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Divisibilité

Divisibilité

catégorie:Arithmétique

Diviseurs et Multiples

Étant donné des entiers relatifs a et b, on dit que b divise a s'il existe un entier c tel que a = b × c.

On dit aussi que :
- a est divisible par b
- a est un multiple de b

Par exemple, si on note D_m l'ensemble des diviseurs de m, D₁₀ = ; si on note M_n l'ensemble des multiples de n, M₁₀ = où k parcourt l'ensemble des entiers relatifs.

Propriétés de base de la divisibilité

# a divise a. # Si b divise a et si b est non nul, alors |b| =< |a|. # Si b divise a, et si a divise c alors b divise c. # Si a divise b et a divise c alors, pour tous les entiers k et k', a divise (kb-k'c). # Si a divise b et b divise a, alors |a| = |b|. # La divisibilité est une relation d'ordre sur les entiers naturels (en effet : 1, 3 et 5 impliquent respectivement la réflexivité, la transitivité et l'antisymétrie de cette relation). # ℕ muni de la divisibilité, du pgcd et du ppcm est un treillis.

La division euclidienne dans ℤ

Pour tous entiers relatifs a et b, il existe un couple unique d'entiers (q ; r) tel que : a = b × q + r avec 0 =< r < b
- a s'appelle le dividende de la division euclidienne.
- b s'appelle le diviseur de la division euclidienne.
- q s'appelle le quotient de la division euclidienne.
- r s'appelle le reste de la division euclidienne.

Voir aussi :

- Mathématiques
- Critères de divisibilité
- Table des diviseurs
- Table des facteurs premiers

Entier naturel

En mathématiques, un entier naturel (aussi appelé nombre naturel) est un nombre entier et positif, comme 0, 1, 2, 3, 4, 5... 12, 512,

2 \times 10^3

... Il s'agit donc de nombres qui permettent de compter les objets quand ils sont en quantité discrète ; par exemple, les doigts, les feuilles d'un arbre. Ils ne permettent pas de mesurer des quantités continues comme une longueur, un volume ou une masse. Certains mathématiciens ne comptent pas zéro comme un entier naturel. Bien que cette notion paraisse intuitive, leur définition formelle en mathématiques n'a pas été simple à concrétiser. Les axiomes de Peano définissent l'ensemble des entiers naturels, noté N ou

\mathbb

. On note

\mathbb^ -

l'ensemble des entiers naturels privé de l'élément zéro.

Les entiers naturels, une abstraction des objets réels

Au départ sont les objets, les animaux. On a des fruits, un troupeau ... Ces objets n'ont rien à voir entre eux, mais ils ont pourtant une caractéristique commune : dans un panier, les tomates sont distinctes et à peu près identiques, dans un troupeau, les vaches sont elles aussi distinctes et à peu près identiques. On a donc inventé des objets qui n'existent que dans l'esprit et qui ont la propriété suivante : ils sont distincts et interchangeables. Ce sont des objets sans aucun support matériel, de purs concepts. On écrira donc « un (1) », « deux (2) », « trois (3) » ... Trois quoi ? Trois de ces objets inventés et sans support matériel, trois « unités ». On écrira V le nombre de vaches et T le nombre de tomates par exemple, ces deux variables sont manipulables mathématiquement, indépendamment des objets qu'elles représentent. On a donc extrait une propriété qui nous intéressait (la « dénombrabilité »), et on a fabriqué un objet imaginaire qui n'avait que cette propriété ; cet objet est l'« unité ». Ce processus mental est connu sous le nom d'abstraction, on fait abstraction de la qualité de l'objet pour s'intéresser uniquement à la quantité. Comme une quantité ne peut être moindre que un, zéro n'est pas un nombre ! heureusement d'ailleurs, sinon, 1 serait le deuxième nombre !

Quelques pistes à propos du zéro

Les chiffres vont de 1 à 9 et permettent d’écrire les nombres. Qu’en est-il du zéro ? Zéro est-il un chiffre ? Zéro, çifr en arabe, signifie vide. C'est la racine du mot chiffre, elle maintient une vérité fondamentale, l'illusion de tout ce qui est quantifiable. Le zéro métaphysique est le « Non-être » symbolisé par le « vide » dans les traditions orientales. « Avant l'Un, que peux-tu compter ? » demande l'auteur du Sepher Ietsirah. Peut-il y avoir une quantité moindre que zéro ? « Avancer qu'une quantité négative isolée est moindre que zéro, c'est couvrir la science des mathématiques, qui doit être celle de l'évidence, d'un nuage impénétrable, et s'engager dans un labyrinthe de paradoxes tous plus bizarres les uns que les autres. » (Carnot - Notes sur les quantités négatives) En effet, zéro « représente purement et simplement l'absence de toute quantité, car une quantité qui serait moindre que rien est proprement inconcevable. » (René Guénon, Les Principes du Calcul infinitésimal – NRF Gallimard, 1946, p. 97) Force est de constater qu'en mathématique la division par zéro n'a pas de sens ; elle est dite impossible A noter que le concept de nombre nul ainsi que la définition de l'infini comme inverse du zéro apparaissent dans la publication du mathématicien et astronome indien Brahmagupta (628). (Voir Georges Ifrah, Histoire universelle des chiffres, R. Laffont, 1994, tome II, p. 460). Leibniz, redécouvrant la nature binaire de la manifestation, remplace le 1 et le 2 par le 0 et le 1 qui sont restés les deux signes utilisés dans le langage des ordinateurs. « Dans son arithmétique binaire, Leibniz voulait voir l'image de la Création. Il imaginait que l'unité représentait Dieu et zéro le néant ; que l'Etre Suprême avait tiré tous les êtres du néant ; de même que l'unité et le zéro expriment tous les nombres dans son système de numération. » (Laplace - Exposition du Système du Monde - Livre V, chap. VI) Ce point de vue amène cette remarque de René Guénon : « Les mathématiciens ayant (...) le tort de regarder le zéro comme une sorte de symbole du néant, comme si le néant pouvait être symbolisé par quoi que ce soit, il semble résulter de là que l'équilibre est l'état de non-existence, ce qui est une conséquence assez singulière » (Les Principes du Calcul infinitésimal - Op. cit., p. 106). Les mathématiques n'ont pas cessé pourtant d’abandonner toute base métaphysique. Pascal serait très étonné de nos soi-disant certitudes. Pour lui, il était évident que zéro représentait le rien. N'a-t-il pas écrit : « J'en sais qui ne peuvent comprendre que qui de zéro ôte quatre reste zéro » ? (Pensées - Hachette, 1973, p. 30) Depuis, le résultat de cette opération est devenu (-4). Les nombres négatifs sont bien une « création » de l'homme au sens où l'entend Guénon. Qu'en est-il actuellement ? Un mathématicien contemporain écrit, à la page zéro de son livre : « Dans le langage courant, zéro désigne aussi bien un nombre - le plus petit possible dans un comptage - que le chiffre qui le représente. Introduit initialement comme signe dans la numération de position, son statut de nombre ne fut reconnu que beaucoup plus tard. » (François Le Lionnais, Les nombres remarquables - Paris : Herman, 1983, p. 0). Voilà donc un livre dont la première page est la page 0, la deuxième la page 1... L'absence de quantité peut-elle faire nombre ? La logique purement mentale a fini par supplanter l'intelligence métaphysique. Avant l'invention du zéro par les Indiens, on laissait en effet, dans l'écriture d'un nombre, un espace pour indiquer l'absence de quantité. Cela était cause de maintes erreurs : « Des tablettes portant des inscriptions cunéiformes prouvent qu'à cette époque, sous le signe du roi Hammourabi, les mathématiciens de Babylone réalisaient d'étonnantes prouesses de calcul. L'usage du zéro leur était inconnu et un espace symbolisait l'absence de chiffre d'un ordre donné ; cependant, cet espace était souvent oublié, d'où une certaine ambiguïté dans les nombres transcrits. » (Bergmani, Les Mathématiques - Life, 1965, p 16). Al-Khowarizmi écrit : « Nous avons décidé d'exposer la manière de compter des Indiens, à l'aide de IX caractères et de montrer comment, grâce à leur simplicité et leur concision, ces caractères peuvent exprimer tous les nombres. » (Livre de l'addition et de la soustraction d'après le calcul des Indiens) Dans son traité sur les nombres hindous, il a popularisé une sentence qui devint traditionnelle : « Lorsqu'il ne reste rien, faites figurer un petit cercle pour que la place ne demeure pas vide. » L'emploi des dix signes de notre numération est cependant antérieur. Cependant, la numération décimale basée sur le principe de position et sur l'emploi du signe “zéro” était déjà utilisée par le chimiste Abu Musa Gabir ibn Hayyan, qui vivait vers 776, dans son livre Les Poissons. (Voir Georges Ifrah,- Histoire universelle des chiffres , op. cit). Dès le début du VIe siècle les mathématiciens indiens Brahmagupta et Bhâskara révélaient dans leurs œuvres une parfaite maîtrise de la numération décimale de position au moyen de neuf chiffres et du zéro dont la découverte remonterait aux IVe-Ve siècles. En Europe, c'est le moine Gerbert, devenu pape sous le nom de Sylvestre II, qui introduisit le zéro dans la numération au Xe siècle. On a peine à imaginer ce que fut l'apport des chiffres indiens. En arabe ancien, comme en hébreu et en grec, on ne distinguait pas les chiffres des lettres et ceux-ci étaient à l'origine des hiéroglyphes. (Voir A. Youschkevitch, Les Mathématiques arabes : XIIe-XIVe s., Paris : A. Vrin, 1976, tome I, p. 165). Ainsi le radical hébreu yd se retrouve aussi bien dans y(o)d, dixième lettre de l'alphabet signifiant « dix », que dans y(a)d signifant « main ». L'emploi du zéro était connu des Mayas qui le représentait par la coquille, liée à la mort, ou par l'escargot. (Voir Girard Raphaël, Le Polpol-Vuh : histoire culturelle des Mayas-Quichés - Paris, 1954, p. 42). Zéro, chez les Babyloniens, « ne fut jamais conçu comme un nombre : synonyme de “vide” seulement, il ne correspondit jamais au sens de la “quantité nulle”. » (Georges Ifrah, Op. cit., tome I, p. 774). Comme les Babyloniens, les Egyptiens laissaient un espace vide pour mettre en évidence le fait qu'il n'y avait rien. Ceci est symboliquement plus juste, mais beaucoup moins pratique et source de multiples erreurs. Comment représenter le rien par un signe ? La représentation par un petit rond, un cercle, est incorrecte puisque le cercle est engendré à partir du zéro. La ligne droite, courbe ou circulaire, que l'on dit formée de points n'est-elle pas en réalité formée de zéros puisque le point n’a ni longueur, ni largeur, ni épaisseur et n’est donc représentable que par approximation ? Paradoxalement, le vide est plein : chacun sait que « la Nature a horreur du vide ». Au plan métaphysique, la mort à soi-même est vacuité. « Qui atteint à sa vertu primitive s'identifie avec l'origine de l'Univers et par là avec le vide. » (Chuang-Tzu, ch. Ciel-Terre in François Chang- Vide et Plein. Le langage pictural chinois - Paris : Seuil, 1979). Le vide est plein de tous les possibles. « A l'origine, il y a le Rien (wu) ; Le Rien n'a point de nom. Du Rien est né l'Un ; L'Un n'a point de forme. » (Tao Té King) Le Un métaphysique n'est pas le un mathématique. Il en est de même pour le zéro : « le Zéro métaphysique n'est qu'un aspect de l'Infini ; du moins il nous est permis de le considérer comme tel en tant qu'il contient en principe l'unité, et par suite tout le reste. En effet, l'unité primordiale n'est que le Zéro affirmé, ou, en d'autres termes, l'Etre universel, qui est cette unité, n'est que le Non-être affirmé... ». (René Guénon, Les Etats multiples de l'Etre - Véga, Paris, 1980, p. 37-38) L’abandon, au non de la raison et de la logique cartésienne de toute base métaphysique est-elle un progrès pour l’humanité ? A voir les conséquences, il est permis d’en douter. « Science sans conscience n’est que ruine de l’äme » écrivait Montaigne.

Emploi

Les nombres naturels permettent de compter les éléments d'un ensemble fini.

Propriété

(à faire)

Addition

Une addition consiste à ajouter un entier à un autre entier. Le résultat est appelé la somme.
- 0 est neutre pour l'addition: le résultat de la somme d'un nombre quelconque et de zéro donne ce même nombre. :a+0=a :5+0=5 :13+0=13 :4+0=4
- L'addition est commutative: l'ordre des termes de l'addition de deux termes ne change pas le résultat. :a+b=b+a :5+3=3+5 :8+4=4+8 :17+2=2+17

Multiplication

Le résultat d'une multiplication est appelé le produit.
- 1 est neutre pour la multiplication. Le résultat du produit d'un nombre quelconque par 1 donne ce même nombre. :a × 1 = a :5 × 1 = 5 :13 × 1 = 13 :4 × 1 = 4
- La multiplication est commutative. L'ordre des termes de la multiplication de deux termes ne change pas le résultat. :a × b = b × a :5 × 3 = 3 × 5 :8 × 4 = 4 × 8 :17 × 2 = 2 × 17
- Il y a plusieurs manières de définir la multiplication. Elle peut par exemple, être définie par récurrence comme itération de l'addition en posant : :0×n=0 :m×(n+1)=m×n+m

Voir aussi

- La construction des entiers naturels
- Les nombres premiers
- Les nombres parfaits
- Les nombres quasi-parfaits
- Les nombres semi-parfaits
- Les nombres abondants
- Les nombres superabondants
- Les nombres amicaux
- Les nombres déficients
- Les nombres sociaux
- Les nombres amiables
- Les nombres chanceux
- Les nombres étranges
- Les nombres tordus
- Les nombres harmoniques
- Les nombres triangulaires
- Les nombres hexagonaux
- Les nombres figurés
- Les nombres chromatiques
- Le raisonnement par récurrence
- Les Axiomes de Peano Catégorie:Nombre ja:自然数 ko:자연수 th:จำนวนธรรมชาติ

Plus petit commun multiple

ko:최소공배수 ja:最小公倍数 catégorie:Arithmétique Le plus petit commun multiple (en abrégé P.P.C.M.) de deux entiers a et b est le plus petit nombre entier strictement positif qui est un multiple des deux entiers a et b. On le note ppcm (a,b). S'il n'existe aucun tel nombre entier strictement positif, c'est-à-dire si a ou b est nul, alors ppcm (a,b) (aussi noté a⋁b) est par convention égal à zéro. Le plus petit commun multiple est utile pour ajouter ou soustraire des fractions, parce qu'il produit un dénominateur commun. Par exemple : :2/21 + 1/6 = 4/42 + 7/42 = 11/42 On se ramène au dénominateur 42, parce que ppcm(21,6) = 42. Dans le cas où aucun des deux entiers a et b n'est nul, le plus petit commun multiple peut être calculé en utilisant le plus grand commun diviseur (ou P.G.C.D.) de a et b,

a \vee b = \frac

qui s'écrit aussi

ppcm(a,b) = \frac

Ainsi, l'algorithme d'Euclide pour le calcul du P.G.C.D. nous donne aussi un algorithme rapide de calcul du P.P.C.M.. Par exemple : :le P.P.C.M. de 12 et 15 est 12 × 15/3 = 60.

Mathématiques

Les mathématiques peuvent être définies de plusieurs façons, complémentaires :
- la science des nombres et de l’espace
- la science des formes de déduction
- la science des structures, des modèles ou de tous les mondes possibles On pourrait aussi parler de la Mathématique pour souligner que les diverses composantes de celle-ci (algèbre, analyse, géométrie, etc.) sont en fait seulement des façons différentes d'étudier ou de créer des systèmes structurés par des relations (notion généralisée de graphes). Dans cette optique la mathématique est vue comme un édifice à construire ou à reconstruire. Mathématique vient du grec μάθημα (mathêma), science, connaissance, apprentissage (mathematikos : qui aime apprendre). L’origine historique des mathématiques est liée à leurs applications concrètes, le commerce, la mesure des surfaces, la prédiction des évènements astronomiques. L'adjectif mathématique qualifie tout objet, concept ou terme relatif aux mathématiques. Dans ce sens il s'accorde au mot auquel il est associé, contrairement au terme qui désigne la science des mathématiques, qui est le plus souvent employé au pluriel. La Mathématique, au singulier, n'est plus guère usitée que de manière didactique. L'expression « c'est mathématique » signifie qu'il existe une logique interne et inéluctable propre à l'évènement ou à la série d'évènements ainsi commentée. :« La possibilité même de la science mathématique semble une contradiction insoluble. Si cette science n'est déductive qu'en apparence, d'où lui vient cette parfaite rigueur que personne ne songe à mettre en doute ? Si, au contraire, toutes les propositions qu'elle énonce peuvent se tirer les unes des autres par les règles de la logique formelle, comment la mathématique ne se réduit-elle pas à une immense tautologie ? Le syllogisme ne peut rien nous apprendre d'essentiellement nouveau et, si tout devait sortir du principe d'identité, tout devrait aussi pouvoir s'y ramener. » ::Henri Poincaré, La Science et l'hypothèse

Définitions des mathématiques

La science des nombres et de l’espace

L'étude des mathématiques commence avec les nombres, tout d'abord avec les nombres naturels et les nombres entiers. Les règles gouvernant les opérations usuelles sur les nombres (addition, multiplication, soustraction, division) font partie de l'arithmétique élémentaire. L'algèbre élémentaire est fondée sur l'abstraction de ces règles. L'étude des surfaces simples (polygones, cercles,...) forme la géométrie élémentaire...

La science des formes de déduction

Une déduction consiste à partir de prémisses pour arriver à une conclusion en procédant par des étapes logiques. On peut dire que toutes les sciences sont mathématiques, même l’histoire, au sens où elles font toutes des déductions, et parce qu’une déduction a toujours quelque chose de mathématique, pourvu qu’elle soit juste. Cependant, en mathématiques, l’étude de la forme du raisonnement, indépendamment de ses objets, a une importance cruciale. Montrons-le sur un exemple. Les mêmes axiomes, ceux des espaces vectoriels, peuvent être utilisés à la fois pour étudier des espaces géométriques, l’espace euclidien par exemple et pour étudier l’ensemble des solutions d’une équation différentielle linéaire. Les théorèmes sur les espaces vectoriels sont donc valables à la fois pour la géométrie euclidienne et pour les équations différentielles linéaires. On peut considérer que la théorie abstraite des espaces vectoriels consiste à étudier toutes les déductions qui partent des mêmes axiomes, indépendamment des objets auxquels ils sont appliqués. On étudie alors les formes de déduction et non les objets auxquels ces formes sont appliquées. Cette définition convient bien aux mathématiques appliquées. De nombreuses théories abstraites (les nombres entiers et réels, les fonctions réelles de variable(s) réelle(s) et les équations différentielles, les espaces vectoriels, les groupes, la théorie des probabilités, ...) ont une utilité générale pour toutes les sciences, parce qu’elles peuvent être appliquées à de nombreux objets. Le travail des mathématiques appliquées consiste à développer des théories, dont la valeur est universelle, en vue d’aider les autres sciences dans leurs recherches des conséquences.

La science de tous les mondes possibles

Pour un mathématicien, rien n’est impossible, sauf ce qui est contradictoire. Par là, on veut dire qu’un discours non-contradictoire parle d’un monde concevable, imaginable, idéal. Les mondes possibles sont parfois appelés des structures, lorsqu’ils sont très abstraits, ou des modèles. De ce point de vue, la mathématique est la théorie de tout ce qu’on peut imaginer. On croit souvent à tort que la connaissance de tous les possibles est une ambition démesurée et irréalisable mais elle ne l’est pas. Elle est à notre portée. Il est même très facile de connaître des vérités universelles, valables pour tous les possibles, le principe du tiers exclu par exemple. Tout énoncé sur un monde possible y est ou bien vrai, ou bien faux. Ce n’est pas forcément très intéressant mais c’est un début. Le travail des mathématiques pures consiste à augmenter notre capacité à connaître tous les possibles. Il se trouve qu’il y a des théories particulières (les nombres, les groupes, ...) qui jouent un rôle privilégié dans cette connaissance, et qu’elles sont souvent, mais pas toujours, les mêmes que celles qui intéressent les mathématiques appliquées. C’est pourquoi les structures étudiées ont souvent leur origine dans les sciences naturelles, plus communément en physique. Toutefois, un grand nombre de structures sont purement internes aux mathématiques, unifiant différents champs d'application ou étant des outils aidant aux calculs. En fait, les mathématiques sont la science de la mesure.

La logique et les théories des ensembles

La logique énonce les règles, ou principes, qu’il faut respecter pour faire des déductions correctes. Les théories des ensembles sont des théories très générales qui permettent de formuler et de prouver toutes les connaissances mathématiques.
- Fondation des mathématiques Logique
- Logique
- Calcul propositionnel
- Calcul des prédicats
- Déduction naturelle
- Logiques modales
- Théorie des modèles
- Incomplétude Théories des ensembles
- Théorie des ensembles
- Axiomes de Zermelo-Fränkel
- Théorie des catégories

L’arithmétique et les mathématiques discrètes

Arithmétique
- Théorie des nombres
- Congruences
- Divisibilité
- PGCD / PPCM
- Théorème de d'Alembert-Gauss
- Identité de Bézout
- Petit théorème de Fermat
- Équations diophantiennes
- Cohérence des axiomes de l'arithmétique formelle
- Cryptologie
- Fonctions L
- Dernier théorème de Fermat Mathématiques discrètes
- Mathématiques discrètes
- Théorie des graphes

Les géométries

- Géométrie
- Coupe pentagonale de la pyramide à base carrée
- Géométrie euclidienne
- Géométries non euclidiennes
- Écrire les figures de la géométrie
- Géométrie projective
- Géométrie différentielle
- Géométrie algébrique
- Géométrie non commutative
- Courbe plane
- Orientation
- Anamorphose Trigonométrie
- Trigonométrie classique et formules
- Trigonométrie sphérique

L’algèbre

- Algèbre
- Structure algébrique
- Algèbre élémentaire
- Algèbre abstraite
- Théorie des catégories
- Théorie des groupes
- Algèbre linéaire
- Algèbre multilinéaire
- Théorie de la représentation

L’analyse et la topologie

Analyse
- Analyse
- Suites
- Séries
- Analyse réelle
- Nombres complexes, Analyse complexe
- Analyse fonctionnelle
- Algèbre des opérateurs
- Analyse p-adique
- Analyse rigide
- Équations différentielles
- Équations aux dérivées partielles
- Analyse non standard
- Analyse vectorielle
- Intégrale de Lebesgue
- Intégrale de Riemann
- Développement limité Topologie
- Topologie
- Espaces topologiques
- Espaces métriques
- Topologie algébrique
- Théorie des nœuds
- Théorie des tresses
- K-théorie

La théorie des probabilités

- Probabilités
- Statistiques

Mathématiques appliquées

Les domaines des mathématiques appliquées utilisent la connaissance des mathématiques à fin de résolution des problèmes du monde réel.
- Recherche opérationnelle
- Optimisation
- Modèle mathématique
- Probabilité
- Statistiques
- Mathématiques financières
- Mathématiques commerciales

Mathématiques récréatives

- Mathématiques récréatives
- Jeux mathématiques

Mathématiques élémentaires (non universitaires)

- Mathématiques élémentaires
- Algèbre élémentaire
- Analyse élémentaire
- Arithmétique élémentaire
- Géométrie élémentaire
- Aire de surfaces usuelles
- Solides usuels
- Volume de solides usuels
- Logique élémentaire
- Probabilité élémentaire
- Statistique élémentaire Statistique élémentaire Techniques de calcul
- Techniques de calcul mental
- Règle à calcul
- Boulier
- Liste des articles de technique de calcul
- Critère de divisibilité
- Calculs de longueur

Histoire des mathématiques

- Histoire des mathématiques
- Histoire des polynômes
- Histoire du calcul infinitésimal

Voir aussi

Annexes

- Wikipédia:Index thématique
- Mathématiciens célèbres
- Abréviations en mathématiques
- Associations de mathématiciens
- :en:Clay Mathematics Institute
- Association Bourbaki
- Femmes et mathématiques
- Société Mathématique de France
- Société de Mathématiques Appliquées et Industrielles
- Concours de mathématique
- Olympiades de mathématiques
- Médaille Fields
- Nombre
- Norme d'opérateur
- Numération
- Numération romaine
- Tables
- Table d'addition
- Table de multiplication
- Table des bases
- Table des diviseurs
- Table des facteurs premiers
- Table des symboles mathématiques
- Table de constantes mathématiques
- Table de limites
- Table de dérivées
- Table de primitives
- Table d'intégrales

Liens internes

- Conjecture
- Construction des objets courants
- Erreur de signes
- Langage formel mathématique
- Liste des articles de mathématiques
- Liste des fonctions mathématiques
- Liste des nombres
- Ordre de grandeur (nombre)
- Nombre figuré
- Liste des 23 problèmes de Hilbert
- Vocabulaire multilingue mathématique

Liens externes

- [http://math-editor.sourceforge.net/fr Barre Maths] Un modèle libre pour Microsoft Word permettant d'écrire des formules mathématiques très efficacement
- [http://www.apprendre-en-ligne.net/madimu/ Madimu] Un cours complet sur tous les thèmes traités de la 1ère à la 3e année de lycée... en Suisse
- [http://dmoz.org/World/Fran%c3%a7ais/Sciences/Math%c3%a9matiques/ Répertoire Mathématiques dmoz.org]
- [http://www.les-mathematiques.net www.les-mathematiques.net] Cours de qualité niveau deug/licence/agreg
- http://planetmath.org/ : encyclopédie collaborative, libre (GFDL) en anglais sur les mathématiques.
- [http://www.ilemaths.net l'île des mathématiques] : cours et exercices pour le collège et lycée, forums d'entraide scolaire.
- [http://www.mathematex.net/phpBB2/index.php MathemateX] Forum d'entraide mathématiques avec support Latex
- [http://www.maths-forum.com/ Forum Mathématiques] Forum d'entraide mathématiques
- [http://www.ac-creteil.fr/Colleges/93/jmoulinmontreuil/mathematiques/menu/frameset.html Maths au collège :] animations Flash illustrant les plus célèbres démonstrations du théorème de Pythagore, des illusions d'optique et des courbes du plan tracées dynamiquement (hypocycloïdes...).
- [http://maxima.sourceforge.net/ Maxima], le logiciel libre (GPL) le plus sophistiqué pour les opérations algébriques.
- [http://pari.math.u-bordeaux.fr/ PARI/GP], un logiciel libre très utilisé en théorie des nombres.
- [http://www.chez.com/ophtasurf/illusion.htm Illusions d'optique] : des centaines d'illusions d'optique géométriques
- [http://perso.wanadoo.fr/jpq/ perso.wanadoo.fr/jpq/] propose des animations Java pour illustrer des notions de mathématiques et en particulier de probabilités.
- [http://perso.wanadoo.fr/gilles.costantini Bac à Maths] des documents étoffés pour le lycée et les études supérieures.
- [http://www.mathprepa.com Mathprépa.com] : une zone de mathématiques pour étudiants en classes préparatoires
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- [http://www.forum.math.ulg.ac.be/ Math en ligne] : Forum d'aide en math fait par l'université de Liège
- [http://www.chronomath.com/ Chronomath] : Une chronologie des mathématiques très riche.
- [http://www.maths-express.com/ Maths-Express] : Des annales pour le baccalauréat, concours général et olympiades.
- [http://forum.maths-express.net/ Forum de maths] : Pour les élèves de lycée préparant le baccalauréat, le concours général ou les olympiades.
- [news:fr.sci.maths Forum Usenet francophone]; ses [http://groups.google.fr/groups?q=insubject%3AFAQ+OR+insubject%3Aconseils+group%3Afr.sci.maths&scoring=d&filter=0 FAQ et CU]
- [news:fr.education.entraide.maths Forum francophone d'entraide]
- [http://groups.google.fr/groups?q=sci.math Forums Usenet anglophones]
- [http://mathworld.wolfram.com/ La plus complète des ressources en Mathématiques (en anglais)]
- [http://www.contraintes.net Un site consacré aux contraintes artistiques volontaires] et sa rubrique dédié aux [http://www.contraintes.net/index.php/Bande_dessin%C3%A9e_%C3%A0_contraintes mathématiques à contraintes]
- [http://www.aromath.net @romath] Un site entièrement consacré aux mathématiques et à leur enseignement dans les lycées français.
- [http://www.SoSMath.be SoSMath.be:Forum d'aide en Math (SoSMath.fr)]
- [http://www.aide-en-maths.com: Forum d'aide en Maths pour le secondaire (aide-en-maths.com)]
- ja:数学 ko:수학 ms:Matematik simple:Mathematics th:คณิตศาสตร์ zh-min-nan:Sò·-ha̍k

Table des diviseurs

Les tables ci-dessous liste tous les diviseurs des nombres de 1 à 1000. Un diviseur d'un nombre entier n est un entier m, exprimé n/m qui est de nouveau un entier (qui est aussi nécessairement un diviseur de n). Par exemple, 3 est un diviseur de 21, car 21/3 = 7 (et 7 est aussi un diviseur de 21). Si m est un diviseur de n alors il est −m. Les tables ci-dessous listent seulement les diviseurs positifs.

Légende des tables

- d(n) est le nombre de diviseurs positifs de n, incluant 1 et n lui-même
- σ(n) est la somme de tous les diviseurs positifs de n, incluant 1 et n lui-même
- s(n) est la somme des diviseurs propres de n, qui n'inclut pas n lui-même
- Un nombre parfait égale la somme des diviseurs propres ; comme ceci : :

s(n)=n\,\!

; les seuls nombres parfaits compris entre 1 et 1000 sont 6, 28 et 496
- Un nombre déficient est inférieur à la somme de ses diviseurs propres ; comme ceci : :

s(n)< n\,\!

- Un nombre abondant est supérieur à la somme de ses diviseurs propres ; comme ceci : :

s(n)>n\,\!

- Un nombre premier n'admet seulement 1 et lui-même comme diviseur s ; comme ceci : :

d(n)=2\,\!

Diviseurs des nombres de 1 à 100

Diviseurs des nombres de 101 à 200

Diviseurs des nombres de 201 à 300

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Kaspio

Kaspio aŭ la Kaspia maro (latine Mare Caspium [mare KASPium] aŭ Mare Hyrcanium [mare hirKANium],) estas salita lago, ĉ. 373.000 kv. km., situas inter Eŭropo kaj Azio. La plej granda lago en la mondo. Estas ĉirkaŭita de la teritorioj de Kazaĥstano - de la nordoriento, Turkmenio - de la sudoriento, Irano - de la sudo, Azerbajĝano - de la sudokcidento kaj Rusio - de la nordokcidento. Nomo de Kaspia Maro en lingvoj de ĉirkaŭantaj landoj: La surfaco de la Kaspia maro estas 28 m malsupre de marnivelo. Ĝi atingas maksimuman profundon, ĉ. 980 m, en la sudo; Norda parto estas malprofunda (ĉ. 5 m). Kaspion enfluas la riveroj:
- Volgo (kiu provizas pli ol 75% de ĝia akvo),
- Uralo,
- Emba,
- Kura,
- Terek. Kaspia maro ne havas elirejon, ĝi estas fermita natura akvorezervejo. La kvanto de elvaporiĝo estas precipe alta en la orienta enirejo, nomita Karabogazkol, kiu estas ekspluatata por produkti uzatan en kemia industrio salon per natura elvaporiĝo. Per variado de elvaporiĝo klarigeblas la granda ŝanĝo en la grandeco de la maro dum la daŭro de la historio. La kreskanta elspezo de la Volga akvo por industria kaj ĉiutaga uzo estas supozeble la ĉefa kialo de la malaltiĝo de la marnivelo, tre serioza problemo de nuntempo. La ĉefaj havenoj sur la Kaspio estas Baku, granda petrola centro, kaj Astraĥan, ĉe la buŝo de la Volgo. Kaspia marfundo subkaŝas grandajn rezervojn de nafto kaj natura gaso, kio kaŭzas akrajn disputojn inter la kvin najbaraj landoj, kiuj penas dividi inter si kaj marfundon (pro energiaj riĉaĵoj), kaj marsurfacon (por navigaj celoj kaj fiŝkaptado). Kategorio:Lagoj Kategorio:Azio ja:カスピ海 ko:카스피 해

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