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Géométrie Euclidienne

Géométrie euclidienne

La géométrie euclidienne est l'étude des figures (dessins) obéissant aux axiomes qu'a posés Euclide dans son ouvrage Les Éléments. C'est la géométrie telle qu'elle est enseignée jusqu'au lycée. On l'appelle souvent aussi géométrie plane lorsque les figures sont tracées sur une surface plane, ou géométrie dans l'espace lorsque l'on considère des volumes. La géométrie des Éléments d'Euclide n'utilise que la règle et le compas bien que les connaissances de son époque incluaient aussi des constructions approchées dites par neusis.
La règle permet de tracer des traits droits ( droites, segments de droite), et le compas permet de rapporter des distances (et accessoirement de tracer des cercles). On peut noter ici que la règle n'est pas graduée ; on ne s'intéresse pas à la distance comme quantité de centimètres mais comme grandeur non numérique.
Le dessin est son propre étalon ; on peut aussi dire que les propriétés du dessin ne dépendent pas de son échelle.
Notons aussi que la lecture de la figure dans la géométrie euclidienne est vitale et donne des informations que ne donne pas le texte.

Objets géométriques

La géométrie, comme toute science d'abstraction, définit des objets (attention, ces définitions sont naïves) :
- le point : on peut imager le point comme une tête d'épingle, il est en fait infiniment petit ; on le représente par une croix faite au crayon (l'intersection de deux droites sécantes est un point) ; on nomme en général les points par une lettre romaine majuscule, comme A, B...
- la droite : c'est un trait droit d'épaisseur nulle, comme un fil tendu extrêment mince ; la droite est le plus court trajet entre deux points ; on la représente par un trait de crayon droit ; on nomme la droite par une lettre romaine minuscule ou grecque majuscule (en général d ou Δ), mais si l'on connaît deux points distincts de la droite (par exemple A et B), on peut nommer la droite en mettant le nom de ces deux points entre parenthèse (on parle de la « droite (AB) ») ;
- le segment de droite : c'est une portion de droite comprise entre deux points ; on le represente par un trait droit délimité par deux petits traits perpendiculaires aux extrémités ; si A et B sont les points des extrémités, le segment est nommé en mettant ces noms entre crochets (on parle du « segment [AB] ») ;
- la demi-droite : c'est la portion d'une droite qui se trouve d'un côté d'un point de la droite ; si A est le point de « départ » de la demi-droite et B un autre point de cette demi-droite, alors on la note [AB) ;
- le cercle : il est l'ensemble des points qui se situent à une même distance d'un point particulier appelé centre ; il est représenté par un rond avec une croix au milieu ; la croix localise le centre, le rond localise les points du cercle ; il est en général nommé par une lettre romaine majuscule (par exemple C). Image:geometrie objets de base.png

Les postulats d'Euclide

Ces postulats sont appelés « demandes », soit des propositions a priori non évidentes mais qu'on demande tout de même d'admettre pour pouvoir travailler. Ils sont présentés ici dans la version de la traduction de Peyrard : # Conduire une droite d'un point quelconque à un point quelconque. # Prolonger indéfiniment, selon sa direction, une droite finie. # D'un point quelconque, et avec un intervalle quelconque, décrire une circonférence de cercle. # Tous les angles droits sont égaux entre eux. # Si une droite, tombant sur deux droites, fait les angles intérieurs du même côté plus petits que deux droits, ces droites, prolongées à l'infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits. Le dernier postulat est le bien connu 5 postulat d'Euclide. On peut aussi le formuler comme ci-dessous :
- Soient une droite (d) et un point M situé hors de cette droite ; il ne passe par M qu'une seule droite (d') parallèle à d

Constructions à la règle et au compas

La principale construction de la géométrie est sans doute le tracé de la médiatrice d'un segment. La médiatrice du segment [AB] est la droite d qui coupe perpendiculairement [AB] en son milieu I. :Théorème : La médiatrice d'un segment est l'ensemble des points qui sont à égale distance de ses extrémités. :Théorème réciproque : L'ensemble des points équidistants des extrémités d'un segment est la médiatrice de ce segment. Ceci se voit aisément en remarquant que si l'on considère un point M de la médiatrice, les segments [AM] et [BM] sont symétriques par rapport à la médiatrice. On peut aussi utiliser le théorème de Pythagore dans les triangles rectangles AMI et IMB et montrer l'égalité de leurs hypoténuses. Donc, si l'on sait construire la médiatrice, on sait donc déterminer le milieu d'un segment et tracer une perpendiculaire à une droite. Pour cela, on ouvre le compas sur une longueur supérieure à la moitié de la longueur du segment, puis, on trace deux cercles avec ce rayon, l'un centré sur A, l'autre sur B (en fait, on peut se contenter de ne tracer que des arcs de cercle). L'intersection des deux cercles est constituée de deux points situés à égale distance de A et de B, et qui définissent donc bien la médiatrice. Image:geometrie construction mediatrice.png

Métrique

Longueurs, angles

Figures géométriques

La géométrie étudie des objets constitués de plusieurs segments
- triangle
- quadrilatère : trapèze, parallélogramme, losange, carré
- autres polygones

Voir aussi

- géométrie dans l'espace
- géométrie vectorielle
- géométrie analytique
- géométrie non-euclidienne Geometrie euclidienne ja:ユークリッド幾何学 ko:유클리드 기하학

Axiome

catégorie:Raisonnement mathématique catégorie:Logique
- catégorie:épistémologie Le mot axiome vient du grec αξιωμα (axioma), qui signifie : qui est considéré comme digne ou convenable ou qui est considéré comme évident en soi. Pour certains philosophes grecs de l'antiquité cela représentait une affirmation qu'ils considéraient comme évidente et qui n'avait nul besoin de preuve. Le mot vient de αξιοειν (axioein), signifiant considérer comme digne, lui-même dérivé de αξιοσ (axios), signifiant digne. En épistémologie, un axiome est une vérité évidente en soi sur laquelle une autre connaissance peut se reposer, autrement dit peut être construite dessus. Précisons que tous les épistémologues n'admettent pas que les axiomes, dans ce sens du terme, existent. Dans certains courants philosophiques, comme l'objectivisme, le mot « axiome » a une connotation particulière. Un énoncé est axiomatique s'il est impossible de le nier sans se contredire. Exemple : « Il existe une vérité absolue » ou « Le langage existe » sont des axiomes. En mathématiques le mot axiome désigne une proposition qui est évidente en soi dans la tradition mathématique grecque, comme dans les Éléments d'Euclide ; actuellement un axiome représente plutôt un point de départ dans un système de logique (cf. Robert Blanché). Par exemple, dans certains anneaux, l'opération de la multiplication est commutative, et dans d'autres elle ne l'est pas; ces anneaux dans lesquels la loi est commutative satisfont l'« axiome de la commutativité de la multiplication ». On a longtemps confondu axiome et postulat, bien qu’on les différencie déjà dans les Éléments d'Euclide (les axiomes sont évidents alors qu’on demande d’admettre les postulats). Des axiomes servent de base élémentaire pour un système de logique formelle qui avec des règles d'inférence, définissent une logique. Par exemple, on peut définir une arithmétique simple, comprenant une addition, en posant (en s'inspirant un peu de Peano) : # un nombre noté 0 existe # tout nombre X a un successeur noté succ(X) # X+0 = X # succ(X) + Y = X + succ(Y) Beaucoup de théorèmes peuvent être démontrés à partir de ces axiomes. En utilisant ces axiomes, et en définissant les mots usuels 1, 2, 3, et ainsi de suite pour désigner les successeurs de 0 succ(0), succ(succ(0)), succ(succ(succ(0))) respectivement, nous pouvons démontrer ce qui suit: :succ(X) = X + 1 et :1 + 2 = 1 + succ(1) Expansion de l'abréviation (2 = succ(1)) :1 + 2 = succ(1) + 1 Axiome 4 :1 + 2 = 2 + 1 Expansion de l'abréviation (2 = succ(1)) :1 + 2 = 2 + succ(0) Expansion de l'abréviation (1 = succ(0)) :1 + 2 = succ(2) + 0 Axiome 4 :1 + 2 = 3 Axiome 3 et utilisation de l'abréviation (succ(2) = 3) Tout résultat que nous pouvons déduire des axiomes n'a pas besoin d'être un axiome. Toute affirmation qui ne peut être déduite des axiomes et dont la négation ne peut pas non plus se déduire de ces mêmes axiomes, peut raisonnablement être ajoutée comme axiome. Probablement le plus ancien et aussi le plus célèbre système d'axiomes est celui des 4+1 postulats d'Euclide. Ceux-ci s'avèrent être assez incomplets actuellement, et beaucoup plus de postulats sont nécessaires pour caractériser complètement la géométrie d'Euclide (Hilbert en a utilisé 26 dans son axiomatique de la géométrie euclidienne). Je précise ici 4+1 parce que le cinquième postulat (par un point en dehors d'une droite, il passe exactement une parallèle à cette droite) a été suspecté d'être une conséquence des 4 premiers pendant presque deux millénaires. Finalement, le cinquième postulat s'est avéré être indépendant des quatre premiers. En effet, nous pouvons supposer qu'aucune parallèle ne passe par un point situé en dehors d'une droite, ou qu'il existe une unique parallèle, ou encore qu'il en existe une infinité. Chacun de ces choix nous donne différentes formes alternatives de géométrie, dans lesquelles les mesures des angles intérieurs d'un triangle s'ajoutent pour donner une valeur inférieure, égale ou supérieure à la mesure de l'angle formé par une droite (angle plat). Ces géométries sont connues en tant que géométries elliptiques, euclidiennes et hyperboliques respectivement. La théorie générale de la relativité est basée essentiellement sur une affirmation que la masse donne à l'espace une géométrie hyperbolique. Le fait que des formes alternatives de géométrie pouvaient exister, préoccupa beaucoup les mathématiciens du et dans des développements semblables, par exemple en algèbre booléenne, ils faisaient généralement des efforts pour déduire les résultats des systèmes d'arithmétique ordinaire. Galois eut le temps de montrer avant de mourir en duel à 22ans, que tous ces efforts étaient en grande partie gaspillés, et que les développements parallèles des systèmes axiomatiques pouvaient être utilisés à bon escient, de la même manière qu'il résolut algébriquement beaucoup de problèmes de géométrie classique. Finalement, les similitudes abstraites existant entre les systèmes algébriques furent perçues comme plus importantes que les détails et l'algèbre moderne était née. Au , le théorème d'incomplétude de Gödel prouve qu'aucune liste explicite d'axiomes suffisamment grande pour former la base des mathématiques ordinaires, ne pourrait être à la fois complète (chaque proposition peut être démontrée ou réfutée) et consistante (aucune proposition ne peut être à la fois démontrée et réfutée).

Voir aussi

- Axiomes IST de l'analyse non standard
- Axiomatisation
- Axiome d'antifondation
- Axiome d'Archimède
- Axiome du choix
- Axiome de la paire
- Axiome de la réunion
- Axiome de l'ensemble des parties
- Axiome de l'ensemble vide
- Axiome de l'infini
- Axiome de fondation
- Axiome de Pasch
- Axiome de régularité
- Axiome de remplacement
- Axiome d'extensionnalité
- Axiome de la borne supérieure
- Axiome de séparation
- Axiomes de Hilbert de la géométrie euclidienne
- Axiomes de Peano
- Axiomes des probabilités
- postulat de la droite parallèle
- Mathématiques renversées
- Axiomes selon R. Blanché
- Système axiomatique
- Théorie axiomatique des ensembles

Lien externe

- [http://metamath.planetmirror.com/mpegif/mmset.html#axioms Metamath axioms page] ja:公理 ko:공리

Éléments d'Euclide

Les Éléments (Στοιχεία en grec) sont un traité mathématique et géométrique, constitué de 13 livres organisés thématiquement, probablement écrit par le mathématicien grec Euclide vers 300 av. J.-C. Il comprend une collection de définitions, axiomes, théorèmes et leur démonstration sur les sujets de la géométrie euclidienne et de la théorie des nombres primitive. Les Éléments sont le plus ancien exemple connu d'un traitement axiomatique et systèmatique de la géométrie et son influence sur le développement de la logique et de la science occidentale est fondamentale. Il s'agit probablement du recueil qui a rencontré le plus de succès au cours de l'Histoire : les Éléments furent l'un des premiers livres imprimés et n'est précédé que par la Bible pour le nombre d'éditions publiées (largement plus de 1 000). Pendant des siècles, il faisait partie du cursus universitaire standard.

Principes

La méthode d'Euclide a consisté à baser ses travaux sur des définitions, des postulats et des « notions ordinaires » (ces deux termes seraient de nos jours appelés des axiomes). Par exemple, le livre I contient 23 définitions (point, ligne, surface, etc.), cinq postulats et cinq notions ordinaires. Postulats du livre I : # Un segment de droite peut être tracé en joignant deux points quelconques. # Un segment de droite peut être prolongé indéfiniment en une ligne droite. # Etant donné un segment de droite quelconque, un cercle peut être tracé en prenant ce segment comme rayon et l'une de ses extrémités comme centre. # Tous les angles droits sont congruents # Si deux lignes sont sécantes avec une troisième de telle façon que la somme des angles intérieurs d'un côté est inférieure à deux angles droits, alors ces deux lignes sont forcément sécantes de ce côté. Notions ordinaires du livre I : # Des choses qui sont égales à une même chose sont égales entre elles. # Si des choses égales sont ajoutées à d'autres choses égales, leurs sommes sont égales. # Si des choses égales sont soustraites à d'autres choses égales, les restes sont égaux. # Des choses qui coïncident avec une autre sont égales entre elles. # Le tout est plus grand que la partie.

Postérité

Le succès des Éléments est du principalement à la présentation logique de la quasi totalité du savoir mathématique dont Euclide disposait. L'utilisation systèmatique et efficace du développement des démonstrations à partir d'un jeu réduits d'axiomes incita à les utiliser comme livre de référence pendant des siècles. Tout au long de l'Histoire, quelques controverses entourèrent les axiomes et les démonstrations d'Euclide. Néammoins, les Éléments restent une oeuvre fondamentale dans l'histoire des sciences et furent d'une influence considérable. Les scientifiques européens Nicolas Copernic, Johannes Kepler, Galileo Galilei particulièrement Isaac Newton furent tous influencés par les Éléments et appliquèrent leur connaissance du livre à leur propre travaux. Certains mathématiciens (Bertrand Russell, Alfred North Whitehead) et philosphes (Baruch Spinoza) ont également tenté d'écrire leur propres Éléments, des structures déductives axiomatiques appliquées à leurs disciplines respectives. Dans cinq postulats énoncés dans le livre I, le dernier, appelé « postulat des parallèles » a toujours semblé moins évident que les autres. Plusieurs mathématiciens soupçonnèrent qu'il pouvait être démontré à partir des autres postulats, mais toutes les tentatives pour ce faire échouèrent. Vers le milieu du , il fut démontré qu'une telle démonstration n'existe pas, que le cinquième postulat est indépendant des quatre autres et qu'il est possible de construire des géométries non-euclidiennes cohérentes en prenant sa négation.

Histoire

Les Éléments furent rédigés vers 300 av. J.-C. par Euclide, mathématicien grec qui fut probablement un disciple de Platon. Bien que la plupart des théorèmes leur soient antérieurs, les Éléments étaient suffisamment complets et rigoureux pour éclipser les oeuvres géométriques qui les ont précédés et peu de choses sont connues sur la géométrie pré-euclidienne. L'ouvrage fut traduit en arabe après avoir été donné aux Arabes par l'Empire byzantin, puis traduit en latin d'après les textes arabes. La première édition imprimée date de 1482 et fut depuis traduit dans une multitude de langues et publié dans plus de 1 000 éditions différentes. Des copies du texte grec existent toujours, par exemple dans la bibliothèque du Vatican ou à la Bodlean library à Oxford, mais ces manuscripts sont de qualité variable et toujours incomplets. Par analyse des traductions et des originaux, il a été possible d'émettre des hypothèses sur le contenu originel, dont il ne subsiste aucune copie intégrale.

Axiomisation ultérieure

Les mathématiciens du découvrirent que les démonstrations d'Euclide nécessitent des hypothèses additionnelles, non spécifiées dans le texte original. David Hilbert en donna une liste révisée contenant 23 axiomes supplémentaires.

Livres

Les Éléments sont organisés comme suit :
- Les livres I à IV traitent de géométrie plane :
- Le livre I énonce les propriétés de base de la géométrie : théorème de Pythagore, égalités angulaires et d'aires et parallélisme, somme des angles du triangle, les trois cas d'égalité des triangles.
- Le livre II est couramment nommé livre de l'algèbre géométrique, parce qu'il est un livre de géométrie facile à interpréter comme de l'algèbre, ce qu'il n'est pas exactement mais il a été compris et utilisé en mathématiques arabes pour l'algèbre.
- Le livre III traite du cercle et de ses propriétés : angle inscrit, puissance d'un point, tangente.
- Le livre IV s'occupe de l'inscription et de la circonscription de triangles ou de polygones réguliers dans le cercle.
- Les livres V à X font intervenir les proportions :
- Le livre V est le traité des proportions de grandeurs.
- Le livre VI est celui de l'application des proportions à la géométrie : théorème de Thalès, figures semblables.
- Le livre VII est consacré à l'arithmétique : divisibilité, nombres premiers, PGCD, PPCM.
- Le livre VIII traite de l'arithmétique des proportions et des suites géométriques.
- Le livre IX applique les précédents : infinité des nombres premiers, somme d'une série géométrique, nombres parfaits.
- Le livre X est une tentative de classification des grandeurs irrationnelles introduisant la méthode par exhaustion, prémice de l'intégration, irrationalité de

\sqrt

.
- Les livres XI à XII traitent de géométrie dans l'espace :
- Le livre XI généralise dans l'espace les livres I à VI : perpendicularité, parallélisme, volumes de parallélépipèdes.
- Le livre XII calcule des aires et volumes en utilisant la méthode d'exhaustion : disque, cônes, pyramides, cylindres et sphère.
- Le livre XIII est la généralisation du livre IV dans l'espace : section dorée, les cinq polyèdres réguliers inscrits dans une sphère. Il existe deux livres apocryphes, présents en annexe dans la traduction de Heath.

Voir aussi

Liens internes

- Archimède
- Eudoxe
- Proclos
- Pythagore

Liens externes

- [http://visualiseur.bnf.fr/CadresFenetre?O=NUMM-68013&M=pagination&Y=Image Euclide. Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide : plus le livre des donnez du mesme Euclide aussi traduict en françois par ledit Henrion, et imprimé de son vivant], traduction de 1632, site Gallica
- [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html Euclid's Elements] adapté pour Internet par D. E. Joyce
- [http://www.math.ubc.ca/people/faculty/cass/Euclid/byrne.html Oliver Byrne's edition of Euclid] (version en couleurs)

Bibliographie

- Les Éléments d'Euclide, traduction François Peyrard, éd. Blanchard Paris, 1993 (1^re éd. 1819)
- Les Éléments d'Euclide, traduction Bernard Vitrac, éd. PUF Paris, ISBN 2130432409 Elements d'Euclide Elements d'Euclide ja:ユークリッド原論

Éléments d'Euclide

Principes

Postérité

Histoire

Axiomisation ultérieure

Livres

\sqrt

Voir aussi

Liens internes

- Archimède
- Eudoxe
- Proclos
- Pythagore

Liens externes

Bibliographie

Cercle

Le terme de cercle a plusieurs sens dérivés de son sens géométrique initial. Dans son sens premier, le cercle est le « rond ». Pour la plupart des gens, de nombreuses formes plus ou moins régulières sont représentées par un cercle : une roue, la circonférence d'un arbre, le tour de la Terre (bien que celle-ci soit aplatie aux pôles), les orbites des satellites autour de la Terre, des planètes autour du Soleil (bien que ces orbites soient en fait des ellipses)...

Géométrie

Un cercle est une figure géométrique plane, constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est le rayon du cercle. La surface délimitée par un cercle est un disque. Dans un espace euclidien, il s'agit du rond que tout le monde associe au terme de cercle. Dans un espace non euclidien ou dans le cas de la définition d'une distance non euclidienne, la forme peut être plus complexe. Nous nous placerons pour la suite dans le cas d'un espace euclidien. cercle de centre C et de rayon r dans un plan muni d'un repère orthonormé
Cercle de centre C et de rayon r dans un plan muni d'un repère orthonormé Dans un plan muni d'un repère orthonormé, le cercle trigonométrique est le cercle dont le centre est l'origine des axes du repère, et dont le rayon vaut 1. Ce cercle est appelé cercle unité. cCercle trigonométrique : centré sur l'origine du repère et de rayon 1 ; définition du sinus et du cosinus
Cercle trigonométrique : centré sur l'origine du repère et de rayon 1 ; définition du sinus et du cosinus En dessin industriel, un cercle est le plus souvent représenté avec son axe horizontal et son axe vertical (en traits d'axe : trait fin composé de tirets longs et courts). Une forme de révolution, pleine ou creuse (cylindre, cône, sphère) et vue selon l'axe de révolution est représentée par un cercle. représentation conventionnelle d'un cercle en dessin industriel
Représentation conventionnelle d'un cercle en dessin industriel

Définitions

On appelle corde un segment de droite dont les extrémités se trouvent sur le cercle. Un arc est une portion de cercle délimitée par deux points. On appelle rayon un segment de droite joignant le centre du cercle à un point du cercle. La longueur dun rayon est évidemment le rayon r du cercle. Un diamètre est une corde passant par le centre ; c'est un segment de droite qui délimite le disque en deux parts de surfaces égales. Le diamètre est composé de deux rayons colinéaires ; sa longueur est 2r. définition d'objets géométriques liés au cercle
Définition d'objets géométriques liés au cercle
Propriétés géométriques du cercle
Voici en vrac quelques propriétés géométriques du cercle.
Mesures

- Le périmètre (la circonférence) du cercle vaut 2.π.r.
- L'aire du disque délimité par un cercle de rayon r vaut π.r² ; si l'on prend une corde de longueur l donnée et que l'on s'en sert pour délimiter une surface fermée, la surface ayant la plus grande aire est délimitée par un cercle. Selon la légende de la fondation de Carthage, le souverain avait permis aux Phéniciens de fonder une ville dont le pourtour était délimité par une peau de vache ; Didon en fit une grande lanière et choisit une forme circulaire pour avoir la plus grande surface.
Tangente

- La tangente en un point du cercle est perpendiculaire au rayon en ce point. : Cette propriété a des applications en optique géométrique : un rayon lumineux passant par le centre d'un miroir sphérique repart en sens inverse selon la même direction (on a une réflexion perpendiculaire au miroir). Si l'on met une ampoule au centre d'un miroir sphérique, la lumière est renvoyée de l'autre côté, ce qui permet par exemple de « rabattre » la lumière vers un miroir parabolique (principe du contre-miroir). tangente perpendiculaire au rayon
Tangente perpendiculaire au rayon
Médiatrice

- On peut montrer que la médiatrice d'une corde passe par le centre du cercle. :Ceci permet de trouver le centre d'un cercle : il suffit de tracer deux cordes non parallèles et de rechercher l'intersection de leurs médiatrices. la médiatrice d'une corde passe par le centre
La médiatrice d'une corde passe par le centre
- On peut aussi montrer que les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes et que le point de concours est le centre du cercle passant par les trois sommets, appelé cercle circonscrit au triangle.
Cercle et triangle rectangle

- Prenons trois points A, B et C distincts sur le cercle, dont deux — A et C — sont diamétralement opposés (c'est-à-dire sont les intersections du cercle avec un diamètre). Alors, ABC est un triangle rectangle en B. : Ceci découle du fait que la médiane de l'angle droit vaut la moitié de l'hypoténuse (on a un rayon et un diamètre) ; ceci est une propriété du triangle appelé dans les pays anglo-saxon le théorème de Thalès. triangle rectangle inscrit dans un cercle
Triangle rectangle inscrit dans un cercle
Angle inscrit, angle au centre

- Prenons deux points distincts poop et caca du cercle. O est le centre du cercle et C est un autre point du cercle. Alors, on a : $\widehat = 2 \cdot \widehat$ : Pour l'angle au centre $\widehat$ , il faut considérer le secteur angulaire qui intercepte l'arc opposé à l'arc contenant C. : Cette propriété est utilisée dans les appareils d'analyse spectrale par dispersion de longueur d'onde, c'est la notion de cercle de focalisation ou cercle de Rowland. illustration de la relation entre les secteurs angulaires interceptant un même arc
Illustration de la relation entre les secteurs angulaires interceptant un même arc
Puissance d'un point par rapport à un cercle
Si M est un point et Γ est un cercle de centre O et de rayon R, alors, pour toute droite passant par M et rencontrant le cercle en A et B, on a MA × MB = |OM² - R²|. Cette valeur ne dépend pas de la droite choisie mais seulement de la position de M par rapport au cercle. On peut remarquer que
- si M est à l’extérieur du cercle, MA × MB = OM² - R²
- si M est à l’intérieur du cercle , OM² - R² = - MA × MB . ce produit correspond au produit des mesures algébriques de MA et MB On appelle alors puissance du point M par rapport au cercle Γ le produit des mesures algébriques de MA et MB. Ce produit est indépendant de la droite choisie et vaut toujours OM² - R². Cette propriété permet de vérifier que 4 points sont cocycliques : en effet, si ABCD sont 4 points, si (AB) et (BC) se coupent en M et si MA × MB = MC × MD (en mesures algébriques) alors les quatre points sont cocycliques.
Équations
Dans un plan muni d'un repère orthonormé, l'équation du cercle de centre C (a,b) et de rayon r est : : (x-a)² + (y-b)² = r² cette équation est en fait une application du théorème de Pythagore pour le triangle rectangle formé par le point du cercle et sa projection sur les deux rayons parallèles aux axes ; l'équation du cercle trigonométrique est donc : x² + y² = 1. Ceci donne l'équation cartésienne du cercle : : $y = b \pm \sqrt$ . L'équation paramétrique du cercle est : x = a + r.cos(θ) : y = b + r.sin(θ) soit pour le cercle trigonométrique : x = cos(θ) : y = sin(θ)
Conique
Le cercle est une ellipse dont les foyers sont confondus au centre du cercle ; la longueur du grand axe est égale à la longueur du petit axe. C'est une conique dont l'excentricité e vaut 0. Elle peut être obtenue par l'intersection d'un plan avec un cône de révolution lorsque le plan est perpendiculaire à l'axe de révolution du cône (on parle parfois de « section droite » du cône). un cercle est une section droite d'un cône
Un cercle est une section droite d'un cône
Voir aussi
sphère (3 dimensions).
Société
Un cercle désigne un petit groupe de personnes librement associées et fait généralement référence à :
- une égalité des droits dans le groupe.
- le caractère d'exclusivité de l'appartenence à une telle structure. On parle parfois de club. Par exemple, le Cercle des poètes disparus (Dead Poets Society, film de Peter Weir).
Expression

- C'est la quadrature du cercle : se dit d'un problème insoluble, en référence à un problème mathématique classique, dont on a montré en 1882 qu'il n'avait pas de solution.
Cercle vicieux, cercle vertueux
Effet d'accumulation d'un effet négatif ou bénéfique parce que l'effet devient cause à son tour. Par exemple l'expérience montre que plus on « fait la gueule » plus on rencontre des personnes qui font de même. À l'inverse, plus on sourit plus le monde autour de soi est souriant. On dit aussi effet boule de neige, spirale vicieuse ou spirale vertueuse. Catégorie:Courbe Catégorie:Géométrie ja:円 (数学) simple:Circle

Mètre

utilisé comme prototype du mètre de 1889 à 1960]] Le mètre (symbole m, du grec metron, mesure) est l'unité de base de longueur du Système international. Il est défini comme la distance parcourue par la lumière dans le vide en 1/299 792 458 seconde.

Histoire

Le mètre est un enfant de l'esprit des Lumières et de la Révolution française. Auparavant, les longueurs étaient mesurées en référence à l'humain (le pouce, le pied, la toise) ; comme chaque être humain est différent, on prenait souvent comme référence le souverain, ce qui était un symbole monarchique fort. Il fut donc décidé, afin de supprimer toute référence à un homme particulier et pour faciliter la diffusion du savoir, de choisir un étalon non-humain unique, et d'utiliser des multiples et sous-multiples de 10. Exit ainsi le pied qui valait 12 pouces et la verge qui valait 3 pieds. Le mètre fut défini pour la première fois en 1791 par l'Académie des Sciences comme étant la dix-millionième partie d'un quart de méridien terrestre. Il fut adopté par la France le 7 avril 1795 comme mesure de longueur officielle. Quelques années plus tard, en 1799, un mètre étalon en platine fut créé à partir de cette définition et devint la référence. De février 1796 à décembre 1797, la Convention fit placer dans Paris seize mètres-étalons gravés dans du marbre pour familiariser la population avec la nouvelle mesure. Aujourd'hui, il n'en subsiste que deux : l'un est au 36 de la rue de Vaugirard, à droite de l'entrée ; l'autre, replacé en 1848, est au 13 de la place Vendôme, à gauche de l'entrée du ministère de la Justice. En juin 1792 Jean-Baptiste Delambre est chargé de mesurer la distance entre Dunkerque et Rodez pendant que Pierre Méchain mesure celle de Rodez à Barcelone. Cela permettra d'établir précisément la valeur du mètre. En 1793, à Montjouy a Barcelone, Méchain détecte une incohérence entre les longueurs relevées et le relevé astronomique de la position des étoiles. La guerre franco-espagnole l'empêche de réitérer ses mesures. Cet écart (qui n'était en fait pas dû à une erreur de manipulation mais à l'incertitude des instruments utilisés) le plonge dans un profond trouble et il met tout en œuvre pour éviter de devoir rendre compte de ses travaux à Paris. En 1799, il se résigne à se rendre à une conférence internationale qui salue son œuvre scientifique. Il maquille alors ses résultats, ce qui rendra le mètre trop court de 0,2 mm. La « fraude » ne sera découverte par Delambre qu'en 1806, années ou il ré-étudiera l'ensemble des résultats lors de la rédaction de Base du système métrique. En 1889, le Bureau des poids et mesures redéfinit le mètre comme étant la distance entre deux points sur une barre d'un alliage de platine-iridium. Cette barre est toujours conservée à Sèvres en France. En 1960, grâce à l'avènement des lasers, la 11 Conférence générale des poids et mesures (CGPM) définit le mètre comme 1 650 765,73 longueurs d'onde d'une radiation orangée émise par l'isotope 86 du krypton. Enfin la conférence de 1983 se fonda sur la lumière et redéfinit le mètre comme étant la distance parcourue par la lumière dans le vide en 1/299 792 458 seconde. La vitesse de la lumière dans le vide étant la même en tout point (selon la théorie de la relativité), c'est une définition plus facile à communiquer et universelle. C'est surtout une distance plus facile à mesurer qu'une distance entre deux points, la seconde étant l'unité du Système international (SI) la mieux mesurée.

Relation avec d'autres unités de mesures

Il existe une corrélation entre l'unité de mesure (mètre), l'unité de masse (kilogramme), les unités de surface (mètre-carré) et les unités de volume (mètre-cube ou litre, utilisé souvent pour désigner le volume des liquides).
- Un mètre-carré (m²) est la surface d'un carré dont chaque côté mesure un mètre
- Un mètre-cube (m³) est le volume d'un cube dont chaque côté mesure un mètre

Quelques points de repères

- Un homme adulte mesure environ 1,70 mètre.
- La taille d'un pied est d'environ 0,30 mètre.
- On parcourt environ 5 000 mètres en une heure de marche.
- Un grand pas fait plus ou moins un mètre.

Multiples

Décamètre

- 1 dam = 10 m Cette unité est adaptée au calcul de la superficie d'un terrain, par le biais de l'are, superficie d'un carré d'un décamètre de côté.

Hectomètre

- 1 hm = 100 m

Kilomètre

- 1 km = 1 000 m C'est le multiple du mètre le plus fréquemment utilisé pour mesurer les distances terrestres (comme par exemple entre les villes). Le long des routes, les bornes kilométriques sont placées tous les kilomètres.

Mégamètre

- 1 Mm = 10⁶ m

Gigamètre

- 1 Gm = 10⁹ m C'est un multiple du mètre utilisé pour mesurer les distances interplanétaires courtes, par exemple entre une planète et ses satellites naturels. La Lune orbite à 0,384 gigamètre de la Terre.

Téramètre

- 1 Tm = 10¹² m C'est un multiple du mètre utilisé pour mesurer les grandes distances interplanétaires. Par exemple la planète Pluton orbite à une moyenne de 5,9 téramètres du Soleil.

Pétamètre

- 1 Pm = 10¹⁵ m Une année-lumière vaut environ 9,46 Pm.

Examètre

- 1 Em = 10¹⁸ m C'est une distance interstellaire typique dans la périphérie galactique.

Zettamètre

- 1 Zm = 10 ²¹ m Notre galaxie mesure quelques zettamètres de diamètre.

Yottamètre

- 1 Ym = 10²⁴ m C'est une bonne unité de mesure des distances intergalactiques.

Sous-multiples

Décimètre

- 1 dm = 0,1 m Au cours du XX siècle, la règle graduée standard des écoliers était le double-décimètre et les programmes scolaires se référaient à cette appellation.

Centimètre

- 1 cm = 0,01 m Le centimètre est une des unités de base du système CGS : voir centimètre.

Millimètre

- 1 mm = 0,001 m Une représentation graphique manuelle précise nécessite l'utilisation de papier millimétré.

Micromètre

- 1 µm = 10^-6 m Le micromètre était autrefois appelé micron (symbole : µ). L'utilisation du micron a été interdite par la 13 CGPM en 1968.

Nanomètre

- 1 nm = 10^-9 m

Angström

- 1 Å = 10 ^-10 m Attention cette mesure ne fait pas partie du système international ... Pour en savoir plus : Angström

Picomètre

- 1 pm = 10^-12 m

Femtomètre

- 1 fm = 10^-15 m Le femtomètre fut d'abord nommé fermi en l'honneur du physicien italien Enrico Fermi (le fermi comme tel ne fait pas partie du Système international). Le femtomètre est fréquemment utilisé pour mesurer le diamètre d'un noyau atomique. Le diamètre d'un noyau atomique peut aller jusqu'à 15 fm. Le neutron et le proton ont un diamètre d'environ 2,5 fm.

Attomètre

- 1 am = 10^-18 m

Zeptomètre

- 1 zm = 10^-21 m

Yoctomètre

- 1 ym = 10^-24 m L'unité tombe dans le « vide » séparant la longueur de Planck (~4×10^-11 ym) des longueurs significatives.

Voir aussi

Articles connexes

- Unités de longueur
- Système international d'unités
- Unité de base du système international
- Préfixe du système international
- Ordre de grandeur

Liens externes

- [http://www.industrie.gouv.fr/metro/aquoisert/metre.htm histoire du mètre], par le Ministère de l'Économie, des Finances et de l'Industrie de France
- [http://histoire.du.metre.free.fr/ L'Histoire du Mètre], site complet sur l'histoire du mètre, de la Révolution à nos jours
- [http://www.bipm.fr/fr/convention/ La convention du mètre] qui instituera le BIPM, institution initiatrice du système international Metre Metre ja:メートル ko:미터 ms:Meter simple:Metre th:เมตร

Point (mathématiques)

Catégorie:Géométrie Un point est un objet sans dimension. Il est totalement décrit dans un espace à n dimensions par n coordonnées.

Infiniment petit

En analyse non standard, un réel infiniment petit (on dit aussi infinitésimal) est un nombre inférieur en valeur absolue à tout réel standard strictement positif.

Cercle

Géométrie

Définitions

Euclide

Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης Eukleidês (né vers -325, mort vers -265 à Alexandrie) était un mathématicien de la Grèce antique, auteur des Éléments, qui sont considérés comme un des textes fondateurs des mathématiques modernes : la rigueur n'est pas toujours à la hauteur des canons actuels mais la méthode consistant à partir d'axiomes, de postulats et de définitions, pour déduire un maximum de propriétés des objets considérés, le tout dans un ensemble organisé, était nouvelle pour l'époque. Les Éléments durent leur succès à leur supériorité d'organisation, de systématisation et de logique mais pas d'exhaustivité (ni de conique, ni de résolution par neusis ou ajustement). La géométrie telle que définie par Euclide dans ce texte fut considérée comme la géométrie pendant des siècles, et fut difficile à expugner de ce rôle ; Nicolaï Ivanovitch Lobatchevsky fut le premier à s'y essayer officiellement dès 1826, suivi de János Bolyai, mais la légende veut qu'il n'ait pas été pris au sérieux jusqu'à la mort de Gauss, lorsque l'on découvrit parmi ses papiers qu'il avait aussi songé à des géométries non euclidiennes ! Depuis, l'existence d'une grande variété de géométries distinctes, mais toutes aussi valables est communément admise. Euclide est aussi l'auteur des Données, de L'optique et la catoptrique et d'un livre perdu sur les coniques.

Voir aussi

Liens internes

- Division euclidienne
- Géométrie euclidienne

Liens externes

Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide (1632, traduction en vieux français) Catégorie:Mathématicien de la Grèce antique Catégorie:Philosophe grec ja:エウクレイデス ko:유클리드

Quadrilatère

En géométrie plane, un quadrilatère est un polygone à 4 côtés. Quelques quadrilatères particuliers :
- Trapèze
- Parallélogramme
- Losange
- Rectangle
- Carré image:geometrie_quadrilataire.png
Exemple de quadrilatère quelconque

Typologie des quadrilatères

Les quadrilatères quelconques offrent relativement peu d'intérêt mais permettent de voir ce qui se cachent derrière les définitions des quadrilatères particuliers bien connus ( trapèzes, parallélogramme, rectangle, losange, carré, ... )

Classement par convexité

Un quadrilatère peut être :
- convexe, si tout segment joignant deux points du quadrilatère reste toujours à l'intérieur du quadrilatère;
- concave, si ce n'est pas le cas, mais que les côtés ne se croisent pas; on dit souvent « non-convexe » au lieu de « concave »;
- croisé, si deux de ses côtés se croisent. Image:quadrilatères.png La plupart des quadrilatères particuliers sont convexes. En pratique, un quadrilatère convexe est un quadrilatère dont on peut faire le tour avec une ficelle tendue sans quitter les côtés ( dans l'image ci-dessus, le pointillé sur le second quadrilatère représente la ficelle ). La première chose à savoir sur les quadrilatères quelconques, c'est que, contrairement aux triangles, la donnée de leurs sommets ne suffisent pas à les définir. En effet, considérons quatre points A, B, C et D ( non alignés pour éviter certains problèmes ). Ces quatre points peuvent être les extrêmités de 6 segments distincts, AB, AC, AD, BC, BD et CD. Ces segments peuvent être assemblés pour former trois quadrilatères distincts ( et trois seulement ) :
- AB + BC + CD + DA
- AB + BD + DC + CA
- AC + CB + BD + DA Les quatre segments utilisés par le quadrilatère sont ses côtés ; les deux autres segments sont ses diagonales. Deux situations doivent être distinguées :
- si l'un des points est à l'intérieur du triangle formé par les trois autres points : : les trois quadrilatères obtenus sont concaves ;
- sinon, on obtient un quadrilatère convexe et deux croisés. Donc, si la donnée de quatre points ne suffit pas à définir un quadrilatère quelconque, elle suffit par contre à définir un quadrilatère convexe.

Autres classements

Quand on cherche à classer les quadrilatères en leur imposant des propriétés particulières, on obtient par exemple
- les quadrilatères dont les diagonales sont perpendiculaires Image:Quadrilatères à diagonales perpendiculaires.png : On peut observer que cette propriété offre peu d'intérêt de régularité. Seul le dernier dessin commence à ressembler à un objet régulier (un cerf-volant) qui nous évoque de loin le losange.
- les quadrilatères dont les côtés sont égaux deux à deux. Image:Quadrilatères à côtés égaux.png : On peut observer que l'on n'obtient pas toujours un parallélogramme. Si les côtés égaux sont consécutifs, on retombe sur le cerf-volant. Si le quadrilatère n'est pas convexe, on peut obtenir un quadrilatère croisé.
- les quadrilatères dont les côtés sont parallèles Image:Quadrilatères à côtés parallèles.png : on retrouve là les deux classes intéressantes de quadrilatères : les trapèzes et les parallélogrammes
- enfin, les parallélogrammes particuliers nous redonnent les classes des rectangles, des losanges et des carrés (rectangle et losange) Image:Quadrilatères remarquables.png

Propriétés générales des quadrilatères

La somme des angles d'un quadrilatère convexe vaut 360°. Mais cela n'est pas vrai pour un quadrilatère croisé. L'aire d'un quadrilatère convexe est égale au demi-produit des diagonales multiplié par le sinus de l'angle qu'elles forment. Catégorie:Géométrie ja:四角形 ko:사각형 th:รูปสี่เหลี่ยม

Parallélogramme

Image:parallelogramme.png
parallélogramme

Un parallélogramme, en géométrie, est un quadrilatère (convexe) dont les côtés sont parallèles deux à deux ; c'est un trapèze particulier.

Propriétés

- Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu.
- Le point d'intersection de ses diagonales est son centre de symétrie.
- Ses côtés opposés ont la même longueur.
- Ses angles opposés ont la même mesure.
- Ses angles consécutifs sont supplémentaires.

Reconnaître un parallélogramme

Les propriétés précédentes peuvent aussi servir à reconnaître un parallélogramme dans un quadrilatère donné, en voici une autre :
- Il est non croisé et deux côtés opposés sont parallèles et de même longueur (on reconnaît ici la définition vectorielle). Les losanges, les rectangles et les carrés sont des parallélogrammes particuliers. =Aire d'un parallélogramme= A= bxh

Aspect abstrait

La notion de parallélogramme permet de définir la relation d'équipollence de deux bipoints, ce qui amène à la notion de vecteur en géométrie euclidienne :
- on appelle bipoint tout couple de points (l'ordre des points a une importance) ;
- deux bipoints (A,B) et (C,D) sont dits équipollents si ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati ; :on peut dire de manière équivalente que (A,B) et (C,D) sont équipollents si [AC] et [BD] ont le même milieu (ce qui règle le problème des parallélogrammes aplatis) ; :de fait, les segments [AB] et [CD] sont parallèles et de même longueur ; la relation d'équipollence est une relation d'équivalence ;
- on appelle vecteur

\vec

la classe d'équivalence des bipoints équipollents à (A,B) ; :le vecteur

\vec

est l'ensemble des bipoints satisfaisant la relation d'équipollence avec (A,B). Image:bipoints equipolents.png = Une variante amusante = Image:bipoints equipolents.pngL'antiparallélogramme est une parallélogramme dans lequel les 2 grands côtés sont croisés. Il possède une propriété intéressante. Catégorie:Géométrie ja:平行四辺形

Losange

Un losange est un quadrilatère (polygone à 4 côtés) particulier : c'est un parallélogramme ayant les côtés de même longueur. Par conséquence, ses côtés sont parallèles deux à deux, les diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires. Un carré est un losange particulier (ses angles sont droits). Si a et b sont les longueurs des diagonales, alors l'aire du losange est : :A = 1/2 × a × b en effet, les diagonales définissent quatre triangles rectangles qu'il suffit de réagencer pour avoir un rectangle dont les côtés sont a/2 et b (par exemple) ; on applique alors la formule donnant l'aire du rectangle. Image:losange aire.png Un rhomboèdre est un polyèdre dont les six faces sont des losanges. Catégorie:Géométrie

Polygone

Un polygone — du grec ancien polus, nombreux, et gónia, angles — est une figure géométrique fermée, formée d'une suite de segments, chacun d'entre eux partageant une extrémité avec le suivant, délimitant ainsi un contour polygonal fermé.

Définitions

Vocabulaire de base

Soient A₁, A₂, A₃, ... A_n, n points d'un espace géométrique. On appelle alors polygone la figure notée « A₁A₂A₃...A_n » et constituée par la suite des n segments : [ A₁A₂ ], [ A₂A₃ ], ... [ A_n-1A_n ] et [ A_nA₁ ]. Chaque segment est un côté du polygone, et chaque point A_i un sommet. A chaque sommet est associé un angle, l'angle entre les deux côtés qui y aboutissent. Le nombre n des sommets, des angles ou des côtés est appelé ordre du polygone. Le périmètre d'un polygone est la somme des longueurs de ses côtés. On peut aussi parler de l' aire d'un polygone, mais cette notion n'a de sens que pour un polygone non-croisé ( voir plus bas ), et il s'agit de surcroît d'un abus de langage : c'est en fait l'aire de la surface enclose par le polygone. La somme des angles d'un polygone ne porte pas de nom particulier, mais vaut dans le cas convexe ( voir plus bas ) ( n - 2 ) π radians, où n est l'ordre du polygone. Pour le démontrer, prenez un point à l'intérieur du polygone; reliez-y tous les sommets, vous obtenez un découpage du polygone en n triangles; sachant que la somme des angles d'un triangle vaut π radians, celle des n triangles vaut n.π radians; en y retirant la somme des angles autour du point central commun aux n triangles, qui vaut 2 π radians, il reste alors juste la valeur cherchée. Enfin, en géométrie euclidienne, on ne considère que les polygones inscrits dans un plan. C'est ce que nous ferons dans la suite de cet article.

Dénomination des polygones

Le polygone le plus élémentaire a trois côtés : c'est le triangle.
Vient ensuite le quadrilatère avec quatre côtés.
À partir de cinq côtés le nom des polygones est formé d'une racine grecque correspondant au nombre de côtés et du suffixe gone signifiant angle.
Au delà de douze côtés, on a coutume de parler d'un polygone à n côtés où n est remplacé par le nombre souhaité.
Il existe cependant quelques dénominations anciennes pour des nombres ronds comme vingt (icosagone), cent (hectagone) et dix mille (myriagone).
On pourrait théoriquement former des mots comme heptakaiennéacontagone pour un polygone à quatre-vingt-dix-sept côtés mais c'est anecdotique et un peu pédant.
- polygone à 3 côtés : trigone, triangle ;
- polygone à 4 côtés : tetragone, quadrilatère ;
- polygone à 5 côtés : pentagone ;
- polygone à 6 côtés : hexagone ;
- polygone à 7 côtés : heptagone ;
- polygone à 8 côtés : octogone ;
- polygone à 9 côtés : ennéagone, nonagone ;
- polygone à 10 côtés : décagone ;
- polygone à 11 côtés : hendécagone ;
- polygone à 12 côtés : dodécagone ;
- polygone à 13 côtés : triskaidécagone ("kai" signifie "plus"), tridécagone ;
- polygone à 14 côtés : tétrakaidécagone, tétradécagone ;
- polygone à 15 côtés : pentakaidécagone, pentadécagone, quidécagone ;
- polygone à 16 côtés : hexakaidécagone, hexadécagone ;
- polygone à 17 côtés : heptakaidécagone, heptadécagone ;
- polygone à 18 côtés : octakaidécagone, octadécagone ;
- polygone à 19 côtés : ennéakaidécagone, ennéadécagone ;
- polygone à 20 côtés : icosagone ;
- polygone à 21 côtés : icosikaihenagone, henicosagone ;
- polygone à 22 côtés : icosikaidigone, doicosagone ;
- polygone à 23 côtés : icosikaitrigone, triaicosagone ;
- polygone à 24 côtés : icosikaitétragone, tetraicosagone ;
- polygone à 25 côtés : icosikaipentagone, pentaicosagone ;
- polygone à 26 côtés : icosikaihexagone, hexaicosagone ;
- polygone à 27 côtés : icosikaiheptagone, heptaicosagone ;
- polygone à 28 côtés : icosikaioctagone, octaicosagone ;
- polygone à 29 côtés : icosikaiennéagone, ennéaicosagone ;
- polygone à 30 côtés : triacontagone ("conta" = "dizaine") ;
- polygone à 31 côtés : triacontakaihenagone, hentriacontagone ;
- polygone à 32 côtés : triacontakaidigone, dotriacontagone ;
- polygone à 33 côtés : triacontakaitrigone, tritriacontagone ;
- polygone à 34 côtés : triacontakaitétragone, tetratriacontagone ;
- polygone à 35 côtés : triacontakaipentagone, pentatriacontagone ;
- polygone à 36 côtés : triacontakaihexagone, hexatriacontagone ;
- polygone à 37 côtés : triacontakaiheptagone, heptatriacontagone ;
- polygone à 38 côtés : triacontakaioctogone, octatriacontagone ;
- polygone à 39 côtés : triacontakaiennégone, ennéatriacontagone ;
- polygone à 40 côtés : tétracontagone ;
- polygone à 50 côtés : pentacontagone ;
- polygone à 60 côtés : hexacontagone ;
- polygone à 70 côtés : heptacontagone ;
- polygone à 80 côtés : octacontagone ;
- polygone à 90 côtés : ennéacontagone ;
- polygone à 100 côtés : hectogone, hecatontagone ;
- polygone à 1000 côtés : chiliagone ;
- polygone à 10000 côtés : myriagone. Les mêmes principes de dénomination s'appliquent aux polyèdres, en remplaçant la terminaison en -gone par une terminaison en -èdre.

Typologie des polygones

polyèdre Il existe plusieurs manières de classer les polygones : en fonction de leur convexité, de leurs symétries, de leurs angles, ...

Classement par convexité

Notion de diagonale

On appelle diagonale d'un polygone tout segment de droite qui joint deux sommets non consécutifs, c'est-à-dire tout segment qui joint deux sommets et qui n'est pas un côté du polygone. Exemple : les segments

[AC]

[AD]

[BD]

[BE]

[CE]

sont les 5 diagonales du pentagone

ABCDE

ci-contre. polyèdre

Polygone croisé

Un polygone est dit croisé si deux au moins de ses côtés sont sécants, c'est-à-dire qu'ils se coupent. C'est le cas du pentagone

ABCDE

ci-contre à droite qui est de plus étoilé.

Polygone convexe

Un polygone est dit convexe si toutes ses diagonales sont entièrement à l'intérieur de la surface délimitée par le polygone. L'hexagone MNOPQR ci-contre à gauche est convexe. hexagone

Polygone concave

Un polygone est dit concave si l'une de ses diagonales n'est pas entièrement à l'intérieur de la surface délimitée par le polygone. Exemple : le pentagone ACDBE ci-contre à droite est concave car les diagonales

[CB]

[CE]

sont à l'extérieur de la surface délimitée par le polygone.

Classement par symétrie

Notion d'élément de symétrie

Un polygone peut présenter des régularités ( appelées symétries ) qui le rendent globalement invariant par certaines transformations telles que rotations ou symétries. L' élément de symétrie d'une transformation est l'ensemble des points invariants par cette transformation :
- pour une symétrie centrale, l'élément de symétrie est le centre de symétrie ;
- pour une symétrie par rapport à un axe, l'élément de symétrie est justement cet axe, dit axe-miroir car il coupe toute figure globalement invariante par cette transformation en deux parties images en miroir l'une de l'autre ;
- pour une rotation, l'élément de symétrie est l'axe de rotation ( en fait, pour être exact, il s'agit plutôt de l'intersection de cet axe avec le plan où se trouve le polygone ). Dans le cas d'une rotation, il faut préciser l'angle de cette rotation ou son ordre, sachant que le produit de l'angle de la rotation par son ordre est toujours égal à 2 π radians ( ou 1 tour ou 360° ...) On peut remarquer que, dans le plan, la symétrie centrale se confond avec la rotation d'ordre deux. On dit qu'un polygone ( ou plus généralement toute figure de géométrie ) présente un élément de symétrie quand il est globalement invariant par la transformation correspondante. Dans le cas d'un polygone, tous les éléments de symétrie passent par un même point. Ce point, s'il existe, est appelé centre du polygone.

Polygone régulier

Un polygone est dit régulier s'il présente un axe de rotation d'ordre égal à son nombre de côtés. Cela signifie qu'il se superpose à lui-même quand on le tourne d'un angle de 2 π / n , où n est le nombre de ses côtés. Il présente donc la même configuration en chacun de ses sommets qui sont donc disposés régulièrement sur un cercle centré sur l'axe de rotation. Un polygone régulier est donc un polygone convexe inscrit dans un cercle et dont tous les côtés ont la même longueur ( et les angles la même mesure ). Inversement, si un polygone convexe est inscriptible dans un cercle et si ses côtés sont égaux ( ou ses angles égaux ), alors il est régulier. Exemples et contre-exemples :
- Le triangle équilatéral est un polygone régulier.
- Le carré est un polygone régulier.
- Un losange non carré n'est pas régulier (il n'est pas inscrit dans un cercle). Propriété : :Soit

A_1 A_2 A_3  A_n \,

un polygone régulier à n côtés inscrit sur un cercle de centre O, alors on a :

mes ( \widehat ) =  \,

( en radians ).

Polygone isocèle

Un polygone est dit isocèle quand il présente au moins un axe-miroir. Les axes-miroir passent nécessairement par les sommets et les milieux des côtés du polygone. Plus précisément :
- si le nombre de côtés du polygone est impair, tout axe-miroir passe par un sommet et le milieu du côté opposé ;
- si le nombre de côtés est pair, tout axe-miroir passe soit par deux sommts opposés, soit par les milieux de deux côtés opposés. Exemples et contre-exemples :
- le triangle isocèle, qui a deux côtés égaux, présente un axe-miroir passant par le sommet commun aux deux côtés égaux et le milieu du côté opposé ;
- les quadrilatères isocèles convexes sont : :
- le trapèze isocèle ; il a deux côtés parallèles, et présente un axe-miroir passant par les milieux de ces deux côtés ; :
- le cerf-volant ; il présente un axe-miroir passant par deux sommets opposés, et ses diagonales sont perpendiculaires ;
- le losange peut être vu comme un cas particulier de cerf-volant qui présente deux axes-miroirs passant par ses paires de sommets opposés, et donc confondus avec ses diagonales ;
- tout polygone régulier est isocèle et présente autant d'axes-miroir que de côtés;
- le parallélogramme n'est pas isocèle (sauf s'il s'agit d'un rectangle)

Polygone centrosymétrique

Un polygone est dit centrosymétrique quand il présente un centre de symétrie. Tout polygone centrosymétrique a un nombre pair de sommets, et inversement, seuls les polygones à nombre pair de sommets peuvent être centrosymétriques. Les côtés opposés d'un polygone centrosymétrique sont parallèles et de même longueur.

Image:parallelogramme.png
Exemple de polygone centrosymétrique

Exemples et contre-exemples :
- les triangles ne peuvent pas avoir de centre de symétrie.
- les quadrilatères centrosymétriques sont les parallélogrammes.
- les seuls quadrilatères présentant à la fois un centre de symétrie et un axe-miroir sont les rectangles et les losanges ;
- tout polygone régulier d'ordre pair a un centre de symétrie.

Polygone rotosymétrique

Un polygone est dit rotosymétrique d'ordre n ou plus brièvement n-rotosymétrique quand il présente un axe de rotation d'ordre n. Un polygone rotosymétrique d'ordre n a un nombre de côtés multiple de n. Inversement, un polygone ne peut présenter d'axe de rotation que si l'ordre de ce dernier divise son nombre de côtés. Les polygones réguliers et centrosymétriques sont des cas particuliers de polygones rotosymétriques. Exemples et contre-exemples :
- un triangle ne peut présenter d'axe de rotation que s'il est d'ordre 3 ; il est alors régulier, donc équilatéral ;
- tout quadrilatère rotosymétrique est centrosymétrique ;
- le cas le plus simple de polygone rotosymétrique sans être centrosymétrique ou régulier est celui de l'hexagone 3-rotosymétrique;
- tout polygone régulier présente par définition un axe de rotation du même ordre que le polygone ;
- tout polygone d'ordre premier présentant un axe de rotation est régulier.

Polygone scalène

Un polygone scalène est un polygone qui ne présente aucun élément de symétrie.

Classement par les angles

Polygone rectangle

Un polygone est dit rectangle quand il comporte au moins un angle droit. Exemples et contre-exemples :
- un triangle rectangle comporte un angle droit et deux angles aigus;
- un quadrilatère rectangle comporte au moins un angle droit; ce n'est cependant pas forcément un rectangle, qui en comporte quatre;
- dès qu'un trapèze comporte un angle droit, c'est un trapèze rectangle; mais tout trapèze rectangle comporte forcément au moins deux angles droits adjacents;
- le seul polygone régulier rectangle est le carré.

Polygone équiangle

Un polygone est dit équiangle quand tous ses angles sont égaux. Exemples et contre-exemples :
- le seul triangle équiangle est le triangle équilatéral;
- les quadrilatères convexes équiangles sont les rectangles;
- tous les polygones réguliers sont équiangles.

Autres classements

Polygone équilatéral

Un polygone est dit équilatéral quand tous ses côtés ont la même longueur. Exemples et contre-exemples :
- tous les polygones réguliers sont équilatéraux;
- les quadrilatères convexes équilatéraux sont les losanges.

Polygone inscriptible (dans un cercle)

Un polygone est dit inscriptible quand tous ses sommets se trouvent sur un même cercle. Ses côtés sont alors des cordes de ce cercle, d'où le nom de polygone de cordes donné par les anglais aux polygones inscriptibles. Exemples et contre-exemples :
- tout triangle est inscriptible;
- un trapèze n'est inscriptible que s'il est isocèle;
- tout quadrilatère formé de deux triangles rectangles accolés par leur hypotènuse est inscriptible;
- le seul parallélogramme inscriptible est le rectangle;
- tout polygone régulier est inscriptible;

Polygone circonscriptible (à un cercle)

Un polygone est dit circonscriptible quand tous ses côtés sont tangents à un même cercle. Les anglais ont baptisés polygone de tangentes ce type de polygone. Exemples et contre-exemples :
- tout triangle est circonscriptible;
- les seuls parallélogrammes circonscriptibles sont les losanges;
- tout polygone régulier est circonscriptible;

Algorithmique des polygones

- Calcul du centre de gravité d'un polygone
- Construction à la règle et au compas
- Théorème de Gauss-Wantzel
- Calcul de l'aire d'un polygone
- Simplification d'un polygone

Voir aussi

- Forme cristalline
- Polyèdre
- Polygone de sustentation
- ja:多角形

Catégorie:Géométrie

Catégorie:Mathématiques ja:Category:幾何学 ko:분류:기하학 zh-min-nan:Category:Kí-hô-ha̍k

Kategória:Narodenia v 10. rokoch 17. storočia

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