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Géométrie Projective

Géométrie projective

La géométrie projective est le domaine des mathématiques qui modélise les notions intuitives de perspective et dhorizon. Elle étudie les propriétés des figures inchangées par projection.
Considérations historiques
La géométrie projective trouve ses origines dans le travail de Pappus (III avant Jésus-Christ) qui introduit le rapport anharmonique et fait référence à un travail d'Apollonius de Perga. Elle a ensuite été étudiée au XVII^e siècle par des mathématiciens comme Pascal ou Desargues, avant de tomber dans l'oubli. C'est Poncelet dans son traité des propriétés géométriques des figures qui la remet au goût du jour. Les méthodes analytiques sont principalement introduites par August Ferdinand Möbius et Julius Plücker. Mais c'est Felix Klein qui, à la fin du XIX^e siècle, clarifie le lien entre géométrie projective et géométrie euclidienne. Elle est aujourd'hui largement utilisée par les systèmes de visualisation sur ordinateur (OpenGL).
Espace projectif

- Voir article détaillé: Espace projectif Un espace projectif est défini en mathématiques comme l'ensemble des droites vectorielles d'un espace vectoriel ; on peut imaginer l'œil d'un observateur placé sur l'origine d'un espace vectoriel, et chaque élément de l'espace projectif correspond à une direction de son regard. Un espace projectif se démarque d'un espace vectoriel par son homogénéité : on ne peut distinguer en son sein aucun point particulier comme l'origine d'un espace vectoriel. En cela il se rapproche d'un espace affine.
Définition vectorielle
Soit $E \,\!$ un K-espace vectoriel (K est un corps, en général $\R \,\!$ ou $\mathbb \,\!$ ), non réduit à $\$ . On définit sur $E - \ \,\!$ la relation d'équivalence suivante : $x \sim y \Leftrightarrow \exists \lambda \in K^ - , x=\lambda y \,\!$ . Alors on appelle espace projectif sur $E \,\!$ l'ensemble quotient de $E - \ \,\!$ par la relation d'équivalence $\sim \,\!$ : $P(E) = (E - \) / \sim \,\!$ . Pour chaque élément $x \neq 0 \,\!$ de $E \,\!$ on notera $\pi(x) \in P(E) \,\!$ sa classe d'équivalence : $\pi(x) = \ \,\!$ . On a donc : $\pi(x) = \pi(y) \,\!$ si et seulement si $x \,\!$ et $y \,\!$ sont colinéaires. L'application $\pi : E \rightarrow P(E)\,\!$ est appelée projection canonique. Plus simplement l'espace projectif

P(E) \,\!

est l'ensemble des droites vectorielles de

E \,\!

; l'élément

\pi(x) \,\!

de l'espace projectif est la droite vectorielle de

E \,\!

dont un vecteur directeur est

x \,\!

. Si

E \,\!

est de dimension finie

n \,\!

alors on dit que

P(E) \,\!

est de dimension finie et on note

n-1=dim \, P(E) \,\!

la dimension de l'espace projectif. En particulier :
- Si n=1 alors

P(E) \,\!

est un singleton (dimension nulle) ;
- Si n=2 alors

E \,\!

est un plan vectoriel et

P(E) \,\!

est appelé droite projective.
- Si n=3 alors

P(E) \,\!

est appelé plan projectif ; c'est le cadre le plus courant pour faire de la géométrie. Si l'espace

E \,\!

est l'espace vectoriel de dimension

n \,\!

« typique », c'est-à-dire

K^n \,\!

alors on a une notation particulière pour l'espace projectif :

P^(K) \,\!

au lieu de

P(K^n) \,\!

Définition affine

plan projectif Cette définition très formelle d'un espace projectif ne doit pas faire oublier que cette notion est née de la projection centrale et est, avant tout, une notion géométrique. Pour prendre l'exemple de l'espace projectif de

\mathbb^3

, On peut observer le dessin ci-contre où les points m, n et r appartiennent au plan (P'). Il faut imaginer un observateur placé en O. Cet observateur voit tous les points de la droite (OM) en m , ceux de la droite (OR) en r et ceux de la droite (ON) en n. les droites (d) du plan (P) ne sont pas vues comme des points de (P'). Il y a donc bijection entre les droites vectorielles de

\mathbb^3

non parallèles à (P) et les points du plan (P'). L'espace projectif de

\mathbb^3

est donc en bijection avec le plan affine (P') auquel on ajoute l'ensemble des droites vectorielles de (P). Un plan projectif

\tilde

est donc constitué d'un plan affine (P') qui contient l'ensemble des points propres de

\tilde

auquel on adjoint toutes les droites vectorielles (ou directions) de (P'). Chaque point du deuxième ensemble s'appelle point impropre de

\tilde

ou point à l'infini. Cette notion permet, par exemple, de parler, dans un plan, d'intersection entre deux droites quelconques : les droites seront sécantes un point point propre de (P') ou bien en un point impropre dans le cas où les droites sont parallèles. Cette notion se généralise à tout espace projectif

\tilde P

de dimension n : c'est un espace affine (P) de dimension n auquel on adjoint l'ensemble des directions de (P). En particulier, si (P) = K, la droite projective associée est l'ensemble

\tilde = K \cup  \,\!

où

\infty

est un point extérieur à

K \,\!

, prolongeant les opérations algébriques de la manière suivante :

\forall x \in K , \frac = 0 \,\!

\forall x \in K^ -  , \frac = \infty \,\!

Cette double relation, d'une part avec un espace vectoriel quotienté, d'autre part avec un espace affine complété fait la richesse de l'étude de la géométrie projective. De même, ce double aspect sera important à conserver quand il s'agira de donner des coordonnées aux points de l'espace projectif.

Repérage

Coordonnées homogènes

- Voir article détaillé : coordonnées homogènes Dans un espace projectif de dimension n, donc associé à un espace vectoriel de dimension n + 1, chaque point m de P(E) est associé à une famille de vecteurs de (E) tous colinéaires. Si E est muni d'une base canonique, on appelle coordonnées homogènes du point P, les coordonnées d'un vecteur quelconque x tels que

\pi(x) = m\,

. Un point possède donc une famille de coordonnées toutes proportionnelles entre elles. Autrement dit, si

(x_1, x_2, ....., x_n)\,

est un système de coordonnées homogènes de m, il en est de même de

(kx_1, kx_2, ....., kx_n)\,

pour tout élément k non nul de K. Parmi toutes ces coordonnées, il arrive souvent que l'on en privilégie une pour retrouver un espace affine de dimension n. Parmi tous les représentants de m, on privilégie celui dont la dernière coordonnée, par exemple, vaut 1. Cela revient à dire que l'on a projeté l'espace dans l'hyperplan d'équation

x_ = 1\,

. Si

(x_1, x_2 ..., x_)\,

est un système de coordonnées de m, on privilégie le système de coordonnées

(, , ...,  , 1)\,

. Cela ne vaut évidemment que si m est un point propre de P(E). Les points impropres sont représentés par des systèmes de coordonnées homogènes dont la dernière coordonnée est nulle. On remarque alors bien là la correspondance entre
- les point propres de P(E) et les points d'un espace affine de dimension n
- les points impropres de P(E) et les directions d'un espace vectoriel de dimension n Choisir arbitrairement de mettre une coordonnée à 1 dans les coordonnées homogènes permet de définir des cartes différentes.

Repère d'un espace projectif

- Article à détailler : Repère projectif Un espace vectoriel de dimension n se repère par une base de n vecteurs indépendants. Un espace affine de dimension n se repère à l'aide de n + 1 points non liés. Un espace projectif de dimension n se repère à l'aide de n+2 points. On pourrait penser que n+1 points seraient suffisants en prenant par exemple

(\pi(e_1), \pi(e_2),...,\pi(e_))\,

où

(e_i)_

forme une base de l'espace vectoriel de dimension n+1 associé à l'espace projectif. Les coordonnées d'un point m dans ce repère seraient alors

(x_1, ..., x_) \,

où

(x_1, ..., x_)\,

sont les coordonnées de x tels que

\pi(x)= m\,

mais il faudrait que ces coordonnées soient indépendantes du représentant choisi pour les vecteurs de la base :

\pi(e_1)\,

, par exemple, a un autre représentant qui est

2e_1\,

. Et dans la base

(2e_1, e_2, ..., e_)\,

x n'a pas le même système de coordonnées

(x_1/2, x_2, ..., x_\,

. Il faut donc empêcher cette ambiguité et limiter le choix d'autres représentants des vecteurs de base à des vecteurs colinéaires aux précédents mais de même coefficient de colinéarité. Il suffit pour cela de définir un n+2 ième point correspondant à

\pi(e_1 + e_2 + ...+ e_n)\,

. Ainsi, si on choisit d'autres représentants de

\pi(e_1) ...\pi(e_)\,

avec des coefficients de colinéarité différents, le vecteur

k_1e_1 + ... + k_e_\,

ne sera plus un représentant de

\pi(e_1 + e_2 + ...+ e_)\,

Sous-espace projectif

- Voir article détaillé : Sous-espace projectif Comme il existe des sous-espaces vectoriels d'espace vectoriel ainsi que des sous-espaces affine d'espace affine, il existe de même des sous-espaces projectifs d'espace projectif. Ils sont constitués des projetés des sous-espaces vectoriels de l'espace vectoriel associé. On parlera donc de droite projective dans un plan projectif, de plan projectif dans un espace projectif. La règle des dimensions et l'existence de points à l'infini permettent de simplifier les règles d'incidence.

Birapport sur une droite projective

- Voir article détaillé : rapport anharmonique Si a, b, c et d sont 4 points (a,b et c distincts) d'une droite projective D, il existe un unique isomorphisme de D sur

\tilde K

f_

tel que
-

f_(a) = \infty

f_(b) = 0\,

f_(c) = 1\,

On appelle birapport de a, b, c, d, noté [a:b:c:d] la valeur de

f_( d)

. Si a, b, c et d sont 4 points propres distincts de D, on retrouve la définition ancienne du birapport ou rapport anharmonique : :

\frac

Transformation projective ou homographie

- Article à détailler : Transformation projectiveLes transformations projectives ou homographies sont des transformations étudiées en géométrie projective. Elles s'obtiennent comme composée d'un nombre fini de projections centrales. Elles décrivent ce qui arrive aux positions observées de différents objets quand l'œil de l'observateur change de place. Les transformations projectives ne conservent par toujours les distances ni les angles mais conserve les propriétés d'incidence et le birapport - deux propriétés importantes en géométrie projective. On trouve des transformations projectives sur des droites, dans des plans et dans l'espace. Propriété fondamentale : En dimension finie, une transformation projective est entièrement déterminée par l'image d'un repère de l'espace projectif.

Topologie

- Article à détailler : Topologie en géométrie projective Si E est un espace vectoriel sur

\mathbb R

\mathbb C

de dimension finie, on peut définir sur E une topologie issue de la distance

||x|| = \sqrt

. Cette topologie induit sur l'espace quotient

P(E)=E-/\sim

une topologie. On munira donc l'espace projectif P(E) de cette topologie. Elle permet de parler de morphisme et de remarquer, par exemple, que la droite projective réelle est homéomorphe à un cercle, la droite affine complexe étant homéomorphe à une sphère.

Dualité

- Article à détailler : Dualité (géométrie projective) Si E est un K-espace vectoriel de dimension finie n, son dual E
- est aussi un K-espace vectoriel de dimension n. On peut donc associer à l'espace projectif P(E), son dual P(E
- ). Une droite de P(E
- ) correspondra à un faisceau d'hyperplans dans P(E). Le passage au dual permet d'inverser un grand nombre de propriétés géométriques.

À quoi sert la géométrie projective ?

La géométrie projective a permis de simplifier grandement des théorèmes de géométrie plane comme le théorème de Pappus ou le théorème de Desargues. Muni d'une topologie, l'espace projectif est le point de départ de l'étude de la géométrie différentielle. Enfin, avec le développement de la représentation en 2D d'objets en 3D, la géométrie projective a montré la puissance des outils qui ont été mis en place. En sus des aspects utilitaires, on peut insister sur la gymnastique intellectuelle et sur le sentiment de perfection esthétique que procurent certains axiomes de plans projectifs.

Bibliographie

- Géométrie (Tome I) de Marcel Berger
- Petite encyclopédie de mathématique (Ed. Didier)
- Méthodes modernes en géométrie de Jean Fresnel
- Geometrie projective

Pappus

ja:パップス catégorie:Mathématicien de la Grèce antique catégorie:géométrie Pappus d'Alexandrie vécut au après J.C. Il est un des plus important mathématiciens de la Grèce antique, connu pour son ouvrage Synagoge (“Collection”). Il naquit à Alexandrie en Égypte. Bien que très peu de choses sur sa vie soient connues, les écrits nous suggèrent qu'il fut un précepteur. Son principal ouvrage est connu sous le nom Synagoge (env. 340). Il comprend au moins huit volumes, le reste a été perdu, la collection couvre un grand nombre de rubriques mathématiques, incluant la géométrie, les mathématiques récréatives, la construction, d'un cube du double d'un cube donné, de polygones et de polyhèdres. En géométrie, son nom est resté attaché de nos jours au théorème de Pappus. C'est grâce à lui que nous sont parvenues les sources les plus riches des mathématiques grecques.

Apollonius de Perga

Apollonius de Perga ou Perge (env. -262 - env. -190) était un géomètre grec et un astronome, célèbre pour ses écrits sur les sections coniques. Ce fût Apollonius qui donna à l'ellipse, à la parabole, et à l'hyperbole les noms que nous leur connaissons. Les hypothèses des orbites excentriques, pour expliquer le mouvement apparent des planètes et la variation de vitesse de la Lune, lui sont aussi attribuées. Les Stoïques des coniques, sous son titre original en grec, est un ensemble de huit ouvrages majeurs de la géométrie antique dûs à Apollonius. Les quatre premiers livres nous sont parvenus en grec, avec les commentaires d'Etocius. Les livres cinq à sept nous sont parvenus dans une traduction en langue arabe par Thâbit-ibn-Qurra, et revue par Nâsir-ad-Dinet et le huitième a disparu. L'ensemble de cet ouvrage, avec une restitution du huitième livre, a été publié (texte grec et traduction latine), par Edmund Halley en 1710. Celui-ci a, de plus, traduit de l'arabe en 1706 deux autres ouvrages d'Apollonius : De section rations. Pappus donna des indications sur une série d'ouvrages perdus qui permirent la déduction de leur contenus par les géomètres de la Renaissance : De spatii sections, De sections determinata, Des contacts, Des lieux plans. Sa méthodologie innovante et sa terminologie, spécialement dans le domaine des coniques, à influencé plusieurs mathématiciens postérieurs dont Ptolémée, Kepler, Isaac Newton et René Descartes. Plus tard, Gaspard Monge et Girard Desargues utiliseront l'importance du raisonnement projectif pour l'appliquer à l'ensemble de la géométrie.

Voir aussi

- Théorème de Descartes Catégorie:Mathématicien de la Grèce antique Catégorie:Astronome de la Grèce antique Catégorie:Géométrie Apollonius de Perga Apollonius de Perga

Blaise Pascal

Blaise Pascal (19 juin 1623, Clermont-Ferrand - 19 août 1662, Paris) était un philosophe, théologien, mathématicien et physicien français. Il contribua à des avancées importantes dans de nombreux domaines :
- Il jeta les bases du calcul de probabilités avec Fermat ;
- Il conçut la première machine à calculer mécanique (addition et soustraction), la Pascaline en 1642 ;
- Il travailla sur la pesanteur, les coniques, la géométrie, l'hydrostatique, l'arithmétique et les mathématiques. Il fut également à l'origine du principe de Pascal ;
- Il redécouvrit en 1654 le triangle de Pascal utile à de nombreux calculs arithmétiques, découvert six siècles plus tôt par Omar Khayyam ;
- Il établit la loi de Pascal. Son œuvre philosophique la plus connue était Les Pensées, qui ne fut pas publiée pendant sa vie et dans laquelle il formule le pari sur l'existence de Dieu. Il suivit les doctrines du jansénisme et fut très lié à l'abbaye de Port-Royal-des-Champs. En reconnaissance à l'importance de son travail son nom fut donné à l'unité SI de pression, le pascal. Le nom du langage de programmation Pascal, développé par Niklaus Wirth, fut également choisi en sa mémoire. L'Université Clermont-Ferrand II porte son nom.

Expérience des liqueurs

Blaise Pascal a également réalisé la fameuse expérience des liqueurs (qu'on traduirait aujourd'hui par Expérience des liquides) au , qui prouva qu'il existait une « pression atmosphérique ». À l'époque, il faut savoir que l'Église contrôlait tous les dogmes et répandait l'idée que « la nature a horreur du vide ». Des inondations ayant eu lieu en Italie et en Hollande avaient conduit à des pompages d'eau pour débloquer les carrières de minerai des deux pays. Mais les pompes énormes fabriquées pour l'occasion laissaient perplexes les hommes de l'Église : la hauteur de l'eau dans les tubes de pompage s'arrêtait à 10m 33. Et cela à des endroits très différents. À Clermont-Ferrand, Blaise Pascal est en train d'écrire un traité sur la mécanique des fluides. Il émet donc l'hypothèse qu'une sorte de « pression atmosphérique » empêche l'eau de monter très haut dans les pompes, et que le vide occupe l'espace supérieur des tubes. Cependant, il se heurte fortement à l'Église, qui fait refaire l'étanchéité des pompes afin de vérifier qu'il ne s'agit pas d'air. Mais leurs travaux leur donnent finalement tort. Blaise Pascal imagine alors une expérience : la pression atmosphérique devrait être différente en ville (à Clermont-Ferrand) qu'en haut de la montagne la plus proche, le Puy-de-Dôme. La pression doit être nettement inférieure en haut qu'en ville. Pascal transporte donc 75cm de mercure (poids de 10m 33 d'eau) en haut du Puy-de-Dôme et à Clermont. Des curés et des savants suivent l'expérience. Grâce au tube-témoin en ville, la présence de vide est démontrée. L'Église trouva donc un exemple de plus allant à l'encontre des croyances.

Liste des œuvres

- Essai sur les coniques (1642)
- Expériences nouvelles touchant le vide (1647)
- Récit de la grande expérience de l'équilibre des liqueurs (1648)
- Traité du triangle arithmétique (1654)
- Les provinciales (Correspondances 1656-1657)
- Élément de géométrie (1657)
- L'art de persuader (1657)
- Les pensées (1670, posthume)

Liens Internes

- Pari de Pascal
- Université Blaise Pascal
- Triangle de Pascal
- Pascal, unité de mesure
- Pascal (langage)

Liens externes

- [http://www.aufildemeslectures.net/?au=457 Quelques citations]
- [http://en.wikipedia.org/wiki/Blaise_Pascal Site Wikipédia en anglais sur Blaise Pascal] Pascal, Blaise Pascal, Blaise Pascal, Blaise Pascal, Blaise Pascal, Blaise Pascal, Blaise Pascal, Blaise Pascal, Blaise ja:ブレーズ・パスカル ko:블레즈 파스칼

Jean Poncelet

Jean-Victor Poncelet est un mathématicien français (né à Metz en 1788 et décédé à Paris en 1867). Il étudie à l'École Polytechnique (Promotion X1807). Élève de Gaspard Monge, il rénove la géométrie projective (1822) (théorème de Poncelet sur les coniques, dualité par pôles et polaires réciproques, faisceau harmonique, points cycliques) et la mécanique (1829) (notion de travail mécanique précisée, mécanisme inverseur de Poncelet, théorie des ondes, amélioration des turbines). Général commandant l'École Polytechnique de 1848 à 1851, il est démissionné de son poste par Napoléon III.

Bibliographie

Travaux

- Traité des propriétés projectives des figures, 1822
- Cours de mécanique appliqué aux machines, 1826
- Introduction a la mécanique industrielle,1829
- Applications d'analyse et de géométrie, 1862-1864

Notice biographique

- Notice sur la vie et les ouvrages du général J. V. Poncelet, par M. le général Didion. in [http://visualiseur.bnf.fr/Visualiseur?Destination=Gallica&O=NUMM-33253 Mémoires de l'Académie nationale de Metz] 1870 (50e année / 1868-1869; 2e série) pp. 101-159. Poncelet, Jean Poncelet, Jean Poncelet , Jean Poncelet , Jean

August Ferdinand Möbius

ko:아우구스트 페르디난트 뫼비우스 Möbius, August Ferdinand Möbius, August Ferdinand Möbius, August Ferdinand August Ferdinand Möbius (7 novembre 1790 à Schulpforta, Saxe, Allemagne - 26 septembre 1868 à Leipzig) fut un mathématicien et astronome théoricien à l'université de Leipzig. Il est plus connu pour sa découverte du ruban de Möbius, une surface non orientable à deux dimensions avec seulement un bord quand elle est plongée dans un espace euclidien à trois dimensions. Elle fut découverte indépendamment par Johann Benedict Listing à peu près à la même époque. Möbius fut le premier à introduire les coordonnées homogènes en géométrie projective. Les transformées de Möbius, importantes en géométrie projective, qui ne doivent pas être confondues avec la transformation de la théorie des nombres qui porte aussi son nom. L'importante fonction μ(n) et la formule d'inversion de Möbius font partie de ses apports en théorie des nombres. Möbius a eu Carl Friedrich Gauss comme professeur. C'était un descendant de Martin Luther par sa mère.

Ouvrages

- Der barycentrische Calcül : ein neues Hilfsmittel zur analytischen Behandlung der Geometrie, Leipzig (1827)
- Lehrbuch der Statik, 2 Bde, Leipzig (1837)
- Die Elemente der Mechanik des Himmels, Leipzig (1843)

Voir aussi

- Bouteille de Klein

Julius Plücker

Plücker, Julius Plücker, Julius Julius Plücker (16 juin, 1801 – 22 mai, 1868) était un mathématicien and physicien allemand. Il a obtenu des résultats fondamentaux en géométrie analytique et fut un pionnier dans les recherches sur les rayons cathodiques qui aboutirent à la découverte de l'électron. Il a aussi beaucoup travaillé sur les courbes de Lamé. Plücker est né à Elberfeld (aujourd'hui incorporé à Wuppertal). Après des études à Düsseldorf et dans les universités de Bonn, Heidelberg et Berlin, il se rend à Paris en 1823, où est il est influencé par la grande école des géomètres français, dont le fondateur Gaspard Monge venait juste de mourir. En 1825, il retourne à Bonn et en 1828 il devient professeur de mathématiques. La même année, il publie le premier tome de son Analytisch-geometrische Entwickelungen (Développements analytico-géométriques), qui introduit pour la première fois sa méthode de la notation abrégée. En 1831, il publie le second volume, dans lequel il établit clairement les fondations du grand principe de dualité. En 1847, Plücker devient professeur de physique à Bonn. En 1858, il publie la première de ses recherches classiques sur l'action des aimants sur la décharge électrique dans les gas raréfiés. Il montre que la décharge provoque la formation d'une lueur fluorescente sur les parois de verre du tube à vide, et que l'on peut forcer la lueur à se décaler en appliquant un aimant sur le tube, créant ainsi un champ magnétique. Plus tard, on a montré que la lueur venait des rayons cathodiques. Plücker, d'abord seul, puis en collaboration avec Johann Hittorf, fait de nombreuses découvertes importantes dans la spectroscopie des gas. Il est le premier à utiliser le tube à vide avec une partie capillaire (tube de Geissler) qui permet d'augmenter suffisamment la faible intensité des décharges électriques pour permettre l'étude spectroscopique. Il devance Robert Wilhelm Bunsen et Gustav Kirchhoff en annonçant que les lignes du spectre sont caractéristiques de la substance qui les a émises, et en montrant la valeur de cette découverte en Analyse chimique. Selon Hittorf, il fut le premier à voir les trois lignes du spectre de l'hydrogène, qui furent trouvées quelques mois après sa mort dans le spectre des protubérances solaires. En 1865, Plücker retourne à la géométrie et invente alors ce qu'on appelait la géométrie des lignes au XIXe siècle. En géométrie projective, les coordonnées de Plücker sont un ensemble de coordonnées homogènes introduites d'abord pour plonger l'ensemble des lignes de l'espace projectif de dimension trois dans une quadrique dans l'espace projectif de dimension cinq. Leur construction utilise les mineurs 2×2, ou de façon équivalente, la seconde puissance extérieure de l'espace vectoriel de dimension 4 sous-jacent. Les coordonnées de Plücker font maintenant partie de la théorie des grassmaniennes, qui décrivent l'ensemble des sous-espaces de dimension k dans un espace de dimension n en toute généralité. Plücker a reçu la Médaille Copley de la Royal Society en 1866. Plücker, Julius Plücker, Julius

OpenGL

OpenGL (Open Graphics Library) est une spécification qui définit une API multi plate-forme pour la conception d'applications générant des images 3D (mais également 2D). L'interface regroupe environ 250 fonctions différentes qui peuvent être utilisées pour afficher des scènes tridimensionnelles complexes à partir de simples primitives. Du fait de son ouverture, de sa souplesse d'utilisation et de sa disponibilité sur toutes les plate-formes, elle est utilisée par la majorité des applications scientifiques, industrielles ou artistiques 3D et certaines applications 2D vectorielles. Cette bibliothèque est également très populaire dans l'industrie vidéo-ludique où elle est en rivalité avec Direct3D (sous Microsoft Windows). Certains logiciels utilisent OpenGL pour gérer l'ensemble de leur interface, même 2D, comme Blender, ou la version SGI de X11. Plusieurs implémentations d'OpenGL (exploitant l'accélération 3D fournie par le matériel) existent pour Windows, de nombreuses stations Unix et Mac OS. Ces implémentations sont généralement fournies par les constructeurs de matériels graphiques et y sont étroitement liées. Il existe une implémentation libre de cette bibliothèque, nommée Mesa, créée en 1993 par Brian Paul et qui utilise la même API, ce qui permet :
- de se passer de la licence OpenGL dans la plupart des cas
- de faire tourner des appllications OpenGL sur des terminaux X qui y sont en principe inaptes (les performances sont alors médiocres, mais cela vaut parfois mieux que pas d'exécution du tout si l'on n'a pas besoin d'utiliser d'animation en temps réel) Mesa permet en outre l'usage d'OpenGL sur des stations X-window ordinaires. Ces stations ne disposant pas en général de fonctions 3D, on ne peut toutefois les utiliser que pour des modèles simples comportant peu de polygones. La spécification OpenGL est surveillée par l'OpenGL Architecture Review Board (ARB), formé en 1992. L'ARB se compose d'entreprises ayant un profond intérêt pour la création d'une API cohérente et largement disponible. Selon le site officiel d'OpenGL, 3Dlabs, Apple Computer, ATI, Dell Computer, Evans & Sutherland, Hewlett-Packard, IBM, Intel, Matrox, nVidia, SGI et Sun Microsystems font partie des membres votants (juin 2002). Microsoft, l'un des membres fondateurs, s'est retiré en mars 2003. La norme OpenGL permet à différents fabriquants d'ajouter de nouvelles fonctionnalités sous forme dextensions. Une extension est distribuée en 2 parties : un fichier d'en-têtes qui contient les fonctions prototypes de l'extension et les drivers du fabriquant. Chacun d'eux possède une abréviation qui est utilisée pour nommer leurs nouvelles fonctions et constantes. Par exemple, l'abréviation de NVidia (« NV ») est utilisée pour définir leur fonction propriétaire « glCombinerParameterfvNV() » et leur constante « GL_NORMAL_MAP_NV ». Il peut arriver que plus d'un fabriquant implémente la même fonctionnalité. Dans ce cas, l'abréviation « EXT » est utilisée. Il peut également arriver que l'ARB officialise une extension. Celle-ci devient alors un standard et l'abréviation « ARB » est utilisée. La première extension ARB fut GL_ARB_multitexture. Les spécifications et développements de base ont été réalisés par une équipe de SGI, après avoir travaillé sur une première version d'un projet similaire à l'INRIA. Dans cette équipe se trouvait notamment le très célèbre Bui Tuong Phong créateur de l'algorithme d'interpolation pour le lissage d'ombres. Le projet Fahrenheit, initiative de Microsoft et de SGI, tenta d'unifier les interfaces OpenGL et Direct3D. Celui-ci apporta au début l'espoir de mettre de l'ordre dans le monde des APIs 3D, mais pour des contraintes financières de la part de SGI, le projet dut être abandonné. Plusieurs bibliothèques sont développées à partir d'OpenGL afin d'apporter des fonctionnalités non-disponibles dans la bibliothèque OpenGL elle-même :
- GLU
- GLUT
- GLUI On notera en particulier, la bibliothèque OpenGL Performer, développée par SGI et disponible pour IRIX, Linux et quelques versions de Windows, qui permet la création d'applications de rendus temps réel.
Intérêt d'OpenGL pour SGI
OpenGL met à chaque fois dans le domaine public la version N-1 de GL, bibliothèque graphique de GL. Cette approche marketing
- décourage la concurrence (OpenGL étant gratuit et ouvert, pourquoi développer autre chose ?)
- dissuade la modification d'OpenGL (car tout ajout serait à recommencer dans la version d'OpenGL suivante)
- donne aux stations SGI un avantage concurrentiel substantiel, puisque GL a toujours une longueur d'avance sur OpenGL.
A voir aussi

Quelques jeux utilisant OpenGL

- Quake
- Unreal Tournament
- Half-Life
- Neverwinter Nights
- Star Wars: Knights of the Old Republic
- Medal Of Honor : Débarquement Allié
- Doom 3
Liens externes

- [http://www.opengl.org/ Site officiel de OpenGL]
- [http://www.opengl.org/resources/libraries/ GLUT]
- [http://www.mesa3d.org/ Implémentation libre d'OpenGL]
- [http://freeglut.sourceforge.net/ Implémentation libre de GLUT]
- [http://nehe.gamedev.net/ NeHe's OpenGL tutorials]
- [http://glinfrench.apinc.org/ Cours d'OpenGL fr]
- [http://www.flipcode.com/ FlipCode.com]
- [http://www.devmaster.net/ DevMaster.net] Catégorie:Bibliothèque logicielle graphique ja:OpenGL th:OpenGL

Espace projectif

Catégorie:géométrie projective En mathématiques, un espace projectif est une construction fondamentale à partir de n’importe quel espace vectoriel.

Détails

L'espace projectif généralise le plan projectif qui peut être construit à partir d'un espace vectoriel à trois dimensions, sur n’importe quel corps. Alors que la théorie des plans projectifs a un aspect combinatoire, qui est absent dans le cas général, l’espace projectif est fondamental en géométrie algébrique, à travers la riche géométrie projective développée au XIXe siècle mais aussi dans les constructions de la théorie moderne (basée sur l’algèbre graduée). Les espaces projectifs et leur généralisation à des sous-espaces imbriqués jouent aussi une grande rôle en topologie, dans la théorie des groupes de Lie et des groupes algébriques, et leur théorie des représentations. La construction de base, étant donné un espace vectoriel V sur un corps K, est de former l’ensemble des classes d’équivalence des vecteurs non-nuls de V sous la relation de proportionnalité scalaire : v est proportionnel à w si v = cw avec c non-nul dans K . Cette idée remonte aux descriptions mathématiques de la perspective. Si le corps K est celui des nombres réels, et V a pour dimension n, alors l’espace projectif P(V) - que l'on peut voir comme l’espace des droites passant par 0 dans V - porte une structure naturelle de variété lisse compacte de dimension n − 1. Il est aussi très symétrique, car tout automorphisme linéaire de V donne aussi une symétrie de P(V). Dans les exemples classiques, ces transformations sont des changements de perspective ou transformations projectives. Le groupe de ces symétries est le quotient du groupe général linéaire de V par le sous groupe des multiples non-nuls de l’identité.

Avantage pour la considération des infinis

L’utilisation d’espaces projectifs rend rigoureux la notion de droite à l’infini (où les droites parallèles se rencontrent), ou bien de plan à l’infini pour trois dimensions. On peut choisir arbitrairement un plan dans l'espace projectif comme plan à l’infini. De cette manière, les idées géométriques introduites par Poncelet et d’autres deviennent une partie de la théorie fondée sur l’algèbre linéaire. La partie d’un espace projectif qui n'est pas à l’infini est appelé espace affine ; mais les symétries de P(V) ne respectent pas cette division. L’utilisation d’une base de V permet, si besoin est, l’introduction de coordonnées homogènes pour l’exécution des calculs concrets. L’utilisation d’espaces vectoriels sur le corps des nombres complexes fait apparaître des variétés différentes, également utilisées par les géomètres. Leur utilisation permet d'obtenir une bonne théorie de l'intersection pour les variétés algébriques.

Concrètement

- On obtient un espace projectif en ajoutant une coordonnée supplémentaire à celle d'un espace ordinaire; exemple : trois pour un espace à deux dimensions; quatre pour un espace à trois dimensions; etc. Ainsi le point de coordonnées (x,y,z) en 3D aura en représentation projective les coordonnées (x,y,z,1). Le point à l'infini de l'axe des x les coordonnées (1,0,0,0).
- Cette disposition permet d'éviter des traitements particuliers pour les points à l'infini (qui sont ceux dont la quatrième coordonnée est 0).
- Les systèmes de traitement graphique GL et OpenGL, de SGI, utilisent des espaces projectifs pour représenter les informations spatiales en ordinateur.

Point amusant

Toute variété kählérienne à courbure nulle et à courbure scalaire positive est isomorphe au projectif complexe, selon une communication rendue publique par l'Académie des Sciences dans les années 1970.

Voir aussi

- Droite projective
- Plan projectif, Plan projectif réel, Plan projectif complexe
- Espace projectif complexe
- Transformation projective
- Groupe linéaire projectif
- Espace projectif Hilbert
- Représentation projective

Espace vectoriel

Catégorie:Algèbre linéaire En mathématiques, le concept d'espace vectoriel est lié à la généralisation des vecteurs géométriques.

Définition

Un espace vectoriel E sur un corps (commutatif)

\mathbb

ou, plus précisément, (

\mathbb

, + , • ) , est un ensemble muni de deux lois, l'une interne notée « + » (attention à ne pas la confondre avec la première loi du corps

\mathbb

) , et l'autre externe notée « • », qui vérifient les propriétés suivantes, appelées aussi axiomes :
- ( E , + ) est un groupe commutatif, c'est-à-dire :
- la loi « + » est associative : ::

\forall\, \vec u \in E , \ \forall\, \vec v \in E , \ \forall\, \vec w \in E , \ ( \vec u + \vec v ) + \vec w = \vec u + ( \vec v + \vec w ) \,

- la loi « + » est unifère, elle a un élément neutre : ::

\exists\, \vec 0 \in E , \ \forall\, \vec u \in E , \ \vec 0 + \vec u = \vec u + \vec 0 = \vec u \,

- la loi « + » est symétrisable, tout élément de E a un opposé : ::

\forall\, \vec u \in E , \ \exists\, (- \vec u) \in E\, /\, \ \vec u + (-\vec u) = (-\vec u) + \vec u = \vec 0 \,

- la loi « + » est commutative : ::

\forall\, \vec u \in E , \ \forall\, \vec v \in E , \ \vec u + \vec v = \vec v + \vec u \,

- la loi externe « • » est une application

\mathbb \times E \to E,\, (\lambda,\, \vec u) \mapsto \lambda \cdot \vec u

(on note aussi

\lambda\, \vec u

).
:Elle permet à

\mathbb

d'opérer sur E, selon les quatre axiomes suivants :
- l'élément unité « 1 » du corps

\mathbb

est neutre à gauche pour la loi « • » : ::

\forall\, \vec u \in E , \ 1 \cdot \vec u = \vec u \,

- la loi « • » est distributive à gauche par rapport à l'addition de E : ::

\forall\, \lambda \in \mathbb , \ \forall\, \vec u \in E , \ \forall\, \vec v \in E , \ \lambda \cdot ( \vec u + \vec v ) = ( \lambda \cdot \vec u ) + ( \lambda \cdot \vec v ) \,

- la loi « • » est exodistributive à droite par rapport à l'addition du corps

\mathbb

: ::

\forall\, \lambda \in \mathbb , \ \forall\, \mu \in \mathbb , \ \forall\, \vec u \in E , \ ( \lambda + \mu ) \cdot \vec u = ( \lambda \cdot \vec u ) + ( \mu \cdot \vec u ) \,

- la loi « • » est exoassociative par rapport à la multiplication du corps

\mathbb

( elle l'« importe » dans l'espace vectoriel) : ::

\forall\, \lambda \in \mathbb , \ \forall\, \mu \in \mathbb , \ \forall\, \vec u \in E , \ ( \lambda \times \mu ) \cdot \vec u = \lambda \cdot ( \mu \cdot \vec u ) \,

On appelle les éléments de

\mathbb K

des scalaires, par opposition aux éléments de E, appelés vecteurs ; en particulier,

\vec 0

est le vecteur nul. Étant donnés un scalaire

\ \lambda

et un vecteur

\vec u

, le vecteur

\lambda \cdot \vec u

, souvent noté

\lambda\, \vec u

, est appelé produit de ce scalaire et de ce vecteur. Remarque : la loi « • » devrait en réalité vérifier 6 axiomes : 3 pour régler ses rapports avec les 3 autres lois impliquées, et 3 pour régler son comportement vis-à-vis de leurs 3 éléments neutres. Cependant, seuls quatre de ces six axiomes sont indépendants entre eux. Les deux « axiomes » suivants se déduisent en fait des précédents :
- l'élément zéro « 0 » du corps

\mathbb

est exoabsorbant à gauche pour la loi « • » : ::

\forall\, \vec u \in E , \ 0 \cdot \vec u = \vec 0 \,

- l'élément neutre de l'addition vectorielle est absorbant à droite pour la loi « • » : ::

\forall\, \lambda \in \mathbb , \ \lambda \cdot \vec 0 = \vec 0 \,

Notations : on a désigné ci-dessus les vecteurs par des lettres latines surmontées d'une flèche. Cette notation, héritée du calcul vectoriel élémentaire (vecteurs du plan ou de l'espace), n'est pas usuelle en algèbre linéaire, compte tenu de la grande diversité des situations. En effet, on verra que les vecteurs peuvent être des applications, des polynômes, des matrices, etc. qu'il n'est pas habituel de noter ainsi. On abandonne donc cette notation dans la suite de l'article. On désignera le plus souvent les vecteurs par des minuscules latines (u, v, etc.) et les scalaires par des minuscules grecques (α, β, λ, etc.). En particulier, on notera 0 le vecteur nul d'un espace vectoriel E (il n'y a pas de risque de confusion avec le scalaire nul) ; si l'on tient à faire la distinction, on pourra désigner par

0_E

le vecteur nul de E. Terminologie : un espace vectoriel sur

\mathbb

(respectivement : sur

\mathbb

, sur

\mathbb

) sera également appelé espace vectoriel rationnel (respectivement : espace vectoriel réel, espace vectoriel complexe). Quelques propriétés élémentaires : soient un scalaire

\ \lambda

et deux vecteurs

u,\, v

de E :
-

\ (-1)\, u = -u

- lorsque

\ \lambda \neq 0

\ v = \lambda\, u \iff u = \frac\, v

- si

\ \lambda\, u = 0_E

, alors

\ \lambda =  0

ou (inclusif)

\ u = 0_E

Exemples

- Le corps

\mathbb

lui-même, muni de sa loi d'addition et de multiplication par un scalaire.
- neutre pour l'addition : 0
- Le produit cartésien

\mathbb^n

(ensemble des n-listes ou n-uplets d'éléments de

\mathbb

) muni des lois
-

+:((x_1,...,x_n),(y_1,...,y_n))\in\mathbb^n\times\mathbb^n \mapsto (x_1+y_1,...,x_n+y_n)

\cdot:(\lambda,(y_1,...,y_n))\in\mathbb\times\mathbb^n \mapsto (\lambda\, y_1,...,\lambda\, y_n)

- neutre pour l'addition :

(0,...,0)

, la n-liste dont tous les éléments sont nuls
- l'ensemble

\mathbb[X]

des polynômes à coefficients dans

\mathbb

. Les lois «+» et «.» sont définies par : :si

P=\sum_^a_k X^k

Q=\sum_^b_k X^k

\ p\leq n

:
-

+:(P,Q)\in\mathbb[X] \times \mathbb[X] \mapsto P+Q=\sum_^(a_k+b_k) X^k

\cdot:(\lambda,Q)\in\mathbb \times \mathbb[X] \mapsto \lambda\, Q=\sum_^(\lambda\, b_k) X^k

- neutre pour l'addition : le polynôme nul, celui dont tous les coefficients sont nuls
- l'ensemble

\mathcal_(\mathbb)

des matrices à n lignes et p colonnes. Les lois «+» et «.» sont définies par : : si

\ A=(a_)

\ B=(b_)

:
-

+:(A,B)\in\mathcal_(\mathbb) \times \mathcal_(\mathbb) \mapsto A+B=(a_+b_)

\cdot:(\lambda,B)\in\mathbb \times \mathcal_(\mathbb) \mapsto \lambda\, B=(\lambda\, b_)

- neutre pour l'addition : la matrice nulle, celle dont tous les coefficients sont nuls
- l'ensemble

\mathcal = E^D

des applications définies sur un ensemble quelconque (non vide) D, et à valeurs dans un espace vectoriel E sur

\mathbb

. Les lois «+» et «.» sont définies par : : si

\ f \in \mathcal

\ g \in \mathcal

\ \lambda \in \mathbb

, on pose pour tout

\ x \in D

\ s(x) = f(x) + g(x)

\ p(x) = \lambda\, f(x)

:
-

+:(f,g)\in \mathcal \times \mathcal \mapsto f+g=s

\cdot:(\lambda,f)\in\mathbb \times \mathcal \mapsto \lambda\, f=p

- neutre pour l'addition : l'application nulle, celle qui envoie tout élément de D sur le vecteur nul de E

Sous-espaces vectoriels

Combinaisons linéaires

Soient

(\lambda_i)_

une famille de scalaires tous nuls, sauf un nombre fini d'entre eux, et

(x_i)_

une famille de vecteurs de E. La combinaison linéaire de la famille de vecteurs

(x_i)_

ayant pour coefficients

(\lambda_i)_

est le vecteur de E noté

\sum_\lambda_i\, x_i

, égal par définition à

\sum_\lambda_i\, x_i

, où

\ J = \left\

(l'ensemble I peut fort bien être infini ; mais J est fini par hypothèse, ce qui donne un sens à la définition, puisqu'on ne sait définir la somme que pour un nombre fini de vecteurs. Lorsque les coefficients sont tous nuls, on convient que la combinaison linéaire est nulle). Cas particulier usuel : si I est un ensemble fini à m éléments (m ≥ 1), par exemple l'ensemble des entiers naturels compris entre 1 et m, les combinaisons linéaires sont les vecteurs pouvant s'écrire :

\sum_^m \lambda_i\, x_i

, ou encore

\lambda_1\, x_1 + \cdots + \lambda_m\, x_m

. Un espace vectoriel E est par définition stable par combinaisons linéaires (toute combinaison linéaire de vecteurs de E est un vecteur de E).

Définition

Soit E un

\mathbb K

-espace vectoriel et F un sous-ensemble non vide de E . On dit que F est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si : :les lois « + » et « • » peuvent être induites sur F, et, muni de ces lois induites, F est un

\mathbb K

-espace vectoriel.

Propriété fondamentale

Le sous-ensemble F est un

\mathbb K

-sous-espace vectoriel de E ssi :
-

F \neq \emptyset \,

;
-

\forall\, u \in F , \ \forall\, v \in F , \ u + v \in F \,

;
-

\forall\, \lambda \in \mathbb , \ \forall\, u \in F , \ \lambda\, u \in F \,

. Ceci équivaut à :
-

F \neq \emptyset \,

;
-

\forall\, u \in F, \ \forall\, v \in F, \ \forall\, \lambda \in \mathbb, \ \lambda\,  u + v \in F\,

. En d'autres termes, F est un sous-espace vectoriel de E si et seulement s'il n'est pas vide et est stable par combinaisons linéaires. Nota : dans tout espace vectoriel E non réduit à

\ \

, il y a au moins deux sous-espaces vectoriels. Ce sont

\ \

et E lui-même : on les appelle les deux sous-espaces vectoriels triviaux. Remarque : un sous-espace vectoriel F de E contient nécessairement le vecteur nul

\ 0_E

de E (en effet, comme F est non vide, il existe au moins un élément

\ u_0

de F ; alors, pour tout

\ \lambda

dans

\ \mathbb

\lambda\, u_0

appartient à F ; le choix

\ \lambda = 0

donne

0_E = 0 \cdot u_0 \in F

). C'est pourquoi, lorsqu'il s'agit de montrer qu'un sous-ensemble F de E est un sous-espace vectoriel de E, on vérifie que F n'est pas vide en s'assurant qu'il contient le vecteur nul.

Intersection de deux sous-espaces vectoriels

Propriété

Soient

F_1\quad

F_2\quad

deux sous-espaces vectoriels de E. Alors :
-

F_1 \cap F_2

est un sous-espace vectoriel de E .

Somme de deux ou plusieurs sous-espaces vectoriels

Définition

Soient

F_1\quad

F_2\quad

deux sous-espaces vectoriels de E. On définit le sous-ensemble suivant de E : :

F_1 + F_2 = \left\

Propriété et définition

F_1 + F_2\quad

est un sous-espace vectoriel de E contenant à la fois

F_1 \quad

F_2\quad

. On l'appelle somme de

F_1\quad

F_2\quad

.
- Si F est un sous-espace vectoriel de E contenant à la fois

F_1 \quad

F_2\quad

, alors

F_1 + F_2 \subset F

. :C'est pourquoi on dit que

F_1 + F_2\quad

est le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant

F_1 \cup F_2

. Cela équivaut à :
-

F_1 + F_2\quad

est l'intersection de tous les sous-espaces vectoriels de E contenant

F_1 \cup F_2

. Remarque : la réunion de deux sous-espaces vectoriels n'est pas, en général, un sous-espace vectoriel ; pour qu'elle le soit, il faut et il suffit que l'un des deux soit inclus dans l'autre.

Généralisation

Soient

F_1,\, F_2,\, \dots, F_m

m sous-espaces vectoriels de E. On définit le sous-ensemble suivant de E : :

\sum_^m F_i = \left\

. :C'est l'ensemble des vecteurs de E qui admettent au moins une décomposition en somme de vecteurs appartenant respectivement aux sous-espaces vectoriels

F_1,\, F_2,\, \dots, F_m

(si cette décomposition est de plus unique, la somme des sous-espaces est dite directe). Dès lors :
-

\sum_^m F_i

est un sous-espace vectoriel de E contenant à la fois

F_1,\, F_2,\, \dots, F_m

. On l'appelle somme de ces sous-espaces.
- Si F est un sous-espace vectoriel de E contenant à la fois

F_1,\, F_2,\, \dots, F_m

, alors

\sum_^m F_i \subset F

. :On dit de même que

\sum_^m F_i

est le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant

F_1 \cup F_2 \cup \cdots \cup F_m

Sous-espace vectoriel engendré

Définition

Soit

A \subset E

une partie quelconque non vide de E. On définit le sous-ensemble suivant de E : :

\mbox\,(A) = \left\

. :(ainsi,

\mbox\,(A)

est par définition l'ensemble des combinaisons linéaires d'éléments de A).

Propriété

Soient A et B deux parties de E.

- L'ensemble

\mbox\,(A)

est un sous-espace vectoriel de E, et il contient A.
- Si F est un sous-espace vectoriel de E contenant A, alors

\mbox\,(A) \subset F

. : C'est pourquoi on dit que

\mbox\,(A)

est le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant A. :On l'appelle sous-espace vectoriel de E engendré par A. Nota : considérons l'application

\varphi : \mathcal(E) \to \mathcal(E), A \mapsto \mbox\,(A)

, où

\mathcal(E)

désigne l'ensemble des parties de E. On désigne par A et B deux parties quelconques de E. Il résulte de la propriété précédente que :
- L'application

\varphi

est croissante : si

A \subset B

, alors

\mbox\,(A) \subset \mbox\,(B)

.
- L'application

\varphi

est extensive :

A \subset \mbox\,(A)

.
- L'application

\varphi

est idempotente :

\mbox((\mbox\,(A)) = \mbox\,(A)

: On dit alors que

\varphi

est une fermeture. Les sous-espaces vectoriels de E sont les points fixes de

\varphi

:
- Pour que A soit un sous-espace vectoriel de E, il faut et il suffit que

\mbox\,(A) = A

Propriété

Soient A et B deux parties de E. Alors :
-

\mbox\,(A) + \mbox\,(B) = \mbox\,(A \cup B)

Familles libres, familles génératrices, bases

Familles libres, familles liées

Définitions

- Une famille

\mathcal

d'éléments de E est dite libre (sur

\mathbb

) lorsque toute combinaison linéaire d'éléments de

\mathcal

à coefficients non tous nuls est non nulle, autrement dit lorsque la seule combinaison linéaire nulle d'éléments de

\mathcal

est celle dont tous les coefficients sont nuls ; on dit aussi dans ce cas que les vecteurs de la famille sont linéairement indépendants.
- Une famille d'éléments de E est dite liée lorsqu'elle n'est pas libre ; cela signifie qu'il existe une combinaison linéaire nulle des éléments de cette famille à coefficients non tous nuls (c'est ce qu'on appelle une relation de dépendance linéaire).

Propriété

- Une famille d'éléments de E est liée si et seulement si l'un de ses éléments peut s'exprimer comme combinaison linéaire des autres. :On peut donc interpréter la liberté d'une famille comme une condition de minimalité, puisqu'une famille liée est caractérisée par le fait d'avoir au moins un élément « redondant ».

Nota

- Il en résulte qu'une famille

\ (u_1,\, u_2)

de deux vecteurs de E est liée si et seulement s'il existe un scalaire

\ \alpha

tel que

\ u_2 = \alpha\, u_1

ou un scalaire

\ \beta

tel que

\ u_1 = \beta\, u_2

. On dit dans ce cas que les deux vecteurs sont colinéaires. :Autrement dit, une famille de deux vecteurs de E est libre si et seulement si ces vecteurs ne sont pas colinéaires.
- On prendra garde au fait que la propriété précédente ne s'étend pas à des familles ayant plus de deux éléments. Même si on ne peut pas y trouver deux vecteurs colinéaires, on ne peut pas affirmer que la famille soit libre.

Familles génératrices

Définition

- Une famille d'éléments de E est dite génératrice (de E) lorsque tout élément de E peut s'exprimer d'au moins une manière sous la forme d'une combinaison linéaire des éléments de cette famille. :C'est une condition de maximalité, car cela signifie que la famille porte en elle suffisamment d'information pour reconstituer tout l'espace.

Bases

Définition

- On appelle base de l'espace vectoriel E toute famille d'éléments de E libre et génératrice. :Une base est donc assez grande pour engendrer l'espace, mais pas trop pour ne pas faire apparaître de relations entre ses éléments.

Propriété et définition

- Une famille

\mathcal

d'éléments de E en est une base si et seulement si tout élément u de E s'exprime de manière unique comme combinaison linéaire des éléments de

\mathcal

.
- Les coefficients de cette combinaison linéaire sont alors appelés les composantes de u en base

\mathcal

. Nota : on démontre au moyen de l'axiome du choix que tout espace vectoriel non réduit à

\ \

admet au moins une base ; mais, en dehors du cas des espaces vectoriels de dimension finie (voir ci-dessous), on est le plus souvent dans l'incapacité d'expliciter une base.

Espaces vectoriels de dimension finie

Théorème de la dimension

- Si un espace vectoriel E admet une base ayant un nombre fini d d'éléments, alors toute base de E a ce même cardinal d.
- L'entier d est appelé la dimension de E, notée

\dim_ E

, ou s'il n'y a pas d'ambiguïté,

\dim E

. :On dit alors que E est un espace vectoriel de dimension finie (sur

\mathbb

), égale à d.
- On convient qu'un espace vectoriel réduit à

\ \

(et qui n'a donc pas de base) est de dimension finie, égale à 0.

Cas particuliers

- On appelle droite vectorielle tout espace vectoriel de dimension finie égale à 1.
- On appelle plan vectoriel tout espace vectoriel de dimension finie égale à 2.

Propriété

Un espace vectoriel E est de dimension finie si et seulement s'il admet une famille génératrice ayant un nombre fini d'éléments.

Propriété

Soit E un espace vectoriel de dimension finie (non nulle) égale à n. Alors :
- toute famille génératrice de E a au moins n éléments ; si une famille génératrice de E a n éléments, c'est une base de E (on dit que les bases sont les familles génératrices minimales)
- toute famille libre de E a au plus n éléments ; si une famille libre de E a n éléments, c'est une base de E (on dit que les bases sont les familles libres maximales).

Théorème de la base incomplète

Soient E un espace vectoriel de dimension finie n strictement supérieure à 1, et

\ (u_1, \dots, u_p)

une famille libre de vecteurs de E telle que

\ p < n

(autrement dit, une famille libre qui n'est pas une base : elle n'est pas maximale). Alors, il existe

\ n - p

vecteurs de E, qu'on peut noter

\ (u_, \dots, u_n)

, tels que la famille

\ (u_1, \dots, u_n)

soit une base de E. On dit qu'on a complété la famille libre

\ (u_1, \dots, u_p)

en une base de E.

Sous-espaces vectoriels en dimension finie

Soit E un espace vectoriel de dimension finie. Alors :
- tout sous-espace vectoriel F de E est de dimension finie, et dim F ≤ dim E
- si F est un sous-espace vectoriel de E tel que dim F = dim E, alors F = E. Nota : ce théorème fournit une méthode importante pour montrer que deux sous-espaces vectoriels de dimension finie F, G d'un même espace vectoriel E sont égaux. Il suffit pour cela de prouver que l'un des deux est inclus dans l'autre, et qu'ils ont la même dimension.

Formule de Grassmann

Soient E un espace vectoriel de dimension finie, et

F_1,\, F_2

deux sous-espaces vectoriels de E. Alors : :

\dim (F_1 + F_2) + \dim(F_1 \cap F_2) = \dim F_1 + \dim F_2

. Nota : les espaces vectoriels qui ne sont pas de dimension finie sont dits de dimension infinie (cf. les exemples en fin d'article). Pour qu'un espace vectoriel E soit de dimension infinie, il faut et il suffit qu'il existe une famille libre infinie d'éléments de E.

Espace dual

Voir Espace dual

Exemples d'espaces (et de sous-espaces) vectoriels

On note

\mathbb

un corps (commutatif).
- On a vu plus haut que l'ensemble

\mathbb^n

des n-listes (ou n-uplets) d'éléments de

\mathbb

est un espace vectoriel sur

\mathbb

.
:Si, pour tout entier k compris entre 1 et n, on définit la n-liste

\ e_k

dont tous les éléments sont nuls, sauf le k-ième, égal à 1, alors la famille

\mathcal = (e_1,\, \dots,\, e_n)

est une base de

\mathbb^n

, appelée base canonique.
:Tout vecteur

u = (x_1,\, \dots,\, x_n) \in \mathbb^n

se décompose dans cette base sous la forme

u = x_1\, e_1 + \cdots + x_n\, e_n

: les composantes de u en base canonique sont

x_1,\, \dots,\, x_n

. Ainsi, l'espace vectoriel

\mathbb^n

est de dimension finie égale à n. :En particulier, l'ensemble

\mathbb^n

des n-listes de réels est un espace vectoriel réel de dimension n.
- Considérons les quatre ensembles suivants : :L'ensemble

\mathbb R^

des suites réelles (les applications définies sur

\mathbb

, à valeurs dans

\mathbb

) :l'ensemble

\mathcal

des suites réelles convergentes :l'ensemble

\mathcal

des suites réelles qui convergent vers 0 :l'ensemble

\mathbb^

des suites réelles à termes tous nuls à partir d'un certain rang :On sait que

\mathbb R^

est un espace vectoriel réel, et l'on vérifie que les trois autres ensembles en sont des sous-espaces vectoriels ; on a les inclusions suivantes :

\mathbb^ \subset \mathcal \subset \mathcal \subset \mathbb R^

. :Ces quatre espaces vectoriels sont tous de dimension infinie : pour le justifier, il suffit de prouver que

\mathbb^

est de dimension infinie. :Pour cela, on définit, quel que soit

i \in \mathbb

, la suite

\ e_i

dont les termes (réels) sont tous nuls, à l'exception du terme d'indice i, égal à 1 : la famille

(e_i)_

est une famille libre infinie de vecteurs de

\mathbb^

(c'en est même une base) ; ceci établit la propriété annoncée.
- On a vu plus haut que l'ensemble

\mathbb[X]

des polynômes à coefficients dans

\mathbb

est un espace vectoriel sur

\mathbb

; la famille

(X^k)_

est une base, appelée base canonique, de cet espace vectoriel : les composantes d'un polynôme dans cette base sont ses coefficients. Ainsi, l'espace vectoriel

\mathbb[X]

est de dimension infinie. :Pour tout

n \in \mathbb

, l'ensemble

\mathbb_n[X]

des polynômes à coefficients dans

\mathbb

, et de degré inférieur ou égal à n, est un sous-espace vectoriel de

\mathbb[X]

, de dimension n + 1, car la famille

\ (X^0, \, \dots,\, X^n)

est une base de ce sous-espace vectoriel.
- On sait que l'ensemble des fonctions définies sur un intervalle I à valeurs dans

\mathbb

est un espace vectoriel réel ; l'ensemble des fonctions continues sur I à valeurs dans

\mathbb

, l'ensemble des fonctions dérivables sur I à valeurs dans

\mathbb

, en sont des sous-espaces vectoriels. :Ils sont tous de dimension infinie. En effet, pour tout

i \in \mathbb

, soit la fonction

\ e_i : I \to \R,\, x \mapsto x^i

; alors, la famille

(e_i)_

est une famille libre infinie de vecteurs appartenant à chacun des ces trois espaces vectoriels, ce qui établit la propriété annoncée.
- Soient

\mathbb

un corps (commutatif) et

\mathbb

un sous-corps. L'ensemble

\mathbb

, muni de l'addition des éléments de

\mathbb

et du produit par un élément de

\mathbb

, est un espace vectoriel sur

\mathbb

. Donnons-en deux exemples :
- l'ensemble

\mathbb

, muni de l'addition des complexes et du produit par un réel, est un espace vectoriel réel. La famille (1, i) est une base de cet espace vectoriel, puisque tout nombre complexe z s'écrit de manière unique z = x 1 + y i, où x, y sont deux réels ; l'espace vectoriel

\mathbb

est donc de dimension 2 sur

\mathbb

\dim_ \mathbb = 2

.
- l'ensemble

\mathbb

, muni de l'addition des réels et du produit par un rationnel, est un espace vectoriel rationnel. Il est de dimension infinie sur

\mathbb

: on va le prouver en montrant l'existence d'une famille infinie de réels qui est libre sur

\mathbb

. ::En effet, on sait qu'il existe dans

\mathbb

des nombres transcendants (tels que

\pi

ou la base

\mathrm

des logarithmes népériens) : ce sont par définition des réels qui ne sont racines d'aucun polynôme à coefficients rationnels autre que le polynôme nul. ::Si x est un réel transcendant, alors la famille infinie

\left(x^i\right)_

des puissances de x est libre sur

\mathbb

: dans le cas contraire, on pourrait trouver

n \in \mathbb

, et des rationnels

\alpha_0, \dots, \alpha_n

non tous nuls, tels que

\sum_^n \alpha_k\, x^k = 0

; cela signifierait que x est racine du polynôme non nul

P = \sum_^n \alpha_k\, X^k \in \mathbb[X]

, et contredirait la transcendance de x.

Voir aussi

- Vecteur
- Structure algébrique
- Application linéaire ja:ベクトル空間 ko:벡터 공간

Relation d'équivalence

La notion de relation d'équivalence sur un ensemble permet de mettre en relation des éléments qui sont similaires par une certaine propriété. On pourra ainsi regrouper ces éléments par « paquets » d'éléments qui se ressemblent, définissant ainsi la notion de classe d'équivalence, pour enfin construire de nouveaux ensembles en « assimilant » les éléments similaires à un seul et même élément. On aboutit alors à la notion d'ensemble quotient.

Définition

Définition formelle

Une relation d'équivalence

\mathcal R\,

dans un ensemble E est une relation binaire dans cet ensemble , réflexive , symétrique et transitive.
- C'est une relation binaire : c'est donc une somme disjointe ( E , E, G _R ), où G _R , le graphe de

\mathcal R\,

, est une partie de E² caractérisant la relation. En pratique , sauf ambiguïté sur l'ensemble dans lequel la relation est placée, on peut confondre celle-ci avec son graphe. Si x et y sont deux éléments de E, on dit que « y est image de x par

\mathcal R\,

» ou que « y est associé à x par

\mathcal R\,

» ou que « y correspond à x par

\mathcal R\,

» ssi le couple ( x , y ) appartient à G _R ; on note cela « x

\mathcal R\,

y » .
-

\mathcal R\,

est réflexive : tout élément de E est associé à lui-même :

\forall\ x \in E , x \mathcal R x \,

\mathcal R\,

est symétrique : tout élément de E est image de ses images : :

\forall\ ( x , y ) \in E^ , ( x \mathcal R y ) \Rightarrow ( y \mathcal R x ) \,

\mathcal R\,

est transitive : toute image d'une image d'un élément de E est directement image de cet élément : :

\forall\ ( x , y , z ) \in E^ , ( x \mathcal R y \wedge y \mathcal R z ) \Rightarrow ( x \mathcal R z ) \,

Définition équivalente

On peut aussi définir une relation d'équivalence comme une relation binaire réflexive et circulaire. Une relation binaire est circulaire ssi toute image d'une image d'un élément de E est antécédent de cet élément, c'est-à-dire si : :

\forall\ ( x , y , z ) \in E^ , ( x \mathcal R y \wedge y \mathcal R z ) \Rightarrow ( z \mathcal R x ) \,

Classe d'équivalence

Considérons un ensemble E muni d'une relation d'équivalence

\mathcal R\,

. La classe d'équivalence d'un élément x de E , notée «

\mathcal R

( x ) » , est alors l'ensemble des images de x par

\mathcal R\,

: :

\mathcal R ( x ) = \ \,

.
-

\mathcal R

( x ) est un sous-ensemble de E.
-

\mathcal R

( x ) n'est jamais vide, car elle contient toujours au moins x lui-même (

\mathcal R\,

est réflexive ).
- Inversement, tout élément de E appartient à au moins une classe d'équivalence : la sienne.
-

\mathcal R

( y ) =

\mathcal R

( x ) ssi y appartient à

\mathcal R

( x ).
- Inversement, si y est un élément de E n'appartenant pas à

\mathcal R

( x ) , alors l'intersection de

\mathcal R

( x ) et de

\mathcal R

( y ) est vide. On déduit de ce qui précède que l'ensemble des classes d'équivalence de E forme une partition de E. Inversement, toute partition d'un ensemble y définit une relation d'équivalence. On peut établir une bijection canonique entre les partitions d'un ensemble et les relations d'équivalence dans cet ensemble. Enfin, la restriction d'une relation d'équivalence à l'une de ses classes d'équivalence est une relation pleine.

Ensemble quotient

Définition

L' ensemble quotient de E par la relation d'équivalence

\mathcal R

, noté «

E / \mathcal R

» , est l'ensemble des classes d'équivalence de E suivant

\mathcal R

: :

E / \mathcal R = \ \,

L'ensemble quotient est donc un nouvel ensemble construit à partir de E et de

\mathcal R

. C'est un sous-ensemble de

\mathfrak P

( E ) , ensemble des parties de E. Remarque : on peut munir un univers d'une relation d'équivalence. On peut même y définir des classes d'équivalence, mais elles peuvent être elles-mêmes des univers, ce qui interdit l'existence d'un ensemble quotient dans ce cas ( exemple : la relation d'équipotence dans l'univers des ensembles ). L'ensemble quotient peut aussi être désigné comme « l'ensemble E quotienté par

\mathcal R

» ou « l'ensemble E considéré modulo

\mathcal R

». L'idée derrière ces appellations est de travailler dans l'ensemble quotient comme dans E , mais sans distinguer entre eux les éléments équivalents selon

Exemple

- la relation d'égalité dans un ensemble E est une relation d'équivalence. Son ensemble quotient est l'ensemble des singletons d'éléments de E.

Surjection canonique

Il existe une surjection canonique s de E dans l'ensemble quotient, qui à chaque élément de E associe sa classe d'équivalence : : s : E

\longrightarrow E / \mathcal R \,

x \longmapsto \ A = \mathcal R ( x ) \,

s est une application puisque tout élément de E appartient à une et une seule classe d'équivalence; s est surjective puisqu'aucune classe d'équivalence n'est vide. s n'est pas en général injective, mais on a : :

\forall x \in E , \forall y \in E , \, [ s ( x ) = s ( y ) ] \Leftrightarrow [ \mathcal R ( x ) = \mathcal R ( y ) ] \Leftrightarrow [ x \mathcal R y ] \,

Cette surjection est ainsi une bijection ssi la relation d'équivalence concernée n'est autre que la relation d'égalité.

Structure quotient

Grâce à la surjection s , si E est muni d'une structure, il est possible de transférer cette dernière à l'ensemble quotient, sous réserve que la structure soit compatible avec la relation d'équivalence, c'est-à-dire que deux éléments de E se comportent de la même manière vis-à-vis de la structure s'ils appartiennent à la même classe d'équivalence. L'ensemble quotient est alors muni de la structure quotient de la structure initiale par la relation d'équivalence. Par exemple, si E est muni d'une structure de groupe, il est possible, dans certains cas, de parler du groupe quotient

E / \mathcal R

Exemples

- L'égalité sur un ensemble quelconque de nombres (entiers, rationnels, réels, complexes) est une relation d'équivalence.
- Le parallélisme sur un ensemble de droites (dans un plan) est une relation d'équivalence.
- Si

f \,

est une application d'un ensemble E dans un ensemble F, alors la relation

\mathcal R

définie par : ::

\forall\ ( x , y ) \in E^ , [ x \mathcal R y ] \Leftrightarrow [ f( x) = f( y) ] \,

: est une relation d'équivalence sur E. Ainsi toute application induit une relation d'équivalence sur son ensemble de départ. :

f \,

est une injection ssi la relation induite dans l'ensemble de départ est la relation d'égalité. Nous avons alors : ::

\forall\ ( x , y ) \in E^ , [ f( x) = f( y) ] \Leftrightarrow [ x = y ] \,

- Le fait d'être égales presque partout pour des fonctions sur un espace mesuré est une relation d'équivalence qui joue un rôle important dans la théorie de l'intégration de Lebesgue. En effet deux fonctions égales presque partout ont le même comportement dans cette théorie.

Voir aussi

- Relation binaire
- Relation d'ordre
- Fonction et application
- Structure algébrique Catégorie:Théorie des ensembles Catégorie:Algèbre abstraite ja:同値関係 ko:동치관계

Droite projective

En géométrie, une droite projective est un espace projectif de dimension 1. Un espace vectoriel de dimension 2 y est associé. Plus formellement, une droite projective sur un corps

K

, dénotée

\mathbb P ^1(K)

peut être définie comme l'ensemble des sous-espaces à une dimension de l'espace vectoriel à 2 dimensions

K^2

. On peut concevoir la droite projective comme la droite des

K

à laquelle on ajoute un point à l'infini. La notion de droite projective se généralise pour les anneaux associatifs.

Coordonnées homogènes

En coordonnées homogènes, un point sur la droite projective

\mathbb P ^1(K)

est une paire de la forme: :

[x_1 : x_2]

où

x_1, x_2 \in K

ne sont pas tous deux zéro. Deux telles paires sont dites égales si elle diffèrent que par un facteur non-nul λ: :

[x_1 : x_2] = [\lambda x_1 : \lambda x_2].

La droite des

K

est identifiée au sous-ensemble de

\mathbb P ^1(K)

donné par: :

\.

Ce sous-ensemble couvre tous les points dans

K

, excepté le point à l'infini : :

\infty = [1 : 0].

Exemples

Nombres réels

Si le corps

K

est l'ensemble des nombres réels, alors la droite projective réelle est obtenue en projetant les point de

\mathbb R^2

sur le cercle unitaire et en posant comme égaux les points diamétralement opposés. En termes de théorie des groupes, ceci équivaut à prendre le quotient avec le sous-groupe

\

. En termes de topologie, c'est un cercle. On peut le concevoir en imaginant les + ∞ et -∞ des nombres réels collés ensemble pour ne former qu'un seul point à l'infini, ∞, dit point à l'infini dans la direction de la droite réelle. Le résulat est donc un cercle. Il est à noter que la droite projective réelle n'est pas équivalente à la droite réelle achevée, où une distinction est faite entre + ∞ et -∞.

Nombres complexes

Si le corps

K

est l'ensemble des nombres complexes, alors l'ajout d'un point à l'infini au plan complexe

\mathbb C^2

résulte en un espace qui, topologiquement, est une sphère. La droite projective complexe est aussi connue sous le nom de sphère de Riemann ou sphère de Gauss. C'est l'exemple le plus simple de surface de Riemann. Ceci explique que la droite projective complexe est d'usage commun en analyse complexe, en géométrie algébrique et en théorie des variétés complexes.

Corps finis

Si le corps

K

est fini et a

q

éléments, alors la droite projective a :

q+1

éléments. On peut écrire tous ses sous-corps, sauf un, sous la forme: :

y = ax

où

a \in K

. Le cas restant est celui de la droite

x=0

. Catégorie:Géométrie projective

Plan projectif

La notion de plan projectif a deux sens distincts, qui se recoupent.

Géométrie algébrique

Un plan projectif en géométrie algébrique est une variété, aussi appelée espace projectif de dimension 2. On peut associer un plan projectif à chacun des corps suivants : les nombres réels, les nombres complexes, les quaternions et les octonions.

Géométrie combinatoire

En géométrie combinatoire, un plan projectif d'ordre n est un ensemble de points et de droites (c'est-à-dire de groupements de points qu'on appellera droites) tels que :
- Il y a n²+n+1 points et autant de droites.
- Chaque droite possède n+1 points et chaque point appartient à n+1 droites exactement.
- Deux droites distinctes se rencontrent en un seul point.
- Deux points distincts se rencontrent en une seule droite. On peut construire de tels objets en prenant les points dans un corps fini du plan projectif au sens de la géométrie algébrique. Le nombre n est alors une puissance d'un nombre premier. Catégorie:géométrie projective

Axiomes et plans projectifs

On considère généralement divers niveaux dans les axiomes de plans projectifs, ou PP: le PP d'incidence, le PP de Pappus, le PP de Désargues, etc.

Plan projectif

La notion de plan projectif a deux sens distincts, qui se recoupent.

Géométrie algébrique

Géométrie combinatoire

Axiomes et plans projectifs

On considère généralement divers niveaux dans les axiomes de plans projectifs, ou PP: le PP d'incidence, le PP de Pappus, le PP de Désargues, etc.

Rapport anharmonique

catégorie:Géométrie catégorie:Géométrie projective Le rapport anharmonique ou birapport est un outil puissant dans la géométrie, en particulier la géométrie projective. Le nom de rapport anharmonique a été crée par Michel Chasles mais la notion lui est bien antérieure.

Rapport anharmonique de quatre points

Si ABCD sont quatre points distincts d'une droite (d) on appelle birapport ou rapport anharmonique de (A,B) et (C,D) le rapport des mesures algébriques suivant:

\frac

Image:birapport1.png Les divisions sont supposées régulières. Le birapport de C,D par rapport à A, B est $\frac=\frac$ Image:birapport2.png Les divisions sont supposées régulières. Le birapport de C, D par rapport à A, B est -1/3

Propriétés

Ce rapport est indépendant du repère choisi sur la droite (d) et de l'unité de longueur choisie. Il est facile de voir que s'il on permutte, en même temps A/B et C/D , on ne modifie pas le rapport anharmonique. Ce rapport reste invariant pour de nombreuses transformations géométriques : isométrie, similitudes, transformation affine. Il reste aussi invariant pour des homographies comme la projection centrale, l'inversion, l'holographie. Si C est le barycentre de (A,a) et (B,b) et si D est celui de (A,a') et (B,b') alors le rapport anharmonique est :

\frac

Ce qui explique d'ailleurs qu'une transformation conservant les barycentres conserve aussi les rapports anharmoniques

Rapport anharmonique de quatre droites concourantes

right Un résultat important en géométrie projective stipule qu'une projection centrale conserve le rapport anharmonique . Il permet de dire dans le figure ci-jointe que les rapports anharmoniques de (A,B;C,D) et (A',B';C'D') sont égaux quelles que soient les droites qui portent la série des quatre points. (Une démonstration est réalisable en utilisant plusieurs fois le théorème de Thalès). Puisque ce rapport est indépendant de la sécante aux quatre droites, ce rapport ne dépend que de la position relative des quatre droites. Il est alors appelé rapport anharmonique des droites :

(d_A, d_B;d_C;d_D)

Division harmonique

Lorsque le rapport anharmonique est égal à -1, on dit que les quatre points sont en division harmonique. Le point D est alors appelé le conjugué de C par rapport à A et B. On peut prouver que C est aussi le conjugué de D par rapport à ces même points. Exemple 1: la suite harmonique Le point d'abscisse 1/3 est le conjugué du point d'abscisse 1 par rapport aux points d'abscisse 0 et 1/2. le point d'abscisse 1/4 est le conjugué de celui d'abscisse 1/2 par rapport aux points d'abscisse 0 et 1/3. De manière générale, le point d'abscisse 1/(n+2) est le conjugué du point d'abscisse 1/n par rapport aux points d'abscisse 1/(n+1) et 0 On définit ainsi la suite de nombres 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... appelée suite harmonique que l'on retrouve en musique pour définir la gamme harmonique Image:suite harmonique.png Exemple 2 : moyenne harmonique Le conjugué de 0 par rapport à x et y est la moyenne harmonique de x et de y : :

\frac

Exemple 3 : barycentre Si C est le barycentre de (A,a) et (B,b) alors son conjugué par rapport à A et B est le barycentre de (A,-a) et (B,b) Exemple 4 : bissectrices Dans un triangle ABC, les bissectrices intérieure et extérieure issues de C coupent la droite (AB) en deux point D et E tels que A, B, D, E forment une divion harmonique Image:bissectrice_division_harmonique.png Exemple 5 : théorème d'Apollonius L'ensemble des points M du plan tels que le rapport MA/MB est constant est un cercle de diamètre [CD] tel que A, B, C, D forment une division harmonique

Homographie

- En linguistique, l'homographie est cas particulier d'homonymie
- En mathématique, l'homographie est une fonction homographique

Topologie

ko:위상수학 ja:位相幾何学 simple:Topology catégorie:mathématiques
- Le terme « topologie » a deux acceptions en mathématiques : :- d’une part, il désigne la « science topologique » ; :- d’autre part, il peut être synonyme de « structure topologique ». Dans la suite de cet article, « topologie » signifiera exclusivement « science topologique ».

Présentation

La topologie, comme l’indique son étymologie, est l’étude des lieux (en grec, topos signifie lieu, et logos signifie science, étude). Elle s’intéresse donc à définir ce qu’est un lieu (appelé aussi espace) et quelles peuvent en être les propriétés (par exemple le fait d’être d’un seul bloc, que ce bloc soit spongieux ou au contraire très compact). La topologie s’intéresse plus précisément aux espaces topologiques et aux applications qui les lient, dites continues. Elle permet de classer ces espaces, notamment les nœuds, entre autres par leur dimension (qui peut être aussi bien nulle qu’infinie). Elle s’intéresse aussi à leurs déformations. En analyse, grâce aux informations qu’elle fournit sur l’espace considéré, elle permet d’obtenir un certain nombre de résultats (existence et/ou unicité de solutions d’équations différentielles, notamment). Les espaces métriques ainsi que les espaces vectoriels normés sont des exemples d’espaces topologiques.

Histoire

L’origine de la topologie est l’étude de la géométrie dans les cultures antiques. Le travail de Leonhard Euler datant de 1736 sur le problème des sept ponts de Königsberg est considéré comme l’un des premiers résultats de géométrie qui ne dépend d’aucune mesure, c’est-à-dire l’un des premiers résultats topologiques. Henri Poincaré publia Analysis Situs en 1895, introduisant les concepts d'homotopie et d'homologie. Maurice Fréchet, unifiant les travaux sur les espaces de fonctions de Cantor, Volterra, Arzelà, Hadamard, Ascoli et d’autres, introduit le concept d'espace métrique en 1906. En 1914, Felix Hausdorff, en généralisant la notion d’espace métrique, inventa le terme d'« espace topologique » et définit ce qui s'appelle aujourd'hui l'espace de Hausdorff. Finalement, une autre légère généralisation en 1922, par Kuratowski, donna le concept actuel d'espace topologique. Le terme « topologie », fut introduit en allemand en 1847 par Johann Benedict Listing dans « Vorstudien zur Topologie ».

Voir aussi

- Espace topologique
- Espace métrique

Espace dual

ja:双対ベクトル空間 Catégorie:Algèbre linéaire L'espace dual d'un espace vectoriel E est l'ensemble des formes linéaires sur E. La structure d'un espace et celle de son dual sont très liées. La fin de cet article présente quelques résultats sur les liens entre espace dual et hyperplans, ce qui permet une compréhension « géométrique » de certaines propriétés des formes linéaires.

Définitions

Soient (K,+,x) un corps, E un K-espace vectoriel. On appelle forme linéaire sur E toute application linéaire de E vers K, c'est-à-dire toute application

\phi : E \to \mathbb \,\!

telle que :

\forall (x,y) \in E^2 , \forall \lambda \in \mathbb, \phi(\lambda x + y) = \lambda \phi(x) + \phi(y) \,\!

L'ensemble

\ \mathcal(E,\, \mathbb)

des formes linéaires sur E est un K-espace vectoriel, dit espace dual de E ; il est noté

E^ - \,\!

. Si

\phi \,\!

est un élément de

E^ - \,\!

x \,\!

un élément de

E\,\!

, on écrit parfois

<\phi,x> \,\!

pour

\phi(x) \,\!

. Cette notation est dite crochet de dualité.

Exemples

Cas d'un espace préhilbertien. Si l'espace vectoriel E est un espace préhilbertien, c'est-à-dire muni d'un produit scalaire, on a un moyen naturel de « plonger »

E\,\!

dans

E^ - \!

, c'est-à-dire d'associer à chaque élément de E un élément du dual, et ce de manière à former un isomorphisme : à chaque élément

x \,\!

de E on associe la forme linéaire

\phi_x : E \to \mathbb, y \mapsto \,\!

. Alors l'application

f : E \to E^ - , x \mapsto \phi_x \,\!

est une application linéaire injective, donc l'espace E est isomorphe au sous-espace

f(E) \,\!

E^ - \,\!

Dualité en dimension finie

Si l'espace E est de dimension finie

n \,\!

, alors l'espace dual

E^ - \,\!

, isomorphe à E, est lui aussi de dimension

n \,\!

. Obtention de ce résultat par construction de base « duale »: Si

\mathcal = (e_i)_ \,\!

est une base, on peut définir les formes coordonnées : pour chaque

i \in I \,\!

la forme coordonnée

e_i^ -  \,\!

associe à chaque vecteur de E sa i-ième coordonnée en base

\mathcal \,\!

\forall x \in E \, \!

on écrit

x = \sum_ x_j e_j \,\!

et alors

e_i^ - (x) = x_i \,\!

. Théorème:

\mathcal^ -  = (e_i^ - )_ \,\!

est une base de E
- dite base duale de la base

\mathcal \,\!

, et toute forme linéaire

\phi \,\!

sur E, s'écrit alors :

\phi = \sum_ \phi(e_i) e_i^ -  \,\!

Puisque

\mathcal^ -  \,\!

est une base de

E^ - \,\!

, on en déduit le résultat annoncé plus haut:

\dim E = \dim E^ -  \,\!

. En dimension finie, un espace a donc la même dimension que son espace dual.

Orthogonal

E est un espace vectoriel quelconque (on ne suppose pas de dimension finie). Si A est un sous-espace de

E\,

, on définit l'orthogonal de A dans

E^ - \,

par :

A^\circ=\ \,

Si B est un sous-espace de

E^ - \,

, on définit l'orthogonal de B dans

E \,

par :

B^\bot=\ \,

Il ne faut pas confondre la notion d'orthogonal d'un sous-espace dans la théorie de dualité avec l'orthogonalité dans la théorie des espaces euclidiens.

Représentation des sous-espaces

Ce paragraphe présente une application très importante de l'étude de l'espace dual: la représentation d'un sous-espace comme intersection d' hyperplans. On se restreint ici au cas d'un espace vectoriel de dimension finie. Cadre : E est un K-espace vectoriel de dimension finie n. Soit F un sous-espace de dimension p (distinct de E) ; on a donc p < n. Alors, il existe q = n - p formes linéaires indépendantes

\phi_1, ..., \phi_q \, \!

telles que :

F=\bigcap_^q \ker \phi_i \, \!

c'est-à-dire

\forall x \in E, (x \in F \Leftrightarrow \phi_1(x)=0, ... , \phi_q(x)=0) \, \!

Ce théorème généralise les résultats élémentaires connus en dimension 2 ou 3 sur la représentation de droite ou de plan par des équations. En particulier, dans un espace vectoriel de dimension 3, l'intersection de 2 plans indépendants est une droite. Nota : il ne faut pas confondre la notion de droite ou de plan dans un espace affine (qui correspond à l'intuition géométrique) et celle, utilisée ici, de droite vectorielle ou de plan vectoriel. On appelle droite vectorielle un sous-espace de dimension 1, et plan vectoriel un sous-espace de dimension 2. On peut donc représenter un sous-espace F de dimension p par q équations linéaires indépendantes, où