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| Géométrie |
GéométrieLes philosophes de la grèce Antique, dont Euclide, ont défini la géométrie comme la science mathématique des figures dans le plan et des volumes (les corps, au sens classique) dans l’espace.
Cet article est principalement consacré à la géométrie ainsi entendue. Mais il expose au préalable, par souci de complétude, une autre définition, plus générale, moins précise, mais plus proche de l’usage de cette notion dans les mathématiques et les sciences contemporaines.
La géométrie comme science des positions
Les progrès des connaissances ont rendu la définition classique beaucoup trop restrictive. On peut parler de la géométrie de l’espace-temps et de nombreux espaces abstraits. La distinction entre ce qui est et n’est pas géométrique est alors délicate. Toute structure, tout modèle, tout univers possible, peut être étudié, d’une façon géométrique. On peut alors définir la géométrie comme la science des positions.
Cette définition est moins précise que la précédente parce que la notion de position est d’abord intuitive, position dans l’espace, dans le temps, dans un réseau, … On peut parler de positions dès qu’il y a des relations de position ou un ordre de positions. Comment divers êtres sont-ils placés les uns par rapport aux autres ?
En ce sens général, la géométrie n’est pas restreinte à l’étude des figures spatiales. On peut développer une géométrie des positions sociales (Pierre Bourdieu, La distinction). On peut aussi parler de géométrie à propos de tout système d’êtres mathématiques, dès qu’il y a du sens à parler de leurs positions relatives.
La suite de cet article revient à la première définition de la géométrie, qui est un cas particulier de la seconde. Il s’agit d’étudier les positions statiques des corps rigides dans l’espace, notre espace physique à la fois large, long, et profond. La science générale des positions des corps, c’est au fond la science du mouvement, ou la science de la matière, c’est donc toute la physique. Se limiter aux positions statiques des corps rigides a une grande importance pratique et permet dans un premier temps d’ignorer les complications d’une théorie du temps.
Origine probable de la géométrie
On place souvent ses débuts telle qu'on la connaît dans la Grèce antique, où la parcellisation des terres conduisait à faire de savants calculs sur les surfaces cultivées et partagées. Il s’agissait donc de topographie. Les outils de base des constructions géométriques étaient (et sont restés) la règle et le compas (qui n'étaient parfois tous les deux qu'une simple corde servant à tirer des droites, à tracer des cercles et à reporter des distances). (voir Construction à la règle et au compas)
Le prestige de la géométrie
La géométrie est très importante dans l'histoire des mathématiques et de la pensée philosophique, car elle est la première théorie axiomatique digne de ce nom. Euclide a réuni l’ensemble des connaissances géométriques de son temps d’un telle façon qu’elles soient toutes ou bien des vérités premières, des axiomes, ou bien des théorèmes, prouvés à partir des axiomes. Cette méthode axiomatique a un immense prestige aux yeux des scientifiques et des philosophes en tant qu’idéal de perfection du raisonnement. Pour désigner la logique, Pascal disait “l’esprit de géométrie”.
Qu’est-ce qu’une figure géométrique ?
Les Eléments d’Euclide sont consacrés aux lignes droites, aux cercles, aux triangles, aux figures planes que l’on peut construire à partir des précédentes, aux figures spatiales que l’on peut limiter par ces figures planes, et à quelques autres que l’on peut définir à partir des droites et des cercles (sphères, …) Les figures peuvent ainsi être dessinées ou construites principalement à la règle et au compas.
La définition moderne d'une figure est très différente de celle d’Euclide. Sous sa forme la plus tolérante elle dit que n’importe quel ensemble de points est une figure. Au point de vue mathématique, cela ouvre un immense espace de possibilités mais cela pose quelques difficultés au point de vue physique : du fait des propriétés étonnantes des espaces continus (une région finie contient un ensemble infini de points, …), certaines figures mathématiques (les lignes continues non différentiables, …) peuvent avoir des propriétés qui n’ont pas de sens physique, qui ne peuvent pas être confrontées à l’expérience, parce que celle-ci ne livre jamais qu’une somme finie d’informations.
La vérité de la géométrie euclidienne
En liaison avec la physique, la géométrie permet de faire des calculs théoriques et donc de prédire des événements, du type « jusqu'à quelle pression mon réservoir va-t-il résister » ; on peut donc réduire le nombre d'essais concrets, d'expériences (on ne va construire qu'un seul réservoir et le tester, plutôt que de procéder par tâtonnement en essayant plusieurs types de réservoirs). Elle a en fait permis la naissance de la mécanique, c'est-à-dire de l'étude des mouvements des objets (trajectoire, vitesse) et de leur déformation (notamment résistance des matériaux et répartition des forces dans un assemblage).
La géométrie peut être considérée comme une théorie physique. Il s’agit principalement des positions observables de corps rigides. Cette interprétation expérimentale des vérités géométriques pose quelques difficultés techniques, parce que les lignes droites sont infiniment longues et fines, et qu’elles ne peuvent donc pas être observées. Mais la définition d’une ligne droite à partir de l’ensemble des positions possibles d’un corps rigide et la notion technique de précision de la mesure donnent un sens expérimental univoque aux théorèmes géométriques. Des expériences, avec une feuille de papier et un compas par exemple, peuvent alors prouver que certains théorèmes sont vrais. Il faut seulement faire attention aux effets de la dilatation thermique. Mais ces vérités expérimentales ne sont pas des vérités au sens mathématique, parce qu’elles pourraient être fausses dans un autre univers, ou si les lois de notre univers changeaient, ou même dans notre univers avec les mêmes lois si les procédures expérimentales étaient modifiées. De ce point de vue, les théorèmes géométriques sont seulement des vérités hypothétiques. Certains axiomes sont évidents mais cela veut seulement dire qu’ils sont en accord avec les expériences quotidiennes sur les corps rigides.
Du fait des limites de la précision de la mesure, on peut trouver des théorèmes vrais au sens expérimental, c’est-à-dire qu’ils sont en accord avec les observations, mais faux au sens mathématique. Mais dans ce cas, des exprériences plus précises pourraient en montrer la fausseté.
La vérité au sens expérimental, cela veut dire ici qu’il y a un monde réel, qu’il contient des corps rigides, et qu’une phrase est vraie si et seulement si les corps rigides sont réellement comme elle le dit.
La géométrie peut aussi être considérée comme une théorie sur des êtres abstraits, idéaux, mathématiques. Alors sa vérité ne dépend plus des expériences. Un théorème est vrai lorsque les êtres abstraits sont idéalement comme il le dit. On peut alors définir la vérité mathématique comme une vérité à propos d’un monde virtuel, idéal, possible. (voir Théorie des modèles et ci-dessous, la géométrie et le développement des projets).
Fable sur la naissance de la géométrie
Nous allons imaginer ci-après ce qu'a pu être le cheminement qui amena à l'élaboration de la géométrie, et notamment à la rédaction des Éléments par Euclide ; il ne s'agit pas là d'une reconstitution historique, mais plutôt d'un fable destinée à illustrer la naissance du concept de géométrie et la notion d'abstraction.
Dans l'antiquité, les mathématiques correspondaient à des besoins très concrets du type : « quelles doivent être les dimensions de mon silo pour que je puisse stocker tout mon grain ? » (1) Les calculs faits sur des objets concrets (ici, les silos et les grains) ne faisaient intervenir que certaines caractéristiques (longueurs, aires, volumes) et n'avaient pas besoin des autres caractéristiques (comme le matériau de construction, l'épaisseur des parois, la masse). Par le processus d'abstraction, les scientifiques (que l'on appelait plus volontiers philosophes à l'époque) ont construit des objets définis uniquement par ces grandeurs ; ces objets abstraits n'ayant pas de constitution matérielle, ils pouvaient être représentés par des dessins sur une surface.
On a donc une distinction entre le dessin d'art, qui avait à l'époque une connotation religieuse et magique et servait aussi à l'éducation et à la conservation de la mémoire, et le dessin géométrique qui n'est qu'un support visuel, une aide à la réflexion, pour des objets abstraits. (voir Éléments d'histoire des sciences, Michel Serres et coll., éd. Bordas, Paris, 1989)
La géométrie et le développement des projets
La géométrie peut donc être décrite comme étant « du dessin servant faire un modèle simplifié d'objets réels ». Comme tout processus d'abstraction, la géométrie permet de prendre du recul par rapport à la réalité, et à simplifier le problème ; on commence par résoudre tout ce qui est relatif aux dimensions de l'objet réel avant de s'attaquer au reste (comment on va construire l'objet, comment on va l'assembler avec les autres objets).
La géométrie a donc naturellement permis de grands progrès en architecture et en mécanique, avec notamment la naissance du dessin industriel.
Si quelqu'un vous disait de but en blanc « je construis une voiture fictive », vous l'imagineriez, tel Charlot dans les Temps modernes, en train de mimer le vissage des boulons dans le vide, et vous le prendriez sûrement pour un fou.
Or, la notion de projet, ce n'est rien d'autre que cela : travailler sur un objet qui n'existe que dans l'esprit.
Cette notion de projet qui nous paraît évidente en raison de notre culture est en fait une violence faite au « bon sens », qui frise la schizophrénie (le « projeteur » vit dans un monde imaginaire). Le dessin permet de « concrétiser », de « matérialiser » l'imagination et donc de sortir le « projeteur » de sa « folie », de lui redonner contact avec la réalité.
Cet objet fictif est tracé sur papier, et c'est ce dessin, en tant que support de la réflexion, qui permet d'élaborer l'objet avant même d'avoir pris le premier outil ; il permet aussi l'échange des idées et la transmission d'information (passage du bureau d'étude au bureau des méthodes, puis à l'atelier de fabrication).
La géométrie est donc une révolution fondamentale dans la manière de penser qui fait naître la notion de projet (projection dans l'avenir, travail sur un objet qui n'existe pas).
La géométrie, et notamment la trigonométrie, est également à l'origine du développement de la navigation : navigation maritime aux étoiles (avec les sextants), cartographie, navigation aérienne (pilotage aux instruments à partir des signaux des balises).
Récemment, le mariage de la géométrie avec l'informatique a permis l'arrivée de la conception assistée par ordinateur (CAO), des calculs par éléments finis et de l'infographie. Cela permet notamment de répondre à la question : « comment représenter un objet fictif complexe de manière compréhensible pour un humain ».
Voir aussi
Généralités
- Géométrie euclidienne
- Géométrie vectorielle
- Géométrie analytique
- Espace euclidien
- Géométrie non euclidienne
- Géométrie projective
- Géométrie dans l'espace
- Géométrie différentielle
- Géométrie algébrique
- Géométrie non commutative
- Écrire les figures de la géométrie
Développements et Applications
- Fonction trigonométrique
- Courbe plane
- Orientation
- Coupe pentagonale de la pyramide à base carrée
- Optique géométrique
- Figures géométriques (dessins des civilisations anciennes)
- Géodésie
- Le parallélisme en automobile
Catégorie:Mathématiques
-
ja:幾何学
ko:기하학
simple:Geometry
zh-min-nan:Kí-hô-ha̍k
Euclide (mathématicien)
Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης Eukleidês (né vers -325, mort vers -265 à Alexandrie) était un mathématicien de la Grèce antique, auteur des Éléments, qui sont considérés comme un des textes fondateurs des mathématiques modernes : la rigueur n'est pas toujours à la hauteur des canons actuels mais la méthode consistant à partir d'axiomes, de postulats et de définitions, pour déduire un maximum de propriétés des objets considérés, le tout dans un ensemble organisé, était nouvelle pour l'époque. Les Éléments durent leur succès à leur supériorité d'organisation, de systématisation et de logique mais pas d'exhaustivité (ni de conique, ni de résolution par neusis ou ajustement).
La géométrie telle que définie par Euclide dans ce texte fut considérée comme la géométrie pendant des siècles, et fut difficile à expugner de ce rôle ; Nicolaï Ivanovitch Lobatchevsky fut le premier à s'y essayer officiellement dès 1826, suivi de János Bolyai, mais la légende veut qu'il n'ait pas été pris au sérieux jusqu'à la mort de Gauss, lorsque l'on découvrit parmi ses papiers qu'il avait aussi songé à des géométries non euclidiennes ! Depuis, l'existence d'une grande variété de géométries distinctes, mais toutes aussi valables est communément admise.
Euclide est aussi l'auteur des Données, de L'optique et la catoptrique et d'un livre perdu sur les coniques.
Voir aussi
Liens internes
- Division euclidienne
- Géométrie euclidienne
Liens externes
Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide (1632, traduction en vieux français)
Catégorie:Mathématicien de la Grèce antique
Catégorie:Philosophe grec
ja:エウクレイデス
ko:유클리드
Topographie
Catégorie:Topographie
La topographie est l'art de la représentation sur un plan ou une carte des formes et détails visibles sur le terrain, notamment le relief ainsi que les bâtiments, les routes. Son objectif est de déterminer la position et l'altitude de n'importe quel point situé dans une région,dans une zone donnée qu'elle soit de la taille d'un état comme de la taille d'une propriété.
Application mathématique
Ces cartes sont une représentation géométrique, en générale plane, d'une partie de la Terre.
En France on utilise la projection de Lambert (voir Johann Heinrich Lambert), afin de déterminer avec précision des points, appelés point géodésique, qui seront connus en coordonnées. A l'aide de cette projection on peut déterminer la position virtuelle de n'importe quel point situé sur le sol français, celle-ci sera très proche de sa position réelle, de l'ordre de quelques millimètres.
Le système altimétrique français est le système IGN 69.
Le niveau zéro de Niveau Général de la France (NGF) se situe au marégraphe de Marseille.
Ainsi sur chaque carte, on a un quadrillage indiquant les coordonnées ainsi que des lignes de niveaux représentant l'altimétrie.
Utilisation de la topographique
A l'échelle d'un état, la topographie permet de mener des travaux à l'échelle nationale en utilisant une représentation planimétrique (planimétrie) et altimétrique identique sur l'ensemble de son territoire. Ces travaux peuvent être des constructions d'autoroutes, de ponts, de canaux.
Les cartes sont créées selon l'utilité voulue. on a ainsi des cartes d'intéret général pour les particuliers de type cartes IGN et d'autres adaptées au besoin des pariculiers et des professionnels, celles sont en général éditées par un cabinet de géomètre ( voir géomètre-expert).
Les cartes géologiques indiquent les différents types de sols.
Les cartes adaptées aux travaux publics sont à l'echelle du chantiers et indiquent l'emplacement des futures constructions et les évolutions en cours.
Les particuliers en ont besoin pour léguer leur propriété, la diviser ou pour faire des travaux.
Le service topographique national français est l'IGN[http://www.ign.fr]
[http://www.ign.fr/affiche_rubrique.asp?rbr_id=1071&lng_id=FR Vous trouverez ici toutes les documentations] gratuites fournies par l'IGN pour apprende à lire une carte, à se positionner, à déterminer votre altitude entre deux références connues de la carte, etc.
Voir aussi
- Écoles d'ingénieurs : ESGT, ESTP, INSA
Liens externes
- [http://www.esgt.cnam.fr Ecole Supérieure des Géomètres et Topographes - CNAM]
- [http://www.insa-strasbourg.fr/topographie/ Section Topographie de l'INSA Strasbourg]
- [http://www.studyrama.com/article.php3?id_article=310 Les études en France]
- La présentation des études par l'académie de Versailles :
- [http://www.ac-versailles.fr/etabliss/lyc-timbaud-bretigny/BTS-TOPO.htm Le BTS géomètre-topographe]
- [http://www.ac-versailles.fr/etabliss/lyc-timbaud-bretigny/BT-TOPO.htm Le BT topographe]
- [http://www.ac-versailles.fr/etabliss/lyc-timbaud-bretigny/Bep-G%E9om%E8tre-Topographe.htm Le BEP techniques du géomètre et de la topographie]
- [http://geoform.ensg.ign.fr/ GéoForm - Le portail de la formation en géomatique] : Listes des formations, des etablissements, des contacts, liens utiles, formation à distance...
- [http://annuaire.geomatique.info annuaire.geomatique.info] : Annuaire de sites internet consacrés à la géomatique, en particulier à la topographie
- [http://www.aftopo.org Association Française de Topographie] L'Association Française de Topographie qui édite la revue XYZ.
Théorie des modèlesLa théorie des modèles est une théorie de la vérité mathématique. Elle consiste essentiellement à dire qu’une théorie est mathématiquement vraie si on peut imaginer qu’elle est vraie, s’il y a un monde possible, idéal, dans lequel elle est vraie.
Présentation de la théorie des modèles
Les modèles et l'imagination
Elle a été formulée d’une façon complète et cohérente d’abord par Alfred Tarski, qui l'appelait aussi la sémantique du calcul des prédicats, pour deux raisons.
- Elle donne une définition de la vérité et de la conséquence logique indépendante de l'approche syntaxique de la prouvabilité, jusqu'alors adoptée par tous les logiciens. Syntaxique veut dire ici qu'on donne des règles de manipulation des symboles.
- Elle donne une réponse partielle à la question de la signification du langage, parce que les mots ont du sens s'ils permettent de faire des phrases vraies dans un monde possible.
Mais ses racines sont beaucoup plus lointaines. Le Théorème de complétude de Kurt Gödel peut être considéré comme le théorème fondamental de la théorie des modèles. Il clôt des recherches qui remontent au théorème de Löwenheim (1915) et qui s’inspirent d’une approche hilbertienne de la vérité mathématique.
On ne peut pas la considérer comme une réponse complète à la question de la nature de la vérité mais seulement comme une réponse minimale. Par minimale, il ne faut pas entendre que personne ne doit contester ses principes mais seulement qu’elle est une réponse respectable, efficace au moins pour résoudre quelques problèmes élémentaires.
Les énoncés mathématiques portent sur des êtres abstraits. Un théorème est vrai lorsque ces êtres abstraits sont idéalement comme il le dit. Mais comment être vraiment sûr que les êtres abstraits existent et que nous savons ce qu’ils sont ? Comment connaissons-nous tout ce que nous connaissons sur les êtres idéaux ?
Un être idéal existe aussi longtemps qu’on peut y penser. On peut penser à un être si on peut le nommer et développer une bonne théorie à son sujet.
Un fait logique suffit pour établir l’existence d’un être idéal. Cet être existe parce que je lui ai donné un nom. Tout être rationnel dispose d’un tel pouvoir divin, mais il est restreint aux mondes virtuels. C’est simplement un cas particulier de la puissance de l’imagination. Pour n’importe quel nom, on peut imaginer qu’on connait un être ainsi nommé.
Les prédicats d’un être idéal peuvent aussi être établis avec un simple fait. Ces prédicats sont vrais pour cet être parce que j’ai décidé qu’ils le sont. N’importe quelle vérité par convention peut ainsi être choisie. Il n’y a qu’une seule restriction. Si j’ai décidé qu’un prédicat est vrai pour un objet, alors je ne dois pas décider aussi qu’il ne l’est pas. Ce principe de cohérence est une façon très naturelle de penser à la raison.
Nous savons qu’un être idéal existe et que ses prédicats sont vrais quand nous avons une théorie cohérente dans laquelle cet être est nommé et ses prédicats sont considérés comme vrais. De ce point de vue, les questions sur l’existence des êtres idéaux et sur notre savoir à leur sujet sont identiques aux questions sur la cohérence des théories. Cette réponse minimale à la question de la nature de la vérité mathématique a été défendue par David Hilbert, en réponse aux objections sur l’existence d’êtres problématiques.
Les vérités mathématiques sont semblables aux vérités expérimentales sauf qu’elles portent sur des mondes virtuels alors que les vérités expérimentales portent sur notre unique monde réel. Un monde virtuel est couramment appelé un modèle de la théorie.
Les modèles et les ensembles de formules atomiques
Un modèle est défini lorsque toutes les vérités virtuelles de base sont définies. Au point de vue technique, les vérités virtuelles de base sont définies par un ensemble de formules atomiques. Une formule est atomique lorsqu’elle ne contient pas d’opérateurs logiques (négation, conjonction, existentiation, ...) Atomique ne veut pas dire ici qu’une formule ne contient qu’un seul symbole mais seulement qu’elle contient un seul symbole de prédicat fondamental. Les autres noms qu’elle contient sont des noms d’objet et ils peuvent être très complexes. Qu’une formule est atomique veut dire qu’elle ne contient pas de sous-formule. Il s’agit d’une sorte d’atomicité logique.
Une formule atomique est considérée comme vraie si elle est dans l’ensemble choisi de toutes les formules atomiques vraies, sinon elle est fausse. Il s’agit simplement de vérités conventionnelles. Tarski a énoncé cette définition de la vérité avec l’exemple suivant. La phrase “la neige est blanche” est vraie si et seulement si la neige est blanche.
Quand l’ensemble de toutes les vérités atomiques et l’ensemble de tous les objets de la théorie (son univers d’objets) sont définis alors la vérité ou la fausseté de toutes les formules bien composées (avec la grammaire de la logique du premier ordre) sont également définies. Supposons par exemple que A(x) est une formule atomique lorsque x est remplacé par un nom d’objet. Alors la formule complexe (pour tout x, A(x) ) est vraie si et seulement si toutes les formules atomiques A(x) sont vraies pour tous les noms x dans le domaine des noms d’objets. On peut ainsi définir par étapes successives la vérité de toutes les formules complexes de la logique du premier ordre composées à partir des symboles fondamentaux d’une théorie.
Définitions
L'interprétation des axiomes dans un modèle
Une théorie est définie par un système, fini ou infini dénombrable, d’axiomes. La vérité des formules atomiques est définie quand on a une interprétation de la théorie. Une interprétation est définie par les éléments suivants.
- Un ensemble U, l’univers de la théorie. Le quantificateur, pour tout x, est interprété comme, pour tout x dans U.
- A chaque nom d’objet (constante) mentionné dans les axiomes est associé un élément de U.
- A chaque prédicat unaire (à une place) fondamental mentionné dans les axiomes est associé une partie de U, l’extension de ce prédicat.
- A chaque prédicat binaire fondamental mentionné dans les axiomes est associé une partie du produit cartésien de U et U, c’est l’ensemble de tous les couples pour lesquels le prédicat est vrai.
- De même pour les prédicats ternaires, ou d’arité supérieure.
- A chaque opérateur unaire mentionné dans les axiomes est associé une fonction de U dans U.
- A chaque opérateur binaire mentionné dans les axiomes est associé une fonction de U X U dans U.
- De même pour les opérateurs d’arité supérieure.
L’ensemble U, ou l’interprétation dont il fait partie, est un modèle d’une théorie lorsque tous les axiomes sont vrais relativement à cette interprétation.
L'usage du mot, modèle, est parfois un peu confus. Tantôt il désigne l'ensemble U, tantôt l'ensemble des formules atomiques vraies, tantôt l'interprétation. Souvent, quand on dit un modèle d'une théorie, on suppose automatiquement qu'elle y est vraie. Mais on dit aussi qu'une théorie est fausse dans un modèle.
La définition de la vérité des formules complexes
Dès qu’on a une interprétation d’une théorie, la vérité de toutes les formules qui mentionnent seulement les constantes, les prédicats et les opérateurs fondamentaux, peut être définie. On commence par les formules atomiques et on procède récursivement aux formules plus complexes.
La complexité d'une formule est mesurée par le nombre maximal d’opérateurs emboités. Par exemple dans ((non p) ou (q et r)) , le “ou” et le “non” sont emboités l’un dans l’autre. Mais le “non” et le “et” ne le sont pas. Cette proposition est de complexité 2 parce qu’elle a au maximum deux opérateurs emboités.
Les formules de complexité 0 sont les formules atomiques. Elles sont vraies si elles sont dans l'ensemble, défini par convention, des formules atomiques vraies, sinon elles sont fausses.
Supposons que la vérité et la fausseté de toutes les formules de complexité n sans variables libres ait été définie. Montrons comment définir la vérité et la fausseté des formules de complexité n+1.
Soit p une formule de complexité n+1. On a l'un des six cas suivants (si l'on a adopté ces opérateurs logiques comme opérateurs de construction des formules, voir Prédicat et Calcul des prédicats)
a) p = non q
b) p = (q et r)
c) p = (q ou r)
d) p = (si q alors r)
e) p = (pour tout x)q
f) p = (il existe un x tel que q)
q et r sont des formules de complexité n, ou inférieure, dont la vérité ou la fausseté est donc déjà définie, sauf si elles contiennent des variables libres.
a) Si q est vrai alors p est faux, par définition de la négation. Si q est faux alors p est vrai, pour la même raison.
b) Si q et r sont tous les deux vrais alors p aussi, mais p est faux dans tous les autres cas.
c) Si q et r sont tous les deux faux alors p aussi, mais p est vrai dans tous les autres cas.
d) Si q est vrai et r est faux alors p est faux, mais p est vrai dans tous les autres cas.
e) Si l'une des formules obtenues en substituant une constante (un élément de U) à toutes les occurrences libres de x dans q est fausse alors p est fausse, sinon, si q n'a pas d'autre variables libres que x, p est vraie.
f) Si l'une des formules obtenues en substituant une constante (un élément de U) à toutes les occurrences libres de x dans q est vraie alors p est vraie, sinon, si q n'a pas d'autre variables libres que x, p est fausse.
e) et f) permettent de définir la vérité et la fausseté de toutes les formules closes, c’est-à-dire sans variables libres.
La vérité et la fausseté de toutes les formules complexes, sans variables libres, de la logique du premier ordre, peut donc être définie à partir d'un modèle.
Voir également
- Modèle
Catégorie:Logique mathématique
TrigonométrieLa trigonométrie (du grec trigonos, «trois angles», et metron, «mesure») est la science mathématique qui traite des rapports de distances et d'angles dans les triangles.
Elle sert sur terre (arpentage, métré, cadastre et cartes 3D), en mer (navigation), dans le ciel (astrométrie).
La physique des machines tournantes, des alternateurs et donc du courant alternatif, et tout ce qui est du domaine des phénomènes périodiques (gràce au théorème de Fourier), utilise beaucoup la trigonométrie.
La précision sur les mesures angulaires atteint actuellement la quarte d'arc ( la seconde de seconde ou minute de la tierce).
Les indications suivantes sont à l'usage d'autodidacte de niveau 3 (âge 15 ans en France). Il faut avoir acquis le théorème de Pythagore.
Les indications pour les mesures d'angle sur la sphère sont à l'article trigonométrie sphérique.
Enfin , on pourra utilement consulter l'ensemble des articles catégorie : trigonométrie.
Histoire de la trigonométrie
à rédiger
- besoin humain de mesurer des distances qui lui sont inaccessibles directement : hauteur d'une montagne, distance des astres, etc.
- besoins spécifiques de la navigation et de l'astronomie : détermination de la latitude du lieu où l'on se trouve
- fondateur de la trigonométrie : astronome Hipparque de Nicée (premières tables) ;
- connaissances transmises par Ptolémée (Almageste) ;
- premier rapport trigonométrique : le sinus (de l'arabe djayb, corde d'arc) ;
- perfectionnement des tables et méthodes de calcul par les arabes et indiens (Moyen Âge), puis les Européens (Renaissance) ;
- invention des logarithmes ;
- arrivée des machines électronique (calculettes, calculatrices, ordinateurs).
Cercle trigonométrique
D'après le théorème de Pythagore, dans un triangle rectangle ABC , rectangle en A :a² = b² + c²;
l'angle aigu B est tel que, par définition :
- sin B = b/a ; de même sin C = c/a .
- cos B = c/a ; de même cos C = b/a .
Evidemment cos²B + sin²B = 1 ; et cos B = sin C , où C est le complémentaire de l'angle B.
- Soit un cercle de centre O et de rayon 1, accompagné d'un repère orthonormal .
- Pour tout angle déterminé par les vecteurs et (M étant un point du cercle trigonométrique quelconque), le cosinus de est le projeté orthogonal de M sur [Ox), et le sinus de est le projeté orthogonal de M sur [Oy).
- Ainsi, dans le repère :
-
-
L'unité naturelle d'angle est le tour ; on parle aussi en degrés : +/- un quart de tour vaut 90°quand on tourne à gauche et -90° quand on tourne à droite.
Le système sexagésimal étant choisi pour les degrés , 1 minute = 1/60 ° ; une seconde est la minute de la minute , soit 1/60²° = 1/360°, la tierce 1/60³° = 1/21600° et la quarte = 1/1 296 000 °: cela représente la précision ultime actuelle des mesures d'angles.
Les mathématiciens préfèrent (pour des raisons qui seront expliquées ci-après) comme unité d'angle, le radian : un tour vaut 360° et 2 radians : on retient 1 radian ~ 57°30'. Pour plus de précision, utiliser la vraie valeur 360°/ 2. Attention sur les calculettes à préciser quel choix d'unités est fait.
- Exemples :
- 2tours et demi = -5 radians = - 900°
710° = 720°-10° = 2 tours -10°
Moyennant un certain nombre de tours, on peut toujours ainsi se ramener à un angle compris entre -180° et + 180°.
Rose des vents
Il est bien utile pour se souvenir des tables trigonométriques de se représenter les directions sur le cercle triginométrique comme une rose des vents : ainsi l'Est est à 0°, le Nord à 90°, l'Ouest à 180° et le Sud à 270° = -90° (à +360° près : on dit à un tour près, ou à 2 radians près).
Les marins comptent souvent à partir du Nord (c'est-à-dire un décalage de 90°).
Le N-E est à 45° : le triangle rectangle est isocèle et donc cos²45° = sin²45° = 1/2(somme) = 1/2 donc cos(45°) = sqrt(2)/2 ~ 1.414 /2 = 0.707.
Il apparaît que le N-O (à 135°) est tel que cos 135° = -0.707 , puis le S-O a le même cosinus ; enfin le S-E a pour cosinus : cos(-45°) = cos(45°).
On peut recommencer avec l'hexagone régulier, commençant avec un sommet en E :
cos 0° = 1
cos 60° = sqrt(3)/2 ~ 1.732/2 = 0.866
cos 120° = -sqrt(3)/2 = cos(240°) et enfin cos(-60°) = cos( 60°).
On peut recommencer avec le pentagone régulier, disons pointe à l'Est :
cos 0° = 1
cos 72° = cos (-72°) = [sqrt(5)-1]/4 ~ 0.309 ,( ce qui n'est pas évident, mais que l'on va démontrer)
cos 144° = cos (-144°) = -[sqrt(5)+1]/4 = -cos(72°) -0,5 = -0,809 = - 1,618/2 (réfléchir : 1 + 2 cos(72°) +2 cos(144°) = 0 )
enfin il est utile de savoir que
cos(15°) s'exprime à l'aide de sqrt(6): cos(15°) = [sqrt(6)+sqrt(2)]/4 ~ 0,966.
Enfin pour les petits angles, il clair que le cos() sera seulement légèrement plus petit que 1 : et c'est là que se révèle l'avantage des radians :
SI l'ANGLE () EST EXPRIME EN RADIANS, ALORS ON NE SE TROMPE PAS BEAUCOUP si l'on déclare : RÈGLE :
cos ()= 1 - ()²/2 par défaut
Par exemple cos ( 1') = cos ( 2)~ 1- 4.230 797 497 E(-8)
au lieu de 1- 4.230 797 467 E(-8); bien sûr, en mathématiques, on peut avoir à volonté la précision désirée, si ...nécessaire!
La même règle dit que 2 fois la longueur de l'arc EM , c'est à dire arc (M'M) peut être confondue par valeur supérieure à 2 sinus(arc EM), évidemment la mesure de l'arc étant en radians. Soit :
sin()= ()par défaut.
Se ramener aux angles aigus
De par la définition même,
cos(-x) = cos(x) : ce qui permet de se ramener aux angles positifs.
Puis cos (180°-A) = - cos (A) : ce qui permet de se ramener aux angles aigus.
Se ramener aux angles de moins de 45°
cos(90°-A) = sin(A) = sqrt[1-cos²(A)];
cette opération étant facile à éxécuter, on ne retient en général que les valeurs des cosinus (ou des sinus , selon sa préférence)pour 0°< A < 45°.
Par exemple récapitulons déjà toutes les valeurs apprises, via une table des sinus :
Quand A croît de 0° à 45° , sin A augmente régulièrement (mais pas linéairement !) de 0 à sqrt(2)/2:
sin(1') = 3 E-4.
sin(15°) =[sqrt(6)-sqrt(2)]/4 ~ 0.259 < /12.
sin(18°) = cos(72°) = [sqrt(5)-1]/4 ~ 0.309
sin(30°) = 1/2
sin(45°) = 0.707
exercice de compréhension :
A := 109°28'16" est un angle qui revient souvent dans la nature : cos A= -1/3
calculer sin (A-90°) :réponse: 1/3 , un peu plus grand que sin(18°).
La tangente d'un angle
Elle s'écrivait tg A ; l'écriture aujourd'hui est plutôt tan A :
Pour un triangle rectangle en A,
.
En divisant le relation de Pythagore cos² A + sin² A = 1 par cos² A, on trouve :
.
On observe que tan(A + 180°) = tan A , ce qui permet de se ramener aux angles compris entre -90° et 90°. Puis on observe que tan (-A) = - tan A : donc on se ramène aux angles aigus. Enfin quasiment par définition tan B = 1/ tan C = 1/ tan(90°- B) : ce qui ramène à la table des angles de 0 à 45° :
tan 0° = 0
tan 15° = 2 - sqrt(3)~ 0.268 > sin 15°
tan 30° = sqrt(3)/3 ~ 0.577
tan 45° = 1
exercice : calculer tan(60°) : réponse tan(60°) = 1/tan(30°) = sqrt(3)= 1.732
exercice : calculer tan (89°59'): réponse : environ 10 000/3 (se rappeler sin(1') )
- Quand on maîtrise bien la notion de tangente, les problèmes de triangulation de navigation deviennent plus compréhensibles.
Exemple 1 : On voit un phare de 50m sous un angle de 15°: à quelle distance est-on du phare ?
Réponse : 50m/tan(15°) = 186,6 m .
Exemple 2 : un avion vole apparemment avec un cap de +30° par rapport à l'Est, mais un vent de 10km/h de direction +300° par rapport à l'Est (donc un vent de Nord)le déporte. Calculer le cap réel de l'avion sachant que sa vitesse est 400km/h .
Réponse : l'angle de la vitesse du vent avec la vitesse apparente de l'avion est + 90°; on a donc un angle de dérive négative A, de tan(A) = -10/400 = -1/40 = -0,025 , ce qui correspond à A = -1,43°, ce qui est non négligeable : le cap est très important pour respecter les couloirs aériens et arriver à bon port. La vitesse en module est sqrt(400² +10²) = 400,12km/h , ce qui est quasi-négligeable.
Formule d'addition
- Addition de 2 angles positifs aigus A et B très petits :
sin (A + B) doit être proche de sin A + sin B puisque la fonction est croissante et quasi-linéaire .
La formule EXACTE est :
, évidemment symétrique.
lemme : sur le cercle trigonométrique, la corde KL qui sous-tend l'arc 2C = K0L vaut 2.sin(C) : il suffit en effet de diviser la corde en deux pour voir apparaître le sinus(C).
démonstration du théorème : sur le cercle trigonométrique, tracer le quadrangle SKNLS , les points K et L étant choisis assez proches de N. Mener la perpendiculaire SH à la corde KL :
alors KL = KH + HL ;
or, KH projection de la corde KN = cos B. 2.sin A ; de même :
HL projection de la corde LN = cos A. 2.sin B
Or KL = 2.sin C = 2 sin(A + B). FIN de démonstration.
- Nous admettrons qu'elle reste vraie dans tous les cas de figures.
______________
On en déduit celle de l'addition pour les cosinus :
sin(90°-A-B) = cos(A+B) = sin(90°-A).cos(-B) + sin(-B).cos(90°-A) ; soit :
______________
On en déduit celle des tangentes :
______________
Conseil formel : ne pas apprendre par cœur les formules de soustraction; il vaut mieux apprendre et réapprendre sin(-A) = - sin A et cos(-A) = cos A et, de tête, retrouver les formules dites de soustraction !
Par contre retenir LA formule des sinus : il n'y a qu'un plus et elle est symétrique en A et B ; la contrôler mentalement en faisant B= 0 ou epsilon [ sin (A+epsilon) est un peu plus grand que sin A : sin A + epsilon .cos A]
________________
Remarque : il existe beaucoup d'autres démonstrations. L'une très connue est celle dite du changement de base : toujours sur le cercle trigonométrique prenons cette fois comme base orthonormée et le vecteur OM' tourné de un quart de tour , et soit le vecteur
faisant l'angle B avec : il fera alors l'angle (A+B) avec ; alors, en utilisant la règle du parallélogramme d'addition des vecteurs, on obtiendra :
ON = OI. cos(A+B) + OJ. sin(A+B)= OM. cosB + OM'. sinB
avec OM = OI. cosA + OJ. sinA et OM'= OI. cos(A+90°) + OJ. sin(A+90°)
soit en remplaçant dans LA formule fondamentale de changement de base :
ON = OI. [cosA.cosB + cos(A+90°).sinB] + OJ. [sinA.cosB + sin(A+90°).sinB]
Donc sin(A+B)= sinA.cosB + sin(A+90°).sinB mais c'est aussi sin(B+A) , donc la symétrie impose :
sin(A+90°) = cosA puis cos(A+90°)= sin(A+180°)par cette formule réitérée, or sin(A+180°) = - sinA
Ainsi LA formule fondamentale de changement de base donne simultanément :
et celle des cosinus :
La théorie des fonctions trigonomériques n'utilise rien d'autre que :
- tourner d'un tour sur le cercle est "comme rien".
- le théorème de Pythagore
- la règle dite du parallélogramme d'additons des VECTEURS.
Formules de doublement des arcs
On dit aussi duplication. Elles sont TRES importantes à retenir car elles interviennent dans de très nombreux problèmes. Certes il suffit de faire B = A dans les formules précédentes ; soit :
__________
on peut aussi retenir qu'en posant t := tan A , alors :
; et
Exemples
- On rappelle que l'on connaît par coeur les angles 0°; 15° ; 18° ; 30° et 45° .
- En fait l'angle de 15° a été obtenu par différence entre les angles de 45° et 30° : le vérifier.
- cos 36° = (1+sqrt(5))/4 ; sin 22.5° = sqrt[2-sqrt(2)]/2
- On voit que l'on peut obtenir l'angle de 3° = 18°-15°, puis par additions successives tous les multiples de 3°.
- Ensuite, si l'on n'a pas besoin de précision, une interpolation rapide de tête suffit pour 2 ChS (chiffres significatifs). S'y entraîner. Cela permet de vérifier des fautes de frappe sur la calculette et surtout de s'en sortir quand on n'a pas de calculette !
- Exercice : démontrer que sin 3A = 3 sin A - 4 sin³A (en utilisant 3A = 2A+A); ceci montre que on a : sin 3A/sin A s'exprime à l'aide de cos A ; il est bon de savoir que sin kA/sinA est toujours exprimable par une expression algébrique en cos A (un polynôme de x= cos A, dit polynôme de Chebychev).
De même cos kA s'exprime par une autre famille de polynômes, toujours dits de Chebychev.
- Exercice : soit les 3 angles d'un triangle A, B, C : montrer que :
sin 2A + sin 2B +sin 2C = 4 sinA .sinB . sinC
tanA +tanB +tanC = tanA.tanB.tanC
Formules de Simpson: des produits vers les sommes
L'introduction de ces formules sera faite pour les électroniciens : ce sont eux qui ont sans doute le plus besoin de retenir qu'en "multipliant une fréquence par une fréquence" , on obtient la somme d'une fréquence somme et d'une fréquence différence :
Par exemple en radiophonie , moduler un signal de 500 kHz avec du 800 Hz donne deux signaux de fréquences 500.8 kHz et 499.2 kHz .
On retient les 3 autres formules en changeant un 90° .
En mathématiques on dit 2.cos A. cos B = cos(A+B)+ cos(A-B)
Formule de Simpson : des sommes vers les produits
cos p + cos q = on obtient les produits avec les demi-sommes et les demi-différences ( la prosthaphaérèse):
et 3 autres formules en changeant un 90°.
(faire p = q + eps pour s'en souvenir :cos x diminue quand x croît de 0 à 180°)
(idem , faire p = q + eps).
Théorème d'Al-Kashi
- Dans tout triangle rectangle en A , a² = b² + c²
- Si A est aigu : a² < b² + c²
- Si A est obtus : a² > b² + c² , mais de combien ? réponse de Al-Kashi :
Ce qui paraît pertinent puisque cos A est positif si A est aigu et négatif si A est obtus. Il reste à le démontrer :
Prenons le cas : angles B et C aigus , soit AH la hauteur menée sur la base BC .
Alors a² = BH² + HC² + 2 BH.HC = (b²-h²) +(c²-h²) + 2 c.cosB .b.cosC = b²+c²+2bc.(cosB.cosC-sinC.sinB) = b² + c² + 2bc.cos(B+C) = b² + c² - 2 bc.cosA.
cf aussi , mais à un autre niveau Théorème d'Al-Kashi.
Formule des sinus
Il suffit de voir que ha = 2S avec h = c .sinB donc abc. sin B = 2S.b . D'autre part soit I le point de concours des bissectrices r le cercle inscrit ra +rb + rc = 2S = r.2p.
R est le rayon du cercle circonscrit.
Formule des différences des côtés
-
C'est une application directe de la formule des sinus et de la formule "des produits en sens inverse" : laissé en exercice. On a aussi la somme des côtés de la même façon.
Formule TRES importante du triangle au petit côté BC =a avec l'angle B obtus :
b est peu différent de c mais b > c , de combien ? réponse :
b - c = projection de BC sur AB = -a cos B , si a << c
en effet A est négligeable et B+C ~ 180°.
- ( I milieu de AB et H pied de la perpendiculaire AH);
-
On apprend en général ces deux formules supplémentaires en même temps.
- Formule des tangentes (dite parfois formule des arpenteurs) :
( se rappeler que A/2 étant aigu , tan(A/2) = sqrt[ (1-cosA)/(1+cosA) ] et appliquer Al-Kashi)
Résoudre un triangle
C'est, étant donné un côté et deux angles adjacents, ou un angle et deux côtés adjacents, ou à la rigueur deux côtés b et c et l'angle B , trouver le triangle correspondant, c'est-à-dire , a, b, c , A, , C (et vérifier une des règles non appliquée dans le processus). On résout ce genre de problème à l'aide des formules précédentes (plus la formule de projection évidente a = b.cosC +c.cosB).
Exemple : Sur l'axe Ox , OB = 1 et OC = 1.5 . OBM = 60° et OCM = 30° Trouver M :
On résout ainsi : faire l'épure ; M se trouve en (x= 0.75 ; y = 0.45) environ .
Raisonner : triangle BMC : B = 120°, C = 30° donc M = 30° ; donc triangle isocèle en B : BM = 0.5 ;
puis CM = 2.(0.5).cos C = sqrt(3)/2. Soit H la projection de M sur l'axe : HM = y et angle HMB = 30°. Il en résulte que y = sqrt(3)/4 = 0,433 et x = 1-(0,5)/2 = 0,75 . La distance OM = sqrt(3)/2 = MC, et azimut de M = 30°, angle OMB = 90°.
Il est rare du point de vue cadastral que les cas soient aussi simples.
Cf résolution d'un triangle
En général on demande 4 à 5 ChS (chiffres significatifs) : les calculettes ont considérablement réduit le travail assez fastidieux de "réduction des triangles". Rappelons que la mesure du degré du méridien terrestre de Paris s'est effectué de la sorte entre Malvoisine et Montlhéry par l'abbé Picard, vers 1660? .
La surface S du triangle se calcule par la formule des sinus ou la formule d'Héron (d'Alexandrie) qui s'en déduit : S² = p(p-a)(p-b)(p-c).
Quelques problèmes célèbres
- l'approximation sin A = A - k A³ avec k = 1/6 quand A est petit (en radian!) peut se déduire de la formule sin(3A) = 3.sinA -4 sin³A : les termes en A³ donnent : -k27 = -3k -4 , CQFD.
- La flèche d'une corde AB sous tendant l'arc AOB = 2 : soit I milieu de AB et CD le diamètre passant par I : ID = flèche telle que f( 2R-f) = (R sin )² .
Aire de l'onglet : S = R²[ - sin(2.)/2] quand alpha est tout petit , on compare cette aire à celle de la parabole osculatrice 1/3 f.AB (théorème d'Archimède): la différence est d'ordre supérieur à 3.
- formule de Machin : soit A l'arc dont la tangente est 1/5 et B celui dont l'arc est 1/239 : alors 4A -B = /4, ce qui donne une bonne approximation de Pi, "assez rapidement". Cette formule se généralise.
- polygone réguliers constructibles : l'heptagone et le nonagone sont impossibles, mais le polygone à 17 côtés(heptadécagone) est constructible (théorème de Gauss à 19 ans : 1796); par contre on peut construire par pliage (cf origami) l'heptagone et le nonagone. On trouve néanmoins aisément A = 360°/7 , alors sin A .sin 2A .sin 3A = sqrt(7) /8 et pour les cosinus 1/8 cf article. Des formules semblables existent pour le nonagone.
- algorithme CORDIC de Briggs et redécouvert par Volker : ou comment votre calculette va-t-elle aussi vite ?
Voir aussi
- Fonction trigonométrique
- Fonction hyperbolique
- Évidemment les articles de la catégorie : trigonométrie.
catégorie:Géométrie
catégorie:Trigonométrie
ja:三角法
ko:삼각법
th:ตรีโกณมิติ
SextantLe sextant est un instrument permettant de relever la hauteur angulaire du soleil au-dessus de l'horizon. Il est utilisé pour se situer sur la planète Terre. Le relèvement peut aussi s'opérer sur la lune ou une autre étoile. En connaissant cet angle ainsi que l'heure, généralement midi pour le Soleil, on peut calculer la latitude de l'observateur. L'utilisation de logiciels a gommé les fastidieux calculs. Le sextant fut ou est encore utilisé dans l'aéronautique, la marine, les raids terrestres, etc. Son usage se restreint car il est concurrencé par les systèmes de positionnement par satellite.
Histoire
Le sextant fut inventé dans les années 1730 par deux personnes indépendamment l'une de l'autre : John Hadley (1682-1744), un mathématicien anglais, et Thomas Godfrey (1704-1749), un inventeur américain.
Il remplaça rapidement l'astrolabe et l'octant comme instrument principal pour la navigation.
Avantages
La spécificité du sextant par rapport à l'astrolabe est que les objets sont mesurés relativement à l'horizon.
Une autre différence est que l'angle est mesuré directement alors qu'un astrolabe ne mesure que le sinus de l'angle en question.
Ces deux caractéristiques permettent d'obtenir une meilleure précision.
Avec un sextant, l'horizon et l'objet à relever restent stables, même sur un bateau en mouvement. Ceci est possible car l'horizon est visé directement et l'objet est vu par un jeu de miroirs qui permettent de soustraire le mouvement du sextant de la mesure.
Précision des observations
Le sextant donne une mesure en degrés et minutes d'angle et l'heure doit être donnée à la seconde près. De ces deux mesures, compte tenu de l'erreur et des conditions d'observation, il en résulte une précision de la position à quelques centaines de mètres ou à quelques kilomètres près.
A l'époque où les chronomètres étaient peu fiables et où la radio n'existait pas (qui permet de recaler un chronomètre à l'heure exacte), on embarquait plusieurs chronomètres sur les navires et on faisait la moyenne. Malgré cette précaution, l'heure n'était pas fiable et, comme le sextant permettait une mesure beaucoup plus précise, les navires devaient « atterrir en latitude », c'est-à-dire se trouver sur le même parallèle que le port de destination, puis prendre une route plein est ou plein ouest en fonction de l'estime.
Notons encore que si le ciel est couvert, il n'y a pas de mesure au sextant. Le point doit se faire alors à l'estime, c'est-à-dire en fonction de la vitesse estimée de l'observateur et de la vitesse et de la direction estimées des courants maritimes ou aériens. L'invention du radar, qui permet de visualiser les côtes, puis la navigation par satellite ont rendu la navigation beaucoup plus sûre.
Voir aussi
- Angle
- Sphère armillaire
Liens externes
- [http://www.infovisual.info/05/076_fr.html Voir un schéma détaillé du Sextant.]
Catégorie:Instrument astronomique
Catégorie:Système ou technique de navigation maritime
ja:六分儀
Conception assistée par ordinateurC.A.O. est l’acronyme de Conception Assistée par Ordinateur. C’est un ensemble de logiciels et de techniques permettant de concevoir et de réaliser des outils et des produits manufacturables.
Principe
Cette technique est l’équivalent informatique de la table à dessin de l’ingénieur ou de l’architecte. Elle permet de prendre en compte automatiquement un grand nombre de contraintes (résistance des matériaux, capacité d’assemblage, fabrication et.) pendant la phase de conception d’un ensemble. Les logiciels correspondants sont utilisés pour une ou plusieurs phases du développement.
Ces logiciels permettent par exemple de créer des pièces mécaniques, d’en préparer la fabrication, de les assembler et de simuler leur comportement. Ils permettent également la conception de bâtiments puis d’en tirer les plans facilement ou de créer une maquette numérique en trois dimensions.
Ces logiciels peuvent généralement fonctionner en mode 2D ou en mode 3D. La différence avec le Dessin Assisté par Ordinateur (DAO) est liée à la question d’agencement spatial (on peut dessiner en DAO des figures impossibles, mais la CAO ne le permet jamais). La fonction de cotation, indispensable en CAO, ne l’est pas nécessairement en DAO.
En partant d’une modélisation en 3D solide (ou volumique), ces logiciels permettent de réaliser une mise en plan souvent appelée 2D. C’est sur cette mise en plan que vont apparaître toutes les informations tel que cotation, état de surface, tolérancement géométrique, spécification, etc.
En fonction des logiciels le terme 2D peut représenter soit la zone de mise en plan, soit une limitation à deux dimensions de l’espace de travail 3D. Cette limitation de l’espace peut être utilisé, par exemple temporairement pour faciliter la construction spatiale des éléments, ou de manière permanente pour la sauvegarde d’une cinématique plane dans un espace 3D.
La CAO permet aussi de concevoir des systèmes dont la complexité dépasse la capacite de l'être humain comme par exemple en micro-électronique. En effet la miniaturisation (composants dont la taille est de l'ordre du micromètre) et le nombre toujours plus important de composant intégrés à une même puce rendent impossible la conception de tels systèmes sans l'aide de la CAO.
La CAO décolla dans les années 75-90, lorsque le coût de mise en place d’un poste se rapprocha du coût annuel d’un dessinateur. La mise en place fut un peu pénible au début en raison d’une nécessité de reprendre les plans existants. On s’aperçu à cette occasion que statistiquement près de 10% des cotations sur les plans existants étaient inexactes, que des références de plans existaient en double, qu’une référence unique pouvait correspondre à plusieurs plans légèrement différents, etc. Au bout du compte, le gain de fiabilité de l’information se révéla constituer un argument supplémentaire important décidant à généraliser la CAO.
Exemples de logiciels
micromètre
Un logiciel très connu dans le monde de la conception généraliste est AutoCAD. CATIA, édité par Dassault Systèmes est également un logiciel de CAO très utilisé dans l’industrie (initialement conçu spécifiquement pour l’aéronautique, mais plus largement diffusé aujourd’hui).
On peut aussi citer :
- Euclid (Matra Datavision)
- CADKEY/KEYCREATOR
- CADAM, de Boeing
- Pro-Engineer, de la société PTC
- Solidworks
- Inventor 2D and 3D, de la société Autodesk
- Visionael, développé par Sun
- MicroStation de la société Bentley
- SolidEdge, de la société UGS
- TopSolid, de la société Missler Software
- I-deas, de la société UGS
- CATIA, de Dassault Systèmes
- Rhinoceros, de Robert McNeel&Associates
- Brlcad, distribué sous licence GPL
- ArchiCAD
- Sketchup
- Tribon
Des produits existent également pour la conception de circuits électroniques, de microprocesseurs, de jardins, de vêtements... et même la visualisation spatiale de molécules (Rasmol). Ils reprennent alors le sigle de CAO auquel on appose souvent un qualificatif (comme dans CAO électronique ou CAO moléculaire) ce qui montre le succès de cette terminologie.
Exploitation des logiciels
La CAO est connue pour être encore en 2004 une des applications informatiques les plus gourmandes en ressources informatiques. Après des années de seule présence de ces logiciels sur des stations de travail utilisant des système opératifs et des architectures matérielles propriétaires (Sun, IBM, Computervision, HP, Apollo, SGI, anciennement Silicon Graphics...), il aura fallu le développement d’ordinateurs individuels (PC ou MAC) suffisamment puissants pour assurer des fonctions très lourdes en calcul numérique :
- Modélisation numérique
- Simulation mécanique et calcul des matériaux
- Représentation graphique
- Dessin de plan
- Manipulation d’objets 3D
- Gestion de grands assemblages
Cela a fait de la CAO une application importante de l’informatique.
Son importance stratégique conduit à lui faire utiliser des modèles permettant la communication des informations entre machines, au moyen de standards comme IGES, afin de ne dépendre ni d’un seul type de matériel, ni (trop) d’un seul logiciel. Nombre de projets de CAO font de surcroît intervenir des sous-traitants dispersés et il importe que les représentations soient parfaitement compatibles afin de permettre le travail en collaboration et à distance. C’est ce qui a été fait pour la modification d’architecture du CNIT en 1987.
On prend vite conscience de l’importance de la CAO dans n’importe quel environnement urbain, formé d’objets qui tous sans exception ont été dessinés avant d’être un jour fabriqués.
Les domaines connexes
- Fabrication assistée par ordinateur
- maquette numérique
- Prototypage
- Travail collaboratif
- Logiciels de simulation
- Stéréolithographie
- Création musicale assistée par ordinateur Cf informatique musicale
Salon
- [http://www.birp.com/micad/ Micad]
Standards d’échange
CAO mécanique
- STEP (STandard for the Exchange of Product model data en anglais)
- SET (Standard d’Echange et de Transfert)
- IGES (Initial Graphic Exchange Standard)
- DXF (Drawing eXchange Format)
CAO moléculaire
- PDB (Protein Data Bank)
- MDL (Molecular Design Limited)
- MSC (Minnesota Supercomputer Center)
- CIF
CAO Electronique
- GDSII
- OpenAccess
- LEF/DEF (Library Exchange Format/Design Exchange Format)
- Verilog/SystemVerilog
- VHDL (Very High Speed Integrated Circuit Hardware Description Language)
Voir aussi
Liens internes
- Station de travail
- Rasmol
Liens externes
- [http://dmoz.org/World/Fran%E7ais/Informatique/Logiciels/Conception_assist%E9e_par_ordinateur/Industrie/ liste de liens concernant la CAO sur dmoz]
Catégorie:Tâche assistée par ordinateur
ja:CAD
Infographie
Catégorie:média artistique Catégorie:Métier Catégorie:Imagerie numérique
L'infographie est une activité artistique et graphique qui utilise les outils et supports informatiques. C'est un des nombreux domaines des arts graphiques liés à l'imprimerie.
Simple moyen d'expression secondaire du graphisme à ses débuts, l'infographie prendra son indépendance à la fin du avec les progrès des technologies fournies par les ordinateurs qui donneront libre cours à toutes les imaginations.
Aujourd'hui, l'infographie a ses propres mouvements artistiques, ses maîtres et ses festivals, et touche à peu près tous les domaines de la création graphique.
L'infographiste est la personne dont la profession est de réaliser des infographies.
L'infographiste travaille sous la direction du réalisateur (et du directeur artistique). Dans certains cas (s'il n'y a pas de directeur artistique), il est l'interlocuteur direct entre le réalisateur et l'auteur.
Étant donné la diversité des travaux possibles en infographie, des nouvelles spécialités ont vu le jour :
- graphiste 2D
- animateur 2D ou 3D.
- spécialiste 3D, dessinateur 3D ou modeleur
Au tout début de l'ère numérique, les graphistes étaient souvent des autodidactes. Et ces « talents » étaient très demandés.
Maintenant, pour devenir infographiste, il faut avoir une solide formation en graphisme, et une bonne connaissance des outils graphiques sur ordinateur.
Techniques d'infographie
3D
- Modélisation
- Animation
- Compositing
Animation
- Motion graphism
Illustration / Bande dessinée
- Encrage
- Mise en couleur
- Retouche d'image
Graphisme
- Dessin vectoriel
- Dessin bitmap
- Mise en page (voir aussi Publication Assistée par Ordinateur (P.A.O))
- La nouvelle illustration
- WebDesign
On mentionne depuis 1973 (IBM Systems Journal), et à intervalles irréguliers depuis, la création expérimentale d'hologrammes par ordinateur. Mais cette opération étant lente et donc non-interactive (pour le moment), elle n'a pas bouleversé la profession.
Outils matériels infographiques
- Crayon optique
- Imprimante
- Palette graphique
- Scanner
- Souris
- Tablette graphique
- Trackball
Quelques festivals d'infographies
- Le festival Imagina, à Monaco.
- Rencontre Européennes de la Jeune Création Numérique, à Valenciennes, France.
- Le Siggraph, en Californie, États-Unis.
Voir aussi
Art | Dessin | Isohélie | Peinture | Réflectance
Géométrie euclidienneLa géométrie euclidienne est l'étude des figures (dessins) obéissant aux axiomes qu'a posés Euclide dans son ouvrage Les Éléments.
C'est la géométrie telle qu'elle est enseignée jusqu'au lycée.
On l'appelle souvent aussi géométrie plane lorsque les figures sont tracées sur une surface plane, ou géométrie dans l'espace lorsque l'on considère des volumes.
La géométrie des Éléments d'Euclide n'utilise que la règle et le compas bien que les connaissances de son époque incluaient aussi des constructions approchées dites par neusis.
La règle permet de tracer des traits droits ( droites, segments de droite), et le compas permet de rapporter des distances (et accessoirement de tracer des cercles).
On peut noter ici que la règle n'est pas graduée ; on ne s'intéresse pas à la distance comme quantité de centimètres mais comme grandeur non numérique.
Le dessin est son propre étalon ; on peut aussi dire que les propriétés du dessin ne dépendent pas de son échelle.
Notons aussi que la lecture de la figure dans la géométrie euclidienne est vitale et donne des informations que ne donne pas le texte.
Objets géométriques
La géométrie, comme toute science d'abstraction, définit des objets (attention, ces définitions sont naïves) :
- le point : on peut imager le point comme une tête d'épingle, il est en fait infiniment petit ; on le représente par une croix faite au crayon (l'intersection de deux droites sécantes est un point) ; on nomme en général les points par une lettre romaine majuscule, comme A, B...
- la droite : c'est un trait droit d'épaisseur nulle, comme un fil tendu extrêment mince ; la droite est le plus court trajet entre deux points ; on la représente par un trait de crayon droit ; on nomme la droite par une lettre romaine minuscule ou grecque majuscule (en général d ou Δ), mais si l'on connaît deux points distincts de la droite (par exemple A et B), on peut nommer la droite en mettant le nom de ces deux points entre parenthèse (on parle de la « droite (AB) ») ;
- le segment de droite : c'est une portion de droite comprise entre deux points ; on le represente par un trait droit délimité par deux petits traits perpendiculaires aux extrémités ; si A et B sont les points des extrémités, le segment est nommé en mettant ces noms entre crochets (on parle du « segment [AB] ») ;
- la demi-droite : c'est la portion d'une droite qui se trouve d'un côté d'un point de la droite ; si A est le point de « départ » de la demi-droite et B un autre point de cette demi-droite, alors on la note [AB) ;
- le cercle : il est l'ensemble des points qui se situent à une même distance d'un point particulier appelé centre ; il est représenté par un rond avec une croix au milieu ; la croix localise le centre, le rond localise les points du cercle ; il est en général nommé par une lettre romaine majuscule (par exemple C).
Image:geometrie objets de base.png
Les postulats d'Euclide
Ces postulats sont appelés « demandes », soit des propositions a priori non évidentes mais qu'on demande tout de même d'admettre pour pouvoir travailler. Ils sont présentés ici dans la version de la traduction de Peyrard :
# Conduire une droite d'un point quelconque à un point quelconque.
# Prolonger indéfiniment, selon sa direction, une droite finie.
# D'un point quelconque, et avec un intervalle quelconque, décrire une circonférence de cercle.
# Tous les angles droits sont égaux entre eux.
# Si une droite, tombant sur deux droites, fait les angles intérieurs du même côté plus petits que deux droits, ces droites, prolongées à l'infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits.
Le dernier postulat est le bien connu 5 postulat d'Euclide. On peut aussi le formuler comme ci-dessous :
- Soient une droite (d) et un point M situé hors de cette droite ; il ne passe par M qu'une seule droite (d') parallèle à d
Constructions à la règle et au compas
La principale construction de la géométrie est sans doute le tracé de la médiatrice d'un segment.
La médiatrice du segment [AB] est la droite d qui coupe perpendiculairement [AB] en son milieu I.
:Théorème : La médiatrice d'un segment est l'ensemble des points qui sont à égale distance de ses extrémités.
:Théorème réciproque : L'ensemble des points équidistants des extrémités d'un segment est la médiatrice de ce segment.
Ceci se voit aisément en remarquant que si l'on considère un point M de la médiatrice, les segments [AM] et [BM] sont symétriques par rapport à la médiatrice. On peut aussi utiliser le théorème de Pythagore dans les triangles rectangles AMI et IMB et montrer l'égalité de leurs hypoténuses.
Donc, si l'on sait construire la médiatrice, on sait donc déterminer le milieu d'un segment et tracer une perpendiculaire à une droite.
Pour cela, on ouvre le compas sur une longueur supérieure à la moitié de la longueur du segment, puis, on trace deux cercles avec ce rayon, l'un centré sur A, l'autre sur B (en fait, on peut se contenter de ne tracer que des arcs de cercle).
L'intersection des deux cercles est constituée de deux points situés à égale distance de A et de B, et qui définissent donc bien la médiatrice.
Image:geometrie construction mediatrice.png
Métrique
Longueurs, angles
Figures géométriques
La géométrie étudie des objets constitués de plusieurs segments
- triangle
- quadrilatère : trapèze, parallélogramme, losange, carré
- autres polygones
Voir aussi
- géométrie dans l'espace
- géométrie vectorielle
- géométrie analytique
- géométrie non-euclidienne
Geometrie euclidienne
ja:ユークリッド幾何学
ko:유클리드 기하학
Géométrie analytiqueGeometrie analytique
La géométrie analytique est la partie de la géométrie dans laquelle on représente les objets par des équations ou inéquations. Le plan ou l'espace est nécessairement muni d'un repère.
La géométrie analytique permet à l'inverse de représenter des fonctions mathématiques sous la forme de courbes, de graphiques. Elle est donc fondamentale pour la physique et l'infographie.
Géométrie analytique plane
Le plan affine est muni d'un repère ; x désigne l'abscisse d'un point, et y l'ordonnée.
Droite
Une droite affine (c'est-à-dire une droite au sens habituel, un ensemble de points) est représentée par une équation du premier degré à deux inconnues :
:ax + by + c = 0 (1)
Si c est nul, alors la droite passe par l'origine O. Si deux droites sont parallèles, alors leurs coefficients a et b sont proportionnels. Si b n'est pas nul, cette équation peut se réécrire :
:y = a′·x + b′
a′ = - a/b est appelé le coefficient directeur ou la pente de la droite, et b′ = - c/b est appelé ordonnée à l'origine (offset en anglais) ; deux droites parallèles ont le même coefficient directeur. Avec cette forme là, on voit aisément que la droite passe par le point (0,b′), qui est également appelé ordonnée à l'origine (le terme désigne donc à la fois le point et l'ordonnée de ce point). Si a est nul, on a une droite horizontale
:y = b′
passant par le point (0,b′). Si b est nul, on a une droite verticale
:x = - c/a
passant par le point (- c/a,0).
Pour tracer une droite à partir de son équation, il suffit de connaître deux points. Le plus simple est de prendre l'intersection avec les axes, c'est-à-dire de considérer successivement x = 0 et y = 0 (sauf si la droite est parallèle à un axe, auquel cas le tracer est trivial). On peut aussi prendre l'ordonnée à l'origine et un point « éloigné » (c'est-à-dire au bord de la figure tracée sur le papier, par exemple considérer x = 10 si l'on va jusqu'à 10), ou encore deux points éloignés (un à chaque bord de la figure) ; en effet, plus les points sont éloignés, plus le tracé de la droite est précis.
Une droite vectorielle (c'est-à-dire un ensemble de vecteurs colinéaires, proportionnels entre eux) est représentée simplement par une équation de droite avec c nul :
:au1 + bu2 = 0
où u1 et u2 sont les composantes des vecteurs. On en déduit que pour une droite affine ou vectorielle, le vecteur de composantes
:
est un vecteur directeur de la droite. Si le repère est orthonormé, d'après une propriété du produit scalaire, le vecteur
:
est un vecteur normal à la droite.
Quelque soit le repère, si A (xA,yA) est un point de la droite et un vecteur directeur, alors pour tout point M (xM,yM) de la droite, on a
:
puisque est colinéaire à . Ceci nous donne une équation paramétrique de la droite :
: | | |
