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Logique Modale

Logique modale

La logique modale est une logique à laquelle on a ajouté des modificateurs, qu’on pourrait comprendre en grammaire comme des adverbes. Par exemple, je peux modifier la proposition « Il pleut » comme ceci :
- Il est possible qu’il pleuve,
- Il est démontré qu’il est faux qu’il pleuve,
- Il n’est pas permis qu’il pleuve,
- Alice sait qu’il pleut. J’ai donc modifié cette proposition respectivement avec les modes possible, démontré que ne pas, n’est pas permis, Alice sait.
Différentes logiques modales
Il existe plusieurs types de logiques modales, dont les modes sont :
- classiques (ou aristotéliciens) :
- nécessaire, noté $\Box$
- contingent, noté $\neg \Box$
- possible, noté $\Diamond$
- impossible, noté $\neg \Diamond$
- épistémiques (relatifs à la connaissance) :
- connu par l'agent $i$ , noté $K_i$
- contestable
- exclu
- plausible
- connaissance commune du groupe $G$ d'agent, notée $C_G$
- déontiques (moraux) :
- obligatoire, noté O
- interdit, noté I
- permis, noté P
- facultatif, noté F
- temporels
- toujours, noté $\Box$
- un jour, noté $\Diamond$
- jamais, noté $\neg \Diamond$
- demain, noté X
- jusqu'à ce que, opérateur binaire noté U
- désormais, noté G
- un jour futur, noté F
- toujours dans le passé, noté H
- un jour passé, noté P
- Doxastique (sur les croyances)
- cru, noté B
- Contrefactuelle
- Si A était vrai, où l'on sait que A n'est pas vrai.
- Linéaire (fondement du calcul des séquents dûe Jean-Yves Girard, pour régler la duplication des ressources en logique)
- bien sûr noté !
- pourquoi pas noté ?.
- Dynamique (effet d'actions, notées a, sur des propositions)
- peut-être après a, noté $\langle a\rangle$
- sûrement après a, noté $[a]$ .
Logique modale classique
Il est clair, en logique classique, que nous pouvons exprimer les quatre opérateurs à l’aide d’un seul (ici la nécessité) et de la négation. Ainsi:
- impossible est $\square \neg$
- possible est $\neg \square \neg$ Une proposition nécessaire ne peut pas être fausse sans impliquer de contradiction, a contrario d’une proposition contingente qui peut impliquer une contradiction. La logique intuitionniste peut être construite sur la logique classique comme une logique modale.
Axiomes de logique modale
Chaque logique modale vient avec une série d'axiomes qui sont supposés refléter le sens de la modalité. Une logique modale est dite normale ou de Kripke ssi elle admet
- 1) la règle d'inférence de nécessitation: Si A est un théorème, alors $\Box A$ aussi.
- 2) l'axiome de distribution de Kripke: $\Box(A\supset B) \supset( (\Box A)\supset(\Box B))$ Certaines d'entre elles admettent les axiomes:
- D: $\Box P \supset \Diamond P$ soit la nécessité implique la possibilité
- T: $P \supset \Diamond P$ soit le fait implique la possibilité"

Modèles de la logique modale

Les modèles de Kripke, ou modèles de mondes possibles, donnent une sémantique simple au logiques modales. Le problème de la correspondance entre modèles et axiomatique est le suivant: quel axiome exprime une propriété de la relation d'accessibilité, et inversément?

Voir aussi

- Contingent
- Théorie Dezert-Smarandache Catégorie:Logique ja:様相論理学

Logique déontique

La logique déontique (du grec déontos : devoir) tente de formaliser les rapports qui existent entre les quatre alternatives d'une loi : l'obligation, l'interdiction,la permission et le facultatif.

Tableau des équivalences de la logique déontique

Soit 'a' une proposition et 'O', 'I', 'F' et 'P', quatre modalités définies ainsi : la première ligne de ce tableau se lit ainsi : « il est obligatoire de faire a », ce qui est équivalent à « il est interdit de ne pas faire a» ce qui est équivalent à « il n'est pas facultatif de faire a » ou encore « il n'est pas permis de ne pas faire a »
- principe de permission : P(a) v P(¬a)
- principe de distribution déontique : P(a v b) ≡ P(a) v P(b), ce qui peut aussi s'écrire sous la forme O(a ^ b) ≡ O(a) ^ O(b)
- Paradoxe de l'obligation dérivée
- Paradoxe de Ross

Liens externes

http://www.supinfo-projects.com/fr/2004/logique%5Fdeontique/2/ Catégorie:Logique

Logique temporelle

catégorie:Logique mathématique Les différentes logiques temporelles sont des logiques de propositions ; elles sont donc définies sur un ensemble de propositions atomiques P ou variables de propositions. Ces propositions atomiques sont combinées par un certain nombre de connecteurs logiques, dont les connecteurs classiques : et, ou, non, implication, ainsi que d'autres opérateurs que l'on appelle des modalités. La logique témporelle est donc une logique modale. Dans le cas de la logique temporelle linéaire (LTL), on ajoute les modalités suivantes.
- X : demain ou immédiatement après (à distinguer donc du don't care en logique classique noté aussi X)
- F : un jour
- G : toujours
- U : jusqu'à
- R : release Une formule de logique des propositions classique, comme par exemple la formule (a et b) ou c sur l'ensemble de propositions P=, associe un valeur de vérité, vrai ou faux, à chaque sous-ensemble de P. Par cette formule exemple, le sous-ensemble est faux, le sous-ensemble est vrai. Une formule de logique temporelle associe une valeur de vérité non pas à chaque partie de P, mais selon le type de logique, à chaque suite de parties de P ou à chaque arbre sur les parties de P. Une logique définie sur les suites est dite linéaire, tandis qu'une formule définie sur les arbres est dite branching logic ou logique à embranchements. Prenons le cas des logiques linéaires. Une telle logique associe donc une valeur de vérité, vrai ou faux, à chaque suite

V = (V_1,V_2,\ldots)

telle que chaque

V_i

soit une partie de P. Notons M une telle formule, nous avons : Image:Table LTL.png Intuitivement, si la suite V représente l'évolution dans le temps des différentes propositions de P, alors
- X(f) est vraie maintenant si f est vraie à partir de l'étape suivante,
- F(f) est vraie maintenant si f est vraie à au moins une étape ultérieure,
- G(f) est vraie maintenant si f est vraie à toutes les étapes suivantes y compris maintenant,
- f1 U f2 est vraie si f1 est vraie (y compris) jusqu'à ce que f2 soit vraie,
- f1 R f2 est vraie si f2 est vraie (y compris) jusqu'à ce que f1 soit vraie.

Exemple historique : latch et clamp

Dans les premières versions de fortran, les espaces hors libellés n'étaient pas significatifs, ce qui créait des difficultés à l'analyseur syntaxique : comment savoir si GOTO5 est le nom d'une variable (GOTO5=.FALSE.) ou un ordre de branchement à l'étiquette 5 ? Comment savoir si DO1I=1 est l'affectation à une variable ou le début d'un ordre de boucle ? On ne le saura qu'en lisant la suite de la ligne. Le compilateur effectuait donc ce qu'on nommait un latch : prendre une hypothèse, mais garder le contexte à tout hasard pour revenir en arrière en cas d'imprévu. Lorsque la lecture de la suite levait l'indétermination et que la prévision était bonne, on effectuait un clamp pour annuler le latch. Dans le cas contraire, on revenait au point de décision avec une information indiquant que la première hypothèse n'était pas la bonne. Ces techniques sont devenues inutiles à mesure que l'on a construit des langages plus logiquement et qu'on a mis à ces nouvelles normes les langages plus anciens.

Articles connexes

- Logique
- Lambda-calcul

Jean-Yves Girard

Né à Lyon en 1947, ancien élève de l'École normale d'Instituteurs de Lyon (1962), ancien élève de l'École normale supérieure de Saint-Cloud (1966), Jean-Yves Girard est un logicien, mathématicien et philosophe contemporain, directeur de recherche au CNRS à l'Institut de Mathématiques de Luminy. Jean-Yves Girard est médaille d'argent du CNRS en 1983, membre de l'Académie des sciences depuis 1994, membre de l'Académie européenne depuis 1995. On lui doit, entre autres, les dilatateurs dans la théorie des ordinaux, l'étude de la logique

\Pi_2^1

\Pi_n^1

, le Système F, la logique linéaire et la ludique. Il a écrit de nombreux livres et articles de vulgarisation (dont les montres à moutarde, œuvre polémique et des articles dans Pour la Science). Il est l'auteur du livre Proofs and Types http://www.cs.man.ac.uk/~pt/stable/Proofs+Types.html. Il prépare actuellement un cours sur la théorie de la démonstration qui rend compte des avancées dans ce domaine de la logique mathématique. http://iml.univ-mrs.fr/~girard/ Girard, J Girard, J Girard, J Girard, J

Sémantique axiomatique

catégorie:Informatique théorique La sémantique axiomatique est une approche basée sur la logique mathématique qui sert à prouver qu'un programme informatique est correct.

L'idée

Cette sémantique tend à considérer un programme comme un transformateur de propriétés logiques, c'est-à-dire que la signification donnée au programme est un ensemble de prédicats qui sont vérifiés par l'état de la machine (caractérisé par sa mémoire) qui a exécuté le programme, à condition qu'un autre ensemble de prédicats ait été vérifié avant exécution. L'enjeu est en général de trouver la sémantique axiomatique la plus fine possible : étant donné une spécification de sortie que l'on veut en général la plus forte (restrictive) possible, on cherche les préconditions les plus faibles (larges) qui aboutissent à ce résultat.

Le langage : la logique de Hoare

Les propriétés de sémantique axiomatique s'expriment, en général, sous la forme d'expressions de la logique de Hoare : :S où p et q sont des propriétés exprimées dans la logique des prédicats, p censé être vérifié par la mémoire avant exécution du programme S (anglais : statement), et q devant être vérifié après exécution de S sur une machine vérifiant p. Du fait que l'exécution du programme ne termine pas forcément, il y a en fait 2 interprétations d'une expression de la logique de Hoare :
- S veut dire « Si l'état de la mémoire satisfait p et S termine, alors, après exécution, l'état de la mémoire satisfait q. » : correction partielle
- [p]S[q] veut dire « Si l'état de la mémoire satisfait p, alors S termine et après exécution, l'état de la mémoire satisfait q. » : correction totale Ces deux interprétations mènent à des sémantiques axiomatiques différentes.

Preuves

Donner la sémantique axiomatique d'un programme, c'est réaliser la preuve de certaines propriétés sur celui-ci. Cette sémantique, cette preuve, peut être représentée, en général, par deux méthodes : soit par l'arbre d'inférence qui utilise explicitement les règles d'inférence spécifiques à la sémantique axiomatique du langage informatique utilisé (preuve à la Hoare), soit par la réécriture du programme en son entier, mais décoré de prédicats entre chaque instruction (preuve à la Floyd). La preuve à la Floyd donne de plus une méthode systématique très pratique pour obtenir cette preuve dans les programmes impératifs séquentiels : on part de ce qui doit être vérifié après le programme, puis on remonte instruction par instruction en cherchant à chaque pas la précondition la plus faible. Exemple : preuve à la Floyd de l'algorithme d'Euclide étendu Ceci est l'algorithme d'Euclide étendu, qui calcule le pgcd des entrées a et b, ainsi que les coefficients p et q de l'identité de Bézout : :a0 = a; b0 = b; p = 1; q = 0; r = 0; s = 1; tant que b != 0 faire c = a modulo b; quotient = a / b; a = b; b = c; nouveau_r = p - quotient - r; nouveau_s = q - quotient - s; p = r; q = s; r = nouveau_r; s = nouveau_s; fait Une des propriétés voulues à la fin est : a = p
- a0 + q
- b0. Nous allons remonter le programme instruction par instruction pour obtenir la preuve (à la Floyd) que cela est bien vérifié. // à compléter //

La sémantique axiomatique et les autres

La sémantique axiomatique est l'une des sémantiques les plus grossières (anglais : coarse-grained) que l'on rencontre pour les langages de programmation. Elle est en effet une approximation, ou abstraction de la sémantique dénotationnelle, qui voit le programme comme une fonction qui transforme la mémoire et elle-même approxime la sémantique opérationnelle qui voit le programme comme une succession d'états de la machine. Voir aussi :
- Sémantique des langages de programmation
- Logique de Hoare
- Sémantique dénotationnelle
- Sémantique opérationnelle

Faux

Algèbre de Boole

La valeur faux indique qu'un prédicat n'est pas vérifié. C'est l'opposé de la valeur vrai.

Droit

En droit, un faux est un document officiel frauduleusement modifié ou un document qui imite un document officiel sans en avoir la valeur juridique. On qualifie ainsi des documents contrefaits (faux papiers d'identité, faux billets de banque...), des documents originaux modifiés frauduleusement pour leur donner une légitimité différente (changement de photographie d'identité, fausses déclarations, fausse signature, imitation d'une signature autorisée...). Le fait de fabriquer des faux et de les utiliser est un délit, la qualification pénale correspondante est le faux et usage de faux.

Outil

Une faux est un outil permettant de récolter les céréales à la main. Elle est constituée d'un manche muni d'une poignée intermédiaire, au bout duquel est fixé une longue lame tranchante et courbe pour couper les tiges des céréales. La faux est l'outil symboliquement attribué à la Mort, aussi appelée la (grande) Faucheuse (de vies).

Communes

- Faux, commune française des Ardennes
- Faux, commune française de la Dordogne

Voir aussi

- Faux-Fresnay, commune française de la Marne
- Faux-la-Montagne, commune française de la Creuse
- Faux-Mazuras, commune française de la Creuse
- Faux-Vésigneul, commune française de la Marne
- Faux-Villecerf, commune française de l'Aube

Arbre

Un fau est un hêtre tortillard (voir les Faux de Verzy).

Contradiction

ko:모순 ja:矛盾 Catégorie:Raisonnement mathématique Catégorie:Logique Une contradiction existe lorsque deux affirmations, idées, ou actions s'excluent mutuellement. Être non contradictoire apparaît comme essentiel à toute personne soucieuse de découvrir ce qu'est « la raison », et de ce que signifie pour elle être « raisonnable ».

En logique

En logique, la contradiction est définie beaucoup plus précisément. Il y a contradiction lorsqu'on peut prouver une chose et son contraire, soit la déclaration simultanée d'une assertion et de sa négation, ou de son démenti (voyez la loi de non contradiction). Ceci, naturellement, suppose que la « négation » a une définition exempte de problème. D'après le prédicat du premier ordre en analyse, nous pouvons dériver n'importe quoi d'une contradiction :
- A ; prémisse
- non A ; prémisse contradictoire avec A
- non A => (non A ou B)
- non A => (A => B)
- A => B ; car non A est un prémisse
- B ; car A est un prémisse Ce résultat est notamment utilisé dans la méthode de raisonnement par l'absurde.

Démonstration constructive

catégorie:Raisonnement mathématique catégorie:Logique mathématique Une démonstration constructive est une démonstration mathématique qui respecte les contraintes des mathématiques intuitionnistes, c'est-à-dire qui ne font pas appel à l'infini ni au principe du tiers exclu. Ainsi on ne démontre pas l'existence d'un objet en montrant l'impossibilité de son inexistence mais en en exhibant un.

Saul Kripke

Kripke, Saul A Kripke, Saul A Saul Aaron Kripke (né en 1940) est un philosophe et logicien étatsunien, professeur émérite de Princeton, et professeur de philosophie à la cité universitaire de la ville de New York (City University of New York, [http://web.gc.cuny.edu/Philosophy/newfaculty03.htm CUNY]). Il a eu une grande influence dans de nombreux domaines, depuis la logique jusque la philosophie du langage. Une grande partie de ses travaux ne sont pas publiés, ou n'existent que sous la forme d'enregistrements et de manuscrits circulant de manière restreinte. Il est considéré comme l'un des philosophes vivants les plus importants.

Œuvre

Kripke est surtout connu pour trois contributions en philosophie :
- en logique modale ;
- Naming and Necessity, conférences à Princeton en 1972 ;
- une interprétation controversée de Wittgenstein.

Logique modale

Naming and Necessity

Ces trois conférences sont une attaque contre la théorie descriptive de la référence concernant les noms propres (Russell, Frege). Selon cette théorie, un nom réfère à un objet dans la mesure où le nom est une description qui correspond à l'objet. Kripke donne plusieurs exemples pour montrer l'impossibilité de cette thèse : Aristote aurait pu mourir à deux ans, et ainsi ne pas satisfaire aux descriptions que nous associons à son nom, alors que, quoiqu'il en soit, il est toujours identique à lui-même. Autrement dit, l'objet associé à une description définie peut changer. Kripke propose alors une théorie causale de la référence, d'après laquelle un nom réfère à un objet par une connexion causale avec l'objet. Les noms sont alors des désignateurs rigides : ils réfèrent à l'objet nommé dans tous les mondes possibles où cet objet existe. Cette référence est donc nécessaire, dans la mesure où la relation d'identité l'est aussi. Cette théorie distingue être nécessaire et être connu a priori. Une vérité peut donc être a posteriori et nécessaire ou a priori et contingente :
- Une convention peut être a priori et contingente, comme la décision de référence à un mètre étalon ;
- les propositions des sciences de la nature sont connus a posteriori, mais si elles sont vraies, elles le sont nécessairement, i.e. elles énoncent comment les choses sont ce qu'elles sont. Cette théorie a par la suite été développée par Hilary Putnam, Keith Donnelan, Gareth Evans, et d'autres.

Wittgenstein

Kripke a contribué de manière intéressante à l'étude du second Wittgenstein, dans des conférences publiées sous le titre « Wittgenstein on Rules and Private Language » (Langage privé et jeux de langage). Ce travail a été critiqué, car il ne serait pas particulièrement fidèle au véritable Wittgenstein. Quelques philosophes parlent au sujet de son livre de « Kripkenstein », car quelque soit l'object de ce travail, ce n'est pas Wittgenstein...

Bibliographie

- Wittgenstein on Rules and Private Language (1962)
- Naming and Necessity (1972) (La logique des noms propres ; traduit en 1982)

Voir aussi

- Wittgenstein ---- ja:ソール・クリプキ

Contingent

En logique modale, être contingent est le contraire d'être nécessaire, c'est pouvoir se produire ou pas. Catégorie:Logique contingent,e (adjectif) Qui peut être ou ne pas être (le contraire de nécessaire).

Théorie Dezert-Smarandache

Catégorie:Logique La théorie du raisonnement plausible et paradoxale de Dezert-Smarandache (connue sous l'acronyme anglo-saxon DSmT) étend la Théorie Dempster-Shafer (DST) en permettant la combinaison formelle de n'importe quel type (certain, incertain, paradoxal) d'information avec un nouvel opérateur de fusion applicable pour une large classe de problèmes (problèmes à modèle libre, à modèle partiellement contraint, et à modèle totalement contraint - ce dernier servant de modèle de base du cadre de discernement sur lequel fut développée la DST). Les premiers fondements de la DSmT, basés sur le treillis de Dedekind (modèle libre), ont été proposés par Jean Dezert et Florentin Smarandache en fin 2001. La prise en compte des modèles hybrides (i.e. modèles avec contraintes) a été proposée en 2003. La DSmT permet de résoudre les problèmes de fusion d'informations, en particulier là où la règle de fusion de Dempster de la DST devient inopérante, non fiable ou contre-intuitive, spécialement lorsque les conflicts (paradoxes) entre les sources deviennent importants et lorsque le raffinement du cadre de discernement est inaccessible à cause de la nature intrinsèquement vague ou continue de ses éléments à manipuler.

Voir aussi

- logique modale

Lien externe

- [http://www.gallup.unm.edu/~smarandache/DSmT.htm La théorie Dezert-Smarandache (TDSm) du raisonnement plausible et paradoxal (en anglais)]

Zeta (olika betydelser)

Zeta har flera betydelser: # bokstav i det grekiska alfabetet, se zeta. # ett operativsystem, se Zeta (operativsystem) # walesisk skådespelerska, se Catherine Zeta-Jones. # ZETA är ett företag som bl.a. tillverkar oljor, se ZETA

Se även

- Riemanns zeta-funktion
- zetapotential

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河源市是中国广东省的一个地级市，1988年1月7日经国务院批准设立。河源市位于广东省东北部，东江中上游，是客家人的主要聚居地之一。河源市东部与广东省皮孔；单叶或复叶，叶常互生，有托叶，少数没有，托叶有时也早落或附生于叶柄；花两性,辐射对称，原子核内质子的数量。拥有同一原子序数的原子属于同一化学元素。原子序数的符号是Z。一般原子序数被写在元素符号的左下方： ₁H是氢，₈O是氧。但�

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珠峰
珠穆朗瑪峰（Jo-mo glang-ma），簡稱珠峰，又意譯作聖母峰，位于中国和尼泊尔交界的喜馬拉雅山脈之上，終年積雪。是亚洲和世界第一高峰。

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迷信
对某一些事物迷惘而不知其究竟，但又盲目地相信其说，叫做“迷信”。“迷信”的含义更多的倾向于“盲目的相信、不理解的相信”。因此，理论上，人类对任何事物都可能存在着“迷信”的观念，即使是在科学领域，同样存在着“科学迷信”。但科学与迷信、信仰或