On peut en voir à Euseigne, dans le canton du Valais en Suisse. Suisse Catégorie:Monument Catégorie:Polyèdre ja:ピラミッド ko:피라미드 ms:Piramid

Carré

Un carré est un quadrilatère (polygone à 4 côtés) particulier : c'est à la fois un rectangle (4 angles droits) et un losange (4 cotés égaux). losange

Propriétés :

- ses quatre angles sont droits
- les diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu
- les côtés sont parallèles deux à deux
- soit a la longueur d'un côté, alors la diagonale mesure :

a\sqrt

- l'aire du carré est a² ---- Voir aussi : Cube Catégorie:Polygone ja:正方形 ko:정사각형 simple:Square th:รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส

Polygone

Un polygone — du grec ancien polus, nombreux, et gónia, angles — est une figure géométrique fermée, formée d'une suite de segments, chacun d'entre eux partageant une extrémité avec le suivant, délimitant ainsi un contour polygonal fermé.

Définitions

Vocabulaire de base

Soient A₁, A₂, A₃, ... A_n, n points d'un espace géométrique. On appelle alors polygone la figure notée « A₁A₂A₃...A_n » et constituée par la suite des n segments : [ A₁A₂ ], [ A₂A₃ ], ... [ A_n-1A_n ] et [ A_nA₁ ]. Chaque segment est un côté du polygone, et chaque point A_i un sommet. A chaque sommet est associé un angle, l'angle entre les deux côtés qui y aboutissent. Le nombre n des sommets, des angles ou des côtés est appelé ordre du polygone. Le périmètre d'un polygone est la somme des longueurs de ses côtés. On peut aussi parler de l' aire d'un polygone, mais cette notion n'a de sens que pour un polygone non-croisé ( voir plus bas ), et il s'agit de surcroît d'un abus de langage : c'est en fait l'aire de la surface enclose par le polygone. La somme des angles d'un polygone ne porte pas de nom particulier, mais vaut dans le cas convexe ( voir plus bas ) ( n - 2 ) π radians, où n est l'ordre du polygone. Pour le démontrer, prenez un point à l'intérieur du polygone; reliez-y tous les sommets, vous obtenez un découpage du polygone en n triangles; sachant que la somme des angles d'un triangle vaut π radians, celle des n triangles vaut n.π radians; en y retirant la somme des angles autour du point central commun aux n triangles, qui vaut 2 π radians, il reste alors juste la valeur cherchée. Enfin, en géométrie euclidienne, on ne considère que les polygones inscrits dans un plan. C'est ce que nous ferons dans la suite de cet article.

Dénomination des polygones

Le polygone le plus élémentaire a trois côtés : c'est le triangle.
Vient ensuite le quadrilatère avec quatre côtés.
À partir de cinq côtés le nom des polygones est formé d'une racine grecque correspondant au nombre de côtés et du suffixe gone signifiant angle.
Au delà de douze côtés, on a coutume de parler d'un polygone à n côtés où n est remplacé par le nombre souhaité.
Il existe cependant quelques dénominations anciennes pour des nombres ronds comme vingt (icosagone), cent (hectagone) et dix mille (myriagone).
On pourrait théoriquement former des mots comme heptakaiennéacontagone pour un polygone à quatre-vingt-dix-sept côtés mais c'est anecdotique et un peu pédant.
- polygone à 3 côtés : trigone, triangle ;
- polygone à 4 côtés : tetragone, quadrilatère ;
- polygone à 5 côtés : pentagone ;
- polygone à 6 côtés : hexagone ;
- polygone à 7 côtés : heptagone ;
- polygone à 8 côtés : octogone ;
- polygone à 9 côtés : ennéagone, nonagone ;
- polygone à 10 côtés : décagone ;
- polygone à 11 côtés : hendécagone ;
- polygone à 12 côtés : dodécagone ;
- polygone à 13 côtés : triskaidécagone ("kai" signifie "plus"), tridécagone ;
- polygone à 14 côtés : tétrakaidécagone, tétradécagone ;
- polygone à 15 côtés : pentakaidécagone, pentadécagone, quidécagone ;
- polygone à 16 côtés : hexakaidécagone, hexadécagone ;
- polygone à 17 côtés : heptakaidécagone, heptadécagone ;
- polygone à 18 côtés : octakaidécagone, octadécagone ;
- polygone à 19 côtés : ennéakaidécagone, ennéadécagone ;
- polygone à 20 côtés : icosagone ;
- polygone à 21 côtés : icosikaihenagone, henicosagone ;
- polygone à 22 côtés : icosikaidigone, doicosagone ;
- polygone à 23 côtés : icosikaitrigone, triaicosagone ;
- polygone à 24 côtés : icosikaitétragone, tetraicosagone ;
- polygone à 25 côtés : icosikaipentagone, pentaicosagone ;
- polygone à 26 côtés : icosikaihexagone, hexaicosagone ;
- polygone à 27 côtés : icosikaiheptagone, heptaicosagone ;
- polygone à 28 côtés : icosikaioctagone, octaicosagone ;
- polygone à 29 côtés : icosikaiennéagone, ennéaicosagone ;
- polygone à 30 côtés : triacontagone ("conta" = "dizaine") ;
- polygone à 31 côtés : triacontakaihenagone, hentriacontagone ;
- polygone à 32 côtés : triacontakaidigone, dotriacontagone ;
- polygone à 33 côtés : triacontakaitrigone, tritriacontagone ;
- polygone à 34 côtés : triacontakaitétragone, tetratriacontagone ;
- polygone à 35 côtés : triacontakaipentagone, pentatriacontagone ;
- polygone à 36 côtés : triacontakaihexagone, hexatriacontagone ;
- polygone à 37 côtés : triacontakaiheptagone, heptatriacontagone ;
- polygone à 38 côtés : triacontakaioctogone, octatriacontagone ;
- polygone à 39 côtés : triacontakaiennégone, ennéatriacontagone ;
- polygone à 40 côtés : tétracontagone ;
- polygone à 50 côtés : pentacontagone ;
- polygone à 60 côtés : hexacontagone ;
- polygone à 70 côtés : heptacontagone ;
- polygone à 80 côtés : octacontagone ;
- polygone à 90 côtés : ennéacontagone ;
- polygone à 100 côtés : hectogone, hecatontagone ;
- polygone à 1000 côtés : chiliagone ;
- polygone à 10000 côtés : myriagone. Les mêmes principes de dénomination s'appliquent aux polyèdres, en remplaçant la terminaison en -gone par une terminaison en -èdre.

Typologie des polygones

polyèdre Il existe plusieurs manières de classer les polygones : en fonction de leur convexité, de leurs symétries, de leurs angles, ...

Classement par convexité

Notion de diagonale

On appelle diagonale d'un polygone tout segment de droite qui joint deux sommets non consécutifs, c'est-à-dire tout segment qui joint deux sommets et qui n'est pas un côté du polygone. Exemple : les segments

[AC]

[AD]

[BD]

[BE]

[CE]

sont les 5 diagonales du pentagone

ABCDE

ci-contre. polyèdre

Polygone croisé

Un polygone est dit croisé si deux au moins de ses côtés sont sécants, c'est-à-dire qu'ils se coupent. C'est le cas du pentagone

ABCDE

ci-contre à droite qui est de plus étoilé.

Polygone convexe

Un polygone est dit convexe si toutes ses diagonales sont entièrement à l'intérieur de la surface délimitée par le polygone. L'hexagone MNOPQR ci-contre à gauche est convexe. hexagone

Polygone concave

Un polygone est dit concave si l'une de ses diagonales n'est pas entièrement à l'intérieur de la surface délimitée par le polygone. Exemple : le pentagone ACDBE ci-contre à droite est concave car les diagonales

[CB]

[CE]

sont à l'extérieur de la surface délimitée par le polygone.

Classement par symétrie

Notion d'élément de symétrie

Un polygone peut présenter des régularités ( appelées symétries ) qui le rendent globalement invariant par certaines transformations telles que rotations ou symétries. L' élément de symétrie d'une transformation est l'ensemble des points invariants par cette transformation :
- pour une symétrie centrale, l'élément de symétrie est le centre de symétrie ;
- pour une symétrie par rapport à un axe, l'élément de symétrie est justement cet axe, dit axe-miroir car il coupe toute figure globalement invariante par cette transformation en deux parties images en miroir l'une de l'autre ;
- pour une rotation, l'élément de symétrie est l'axe de rotation ( en fait, pour être exact, il s'agit plutôt de l'intersection de cet axe avec le plan où se trouve le polygone ). Dans le cas d'une rotation, il faut préciser l'angle de cette rotation ou son ordre, sachant que le produit de l'angle de la rotation par son ordre est toujours égal à 2 π radians ( ou 1 tour ou 360° ...) On peut remarquer que, dans le plan, la symétrie centrale se confond avec la rotation d'ordre deux. On dit qu'un polygone ( ou plus généralement toute figure de géométrie ) présente un élément de symétrie quand il est globalement invariant par la transformation correspondante. Dans le cas d'un polygone, tous les éléments de symétrie passent par un même point. Ce point, s'il existe, est appelé centre du polygone.

Polygone régulier

Un polygone est dit régulier s'il présente un axe de rotation d'ordre égal à son nombre de côtés. Cela signifie qu'il se superpose à lui-même quand on le tourne d'un angle de 2 π / n , où n est le nombre de ses côtés. Il présente donc la même configuration en chacun de ses sommets qui sont donc disposés régulièrement sur un cercle centré sur l'axe de rotation. Un polygone régulier est donc un polygone convexe inscrit dans un cercle et dont tous les côtés ont la même longueur ( et les angles la même mesure ). Inversement, si un polygone convexe est inscriptible dans un cercle et si ses côtés sont égaux ( ou ses angles égaux ), alors il est régulier. Exemples et contre-exemples :
- Le triangle équilatéral est un polygone régulier.
- Le carré est un polygone régulier.
- Un losange non carré n'est pas régulier (il n'est pas inscrit dans un cercle). Propriété : :Soit

A_1 A_2 A_3  A_n \,

un polygone régulier à n côtés inscrit sur un cercle de centre O, alors on a :

mes ( \widehat ) =  \,

( en radians ).

Polygone isocèle

Un polygone est dit isocèle quand il présente au moins un axe-miroir. Les axes-miroir passent nécessairement par les sommets et les milieux des côtés du polygone. Plus précisément :
- si le nombre de côtés du polygone est impair, tout axe-miroir passe par un sommet et le milieu du côté opposé ;
- si le nombre de côtés est pair, tout axe-miroir passe soit par deux sommts opposés, soit par les milieux de deux côtés opposés. Exemples et contre-exemples :
- le triangle isocèle, qui a deux côtés égaux, présente un axe-miroir passant par le sommet commun aux deux côtés égaux et le milieu du côté opposé ;
- les quadrilatères isocèles convexes sont : :
- le trapèze isocèle ; il a deux côtés parallèles, et présente un axe-miroir passant par les milieux de ces deux côtés ; :
- le cerf-volant ; il présente un axe-miroir passant par deux sommets opposés, et ses diagonales sont perpendiculaires ;
- le losange peut être vu comme un cas particulier de cerf-volant qui présente deux axes-miroirs passant par ses paires de sommets opposés, et donc confondus avec ses diagonales ;
- tout polygone régulier est isocèle et présente autant d'axes-miroir que de côtés;
- le parallélogramme n'est pas isocèle (sauf s'il s'agit d'un rectangle)

Polygone centrosymétrique

Un polygone est dit centrosymétrique quand il présente un centre de symétrie. Tout polygone centrosymétrique a un nombre pair de sommets, et inversement, seuls les polygones à nombre pair de sommets peuvent être centrosymétriques. Les côtés opposés d'un polygone centrosymétrique sont parallèles et de même longueur.

Image:parallelogramme.png
Exemple de polygone centrosymétrique

Exemples et contre-exemples :
- les triangles ne peuvent pas avoir de centre de symétrie.
- les quadrilatères centrosymétriques sont les parallélogrammes.
- les seuls quadrilatères présentant à la fois un centre de symétrie et un axe-miroir sont les rectangles et les losanges ;
- tout polygone régulier d'ordre pair a un centre de symétrie.

Polygone rotosymétrique

Un polygone est dit rotosymétrique d'ordre n ou plus brièvement n-rotosymétrique quand il présente un axe de rotation d'ordre n. Un polygone rotosymétrique d'ordre n a un nombre de côtés multiple de n. Inversement, un polygone ne peut présenter d'axe de rotation que si l'ordre de ce dernier divise son nombre de côtés. Les polygones réguliers et centrosymétriques sont des cas particuliers de polygones rotosymétriques. Exemples et contre-exemples :
- un triangle ne peut présenter d'axe de rotation que s'il est d'ordre 3 ; il est alors régulier, donc équilatéral ;
- tout quadrilatère rotosymétrique est centrosymétrique ;
- le cas le plus simple de polygone rotosymétrique sans être centrosymétrique ou régulier est celui de l'hexagone 3-rotosymétrique;
- tout polygone régulier présente par définition un axe de rotation du même ordre que le polygone ;
- tout polygone d'ordre premier présentant un axe de rotation est régulier.

Polygone scalène

Un polygone scalène est un polygone qui ne présente aucun élément de symétrie.

Classement par les angles

Polygone rectangle

Un polygone est dit rectangle quand il comporte au moins un angle droit. Exemples et contre-exemples :
- un triangle rectangle comporte un angle droit et deux angles aigus;
- un quadrilatère rectangle comporte au moins un angle droit; ce n'est cependant pas forcément un rectangle, qui en comporte quatre;
- dès qu'un trapèze comporte un angle droit, c'est un trapèze rectangle; mais tout trapèze rectangle comporte forcément au moins deux angles droits adjacents;
- le seul polygone régulier rectangle est le carré.

Polygone équiangle

Un polygone est dit équiangle quand tous ses angles sont égaux. Exemples et contre-exemples :
- le seul triangle équiangle est le triangle équilatéral;
- les quadrilatères convexes équiangles sont les rectangles;
- tous les polygones réguliers sont équiangles.

Autres classements

Polygone équilatéral

Un polygone est dit équilatéral quand tous ses côtés ont la même longueur. Exemples et contre-exemples :
- tous les polygones réguliers sont équilatéraux;
- les quadrilatères convexes équilatéraux sont les losanges.

Polygone inscriptible (dans un cercle)

Un polygone est dit inscriptible quand tous ses sommets se trouvent sur un même cercle. Ses côtés sont alors des cordes de ce cercle, d'où le nom de polygone de cordes donné par les anglais aux polygones inscriptibles. Exemples et contre-exemples :
- tout triangle est inscriptible;
- un trapèze n'est inscriptible que s'il est isocèle;
- tout quadrilatère formé de deux triangles rectangles accolés par leur hypotènuse est inscriptible;
- le seul parallélogramme inscriptible est le rectangle;
- tout polygone régulier est inscriptible;

Polygone circonscriptible (à un cercle)

Un polygone est dit circonscriptible quand tous ses côtés sont tangents à un même cercle. Les anglais ont baptisés polygone de tangentes ce type de polygone. Exemples et contre-exemples :
- tout triangle est circonscriptible;
- les seuls parallélogrammes circonscriptibles sont les losanges;
- tout polygone régulier est circonscriptible;

Algorithmique des polygones

- Calcul du centre de gravité d'un polygone
- Construction à la règle et au compas
- Théorème de Gauss-Wantzel
- Calcul de l'aire d'un polygone
- Simplification d'un polygone

Voir aussi

- Forme cristalline
- Polyèdre
- Polygone de sustentation
- ja:多角形

Pentagone (figure)

Un pentagone est un polygone à cinq sommets et cinq côtés.

Pentagone régulier

côté Un pentagone régulier est un pentagone dont tous les côtés sont de même longueur et dont tous les angles internes valent 108°. L'aire A d'un pentagone régulier de côté a vaut

A = \frac\cot \frac = \frac  \sqrt \simeq 1.72048 a^2

° Si on trace les diagonales d'un pentagone régulier, on obtient un pentagramme. Le pentagone est très lié au nombre d'or. En effet, dans la figure ci-contre, on peut déceler de nombreux triangles d'or obtus (comme ceux formés par deux côtés et une diagonale) ou aigus comme ceux formés par deux diagonales et un côté). Le découpage fait aussi apparaître de nouveaux triangles d'or dont la taille a été divisée par φ ainsi qu'un nouveau pentagone dont la taille est divisée par φ².

Construction

triangles d'or Il est possible de construire un pentagone régulier à la règle et au compas. Consulter l'article: construction à la règle et au compas. Mais la méthode la plus simple pour faire un pentagone est encore de prendre un morceau de feuille rectangulaire et de faire un noeud avec, comme le montre l'image ci-contre ! Catégorie:Polygone ja:五角形

Section

Une section du latin sectio: division est une coupe ou l'action de couper de diviser.

Géométrie

La section est la surface d'un plan coupant un volume.

Organisation administrative

Organisation Militaire

Transport

Certaines lignes de transport en commun ont leur parcours divisé en sections, qui servent à déterminer le prix du trajet.

Matériel électrique

La section est la surface en mm² de la coupe tranversale de la partie conductrice (l'âme)d'un fil électrique. catégorie:unité militaire

United Nations Security Council

De Veiligheidsraad is het hoogste orgaan van de Verenigde Naties en bestaat uit vijftien leden, waarvan vijf permanente leden; de Verenigde Staten, Rusland,China, het Verenigd Koninkrijk en Frankrijk. De overige tien landen worden volgens een regionale verdeelsleutel telkens voor twee jaar door alle leden van de VN gekozen (elk jaar 5 landen). Om een besluit te nemen in de Veiligheidsraad moeten er negen stemmen vóór zijn, terwijl geen van de vijf permanente leden tegen stemt. De permanente leden hebben namelijk het recht van veto. Het voorzitterschap van de Veiligheidsraad wisselt elke eerste dag van een nieuwe maand. De veiligheidsraad beslist uiteindelijk over het inzetten van vredesoperaties.

Meest recente tijdelijke leden

De meest recente tijdelijke leden zijn/waren:

Vetorecht van de vijf permanente leden

De vijf permanente leden hebben vetorecht. Daarmee kunnen zij voorgestelde besluiten (ontwerpresoluties) van andere Raadsleden met betrekking tot internationale vrede en veiligheid tegenhouden. Tijdens de Koude Oorlog is er van dit recht veelvuldig gebruik gemaakt, waardoor de Veiligheidsraad vaak niet tot een beslissing kon komen. Sinds 1990 wordt het vetorecht alleen nog in bijzondere omstandigheden gebruikt.

Mogelijke uitbreiding van de Veiligheidsraad

Vier landen — te weten Brazilië, Duitsland, India en Japan — hebben aangegeven dat zij graag een permanente zetel in de Veiligheidsraad willen krijgen. In september 2005 is hierover gestemd. Daarnaast zouden ook nog één of twee Afrikaanse landen een permanente zetel moeten krijgen, maar hier is nog veel onduidelijkheid over. Mede door het feit dat de huidige vijf permanente leden liever geen nieuwe permanente leden erbij willen hebben.

Resoluties

- Resolutie 242 Veiligheidsraad Verenigde Naties
- Resoluties 476 en 478 Veiligheidsraad Verenigde Naties

Externe links

- [http://www.un.org/Docs/sc/ Veiligheidsraad op de site van de Verenigde Naties (Engels)]
- [http://www.un.org/Docs/sc/unsc_resolutions.html Alle resoluties van de Veiligheidsraad, vanaf 1946 (Engels)] Categorie:Verenigde Naties ja:国連安全保障理事会 ko:UN 안전보장이사회 ms:Majlis Keselamatan PBB simple:Security Council zh-min-nan:An-chôan Lí-sū-hōe

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