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Petit Théorème De Fermat

Petit théorème de Fermat

ko:페르마의 소정리 ja:フェルマーの小定理 FermatCatégorie:Arithmétique modulaire Le petit théorème de Fermat affirme que si p est un nombre premier, alors pour tout entier a, :a^p \equiv a \pmod Cela signifie que si vous considérez un entier a, et que vous le multipliez par lui-même p fois et que vous lui soustrayez a, le résultat est divisible par p (voir arithmétique modulaire). Il s'appelle le petit théorème de Fermat pour le différencier du dernier théorème de Fermat. Pierre de Fermat trouva le théorème en 1636; il apparut dans l'une de ses lettres, envoyée le 18 octobre 1640 à son confident Bernard Frénicle de Bessy sous la forme équivalente suivante : p divise ap-1 - 1 lorsque p est premier et a est premier avec p. Le cas a = 2 était connu des anciens chinois.

Démonstrations

Fermat expliqua son théorème sans preuve. Le premier qui donna une démonstration fut Gottfried Wilhelm Leibniz dans un manuscrit non daté, dans lequel il écrivit aussi qu'il connaissait déjà une preuve avant 1683. Voir les démonstrations du petit théorème de Fermat.

Généralisations

Une légère généralisation du théorème, qui découle immédiatement de celui-ci, s'énonce de la manière suivante : si p est un nombre premier et si m et n sont des entiers strictement positifs tels que m ≡ n (mod p-1), alors pour tous entiers a, am ≡ an (mod p). Sous cette forme, le théorème est utilisé pour justifier l'algorithme de chiffrage RSA à clé publique. Le petit théorème de Fermat est généralisé par le théorème d'Euler : pour tout entier naturel non nul n et tout entier a premier avec n, nous avons :a^ \equiv 1 \pmod où φ(n) désigne la fonction φ d'Euler comptant les entiers entre 1 et n qui sont premiers avec n. Cette proposition représente vraiment une généralisation, parce que si n = p est un nombre premier, alors φ(p) = p - 1. Cela peut encore être généralisé en le théorème de Carmichaël.

Pseudo-premiers

Si a et p sont premiers entre eux, il arrive que ap-1 - 1 soit divisible par p, sans pour autant que p soit premier. Si c'est le cas, alors p est appelé un nombre pseudo-premier de base a. Si, pour tout entier a, premier avec p, tel que 1 < a < p, l'entier p est pseudo-premier de base a, alors l'entier p est appelé un nombre de Carmichaël ou nombre absolument pseudo-premier. Attention, la condition « a premier avec p » est nécessaire : si p est pseudo-premier dans toute base a tel que 1 < a < p, c'est-à-dire, si pour tout a tel que 1 < a < p, a^-1 est divisible par p, alors p est premier.

Catégorie:Arithmétique modulaire

catégorie:Théorie des nombres

Article principal


- Arithmétique modulaire ja:Category:合同算術

Entier relatif

Les entiers relatifs, ou nombres entiers sont l'ensemble des entiers naturels (0, 1, 2, ...) et leurs opposés (-1, -2, -3, ...). Plus rigoureusement on définit \mathbb Z comme le quotient de \mathbb N\times\mathbb N par la relation (a,b)R(a',b') si, et seulement si, a+b'=a'+b, i.e. un couple (a,b) représente l'intuitif entier relatif a-b. Cet ensemble est noté \mathbb Z, qui vient de l'allemand Zahlen (nombre). Les entiers relatifs peuvent être ajoutés, soustraits, multipliés et comparés entre eux. La principale raison de l'introduction des nombres négatifs est la possibilité de résoudre toutes les équations de la forme: a + x = b, où x est l'inconnue. Dans l'ensemble de entiers naturels, seules certaines de ces équations ont une solution. Autrement dit, (\mathbb Z,+) est un groupe. La vérification en est aisée. Clairement chaque classe de la relation R admet un représentant ayant ou bien la forme (0,a) (il s'agit des entiers négatifs ou nuls) ou bien la forme (a,0) (il s'agit des entiers positifs ou nuls) l'élément (0,0) étant le seul à admettre les deux formes. Ainsi \mathbb Z peut être vu comme la donnée (\\times\mathbb N)\cup (\mathbb N\times \). Ainsi on vérifie aisément que R est compatible avec l'addition. Il suffit à présent de voir que (0,0) est un élément neutre et que (a,0) et (0,a) sont symétriques l'un de l'autre (i.e. (a,a)R (0,0))pour tout a \in \mathbb N. Toutes les lois habituelles de l'arithmétique sont valides dans \mathbb Z, ce qui, en termes mathématiques, revient à dire que (\mathbb Z, +,
- ) est un anneau commutatif. Les entiers relatifs forment un ensemble dénombrable infini. La branche des mathématiques qui traite des nombres entiers est la théorie des nombres.

Voir aussi

Construction des entiers relatifs Catégorie:Nombre ja:整数 ko:정수 th:จำนวนเต็ม

Arithmétique modulaire

L'arithmétique modulaire, fut pour la première fois étudiée par le mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss à la fin du et présentée au public dans ses Disquisitiones arithmeticae en 1801. Elle est aujourd'hui couramment utilisée en théorie des nombres, en algèbre abstraite et en cryptographie. C'est une arithmétique où l'on ne raisonne pas directement sur les nombres mais sur leurs restes respectifs par la division euclidienne par un certain entier : le modulo (qui sera noté n tout au long de l'article). On parle alors de congruence.

Idée intuitive : « arithmétique de l'horloge »

L'arithmétique modulaire est un système arithmétique d'entiers modifiés, où les nombres sont « abaissés » lorsqu'ils atteignent une certaine valeur. Donnons comme exemple, l'« arithmétique de l'horloge » qui se réfère à l'« addition » des heures indiquées par la petite aiguille d'une horloge : concrètement, si nous commençons à 7 heures et ajoutons 8 heures, alors plutôt que de terminer à 15 heures (comme dans l'addition normale), nous sommes à 3 heures. De la même manière, si nous commençons à midi et nous attendons 7 heures trois fois de suite, nous nous retrouvons à 9 heures (au lieu de 21). Fondamentalement, quand nous atteignons 12, nous recommençons ; nous travaillons modulo 12. Pour généraliser, nous pouvons facilement imaginer une horloge qui contient un nombre arbitraire de nombre d'heures, et faire des calculs avec un nouveau modulo. En arithmétique traditionnelle, 8 + 6 est égal à 14, tandis qu'en arithmétique modulo 12 le résultat est 2, parce que 2 est le reste de la division euclidienne de 14 par 12.

Congruence modulo n

Définition

Deux entiers a et b sont dits congruents modulo n, où n est un entier non nul et différent de 1 et -1, si l'une des conditions équivalentes suivantes est vérifiée : #leur différence est divisible par n ; #ils ont même reste lorsqu'ils sont divisés par n, c'est-à-dire que le reste de la division euclidienne de a par n est égal à celui de la division de b par n ; #il existe un entier k tel que a−b=kn #a−b ∈ n\Z, l'idéal de tous les entiers divisibles par n. On écrira alors : :a ≡ b (n) ou a ≡ b [n] ou encore a ≡ b mod [n] ce qui se lit dans tous les cas « a est congru à b modulo n ». Par exemple : 14 ≡ 26 (12).

Propriétés

La congruence modulo n a les propriétés suivantes :
- Réflexivité : :a ≡ a (n)
- Symétrie : :a ≡ b (n) ⇔ b ≡ a (n)
- Transitivité : :Si a ≡ b (n) et b ≡ c (n) alors a ≡ c (n) C'est donc une relation d'équivalence. Elle a de plus des propriétés algébriques remarquables : Si :a1 ≡ b1 (n)    et    a2 ≡ b2 (n) alors :a1 + a2 ≡ b1 + b2 (n) et :a1a2 ≡ b1b2 (n). On peut parler d'une certaine « compatibilité » avec les opérations d'addition et de multiplication des entiers, c'est-à-dire de « compatibilité » avec la structure d'anneau de (Z,+,
- )). Ces quelques propriétés vont nous permettre de définir le domaine de l'arithmétique modulaire : les ensembles quotients Z/nZ.

Ensembles quotients Z/nZ

Construction

La congruence modulo n étant une relation d'équivalence sur l'ensemble des entiers, on peut donc diviser cet ensemble en classes d'équivalences. La classe d'équivalence de l'entier a est l'ensemble des entiers b tels que a \equiv b \pmod. On la note [a]_n, ou a + n\mathbb Z, ou encore, tout simplement, \dot quand on sait de quel n on parle. L'ensemble quotient de \mathbb Z par la congruence modulo n est l'ensemble , noté encore \mathbb Z/n\mathbb Z\, et parfois \mathbb Z_n\,.

Structure d'anneau

On définit une addition et une multiplication sur l'ensemble \mathbb Z/n\mathbb Z\, par les règles suivantes :
- [a]_n + [b]_n = [a + b]_n\,
- [a]_n \times [b]_n = [ab]_n\, De cette façon, \mathbb Z/n\mathbb Z\, devient un anneau commutatif à n éléments. Par exemple, dans l'anneau \mathbb Z/12\mathbb Z\,, nous avons : [8]_ \times [3]_ + [6]_ = [6]_\,.

Éléments inversibles, structure de corps

Si a et b sont des entiers, l'équation de congruence : a.x \equiv b \pmod\, a une solution x si et seulement si le plus grand commun diviseur pgcd(a, n) divise b. Pour plus de détails vous pourrez consulter la page concernant le théorème de congruence linéaire. Des systèmes d'équations de congruence plus compliqués avec différentes congruences peuvent être résolus en utilisant le théorème des restes chinois. Posons b=1. La proposition précédente est équivalente à l'affirmation que les éléments inversibles de l'anneau \mathbb Z/n\mathbb Z\, sont précisément les éléments [a]n tels que a et n n'ont aucun diviseur en commun non trivial (sont premiers entre eux). Ainsi, \mathbb Z/n\mathbb Z\, est un corps si et seulement si n est un nombre premier. Tous les corps finis sont des extensions de ceux-ci. Un important théorème relatif aux congruences modulo un nombre premier est le petit théorème de Fermat : si p est un nombre premier et a est un entier quelconque, alors : a^p \equiv a \pmod\, Ce résultat fut généralisé par Euler : pour tout entier strictement positif n et tout entier a premier avec n, : a^ \equiv 1 \pmod\, où \phi\, désigne la fonction φ d'Euler comptant les entiers compris entre 1 et n et premiers avec n. Le théorème d'Euler est une conséquence du théorème de Lagrange, appliqué au groupe des inversibles de l'anneau \mathbb Z/n\mathbb Z\,.

Voir aussi


- Divisibilité
- Critère de divisibilité
- Trouver un critère de divisibilité Catégorie:Arithmétique modulaire ja:合同式 th:เลขคณิตมอดุลาร์

1636

Catégorie:1636
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---- Cette page concerne l'année 1636 du calendrier grégorien.

Événements


- 22 juin : Par décision du pouvoir shogunal, le Japon se ferme à toute influence extérieure, cette fermeture restera effective jusqu'en 1853.
- Van Dyck peint le « Portrait de Charles I ».
- 8 juin : René Descartes fonde la géométrie analytique et publiant son livre le Discours de la Méthode en français.
- Fondation de la Guyane hollandaise.
- Fondation de la première université américaine par John Harvard.
- La première carte de la Lune est gravée par le peintre et graveur français Claude Mellan.
- Les Hollandais s'installent à Ceylan.
- Pierre Corneille écrit Le Cid.

Naissances en 1636


- 1 novembre : Nicolas Boileau, poète et critique français

Décès en 1636


- 26 avril : Paul Hay du Chastelet, écrivain français (académicien français, Fauteuil 20) (° 1593)
- 14 juin : Jean de Saint-Bonnet, maréchal de Toiras (° 1585, 51 ans) ko:1636년 ms:1636

1640

Catégorie:1640
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---- Cette page concerne l'année 1640 du calendrier grégorien.

Événements


- Début de la construction du Taj Mahal à Âgrâ (fin en 1652).
- Début du sultanat ottoman de Ibrahim (fin en 1648).
- : le Portugal se soulève et se sépare de l'Espagne.
- 15 décembre : Jean de Bragance devient roi de Portugal sous le nom de Jean IV (Jaoa IV)

Naissances en 1640


- 21 septembre à Saint-Germain-en-Laye : Philippe de France duc d'Anjou, fils de Louis XIII de France, futur duc d'Orléans,dit « Monsieur ».
- 5 octobre : Françoise Athénaïs de Rochechouart, marquise de Montespan

Décès en 1640


- 28 janvier : Heinrich Matthias von Thurn, un des principaux chefs de la révolte de la Bohême contre l’Empereur Ferdinand II, qui déclencha la guerre de Trente ans.
- 9 février : Murad IV, sultan de l'empire ottoman de 1623 à 1640
- 22 avril : François IV Fouquet, magistrat et homme d'affaires français, père de Nicolas Fouquet
- 30 mai : Pierre Paul Rubens, peintre flamand à Anvers.
- 30 septembre : Charles Ier de Lorraine, 4ème duc de Guise, homme politique français, (° 1571).
- 9 décembre : Pierre Fourier religieux catholique français, canonisé en 1847 (° 1565).
- Fabio Colonna : botaniste italien
- André Duchesne, écrivain, (° 1584) bahia hermann née le 12 novenbre 1992 ko:1640년 ms:1640

Premiers entre eux

ko:서로 소 th:จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ Catégorie:Arithmétique En mathématiques, des entiers a et b sont dit premiers entre eux s'ils n'ont aucun facteur premier en commun ; en d'autres termes, ils n'ont aucun diviseur autre que 1 et -1 en commun. On dit aussi que a est premier avec b. De manière équivalente, ils sont premiers entre eux si et seulement si leur plus grand commun diviseur est égal à 1. Par exemple, 6 et 35 sont premiers entre eux, mais 6 et 27 ne le sont pas parce qu'ils sont tous les deux divisibles par 3. 1 est premier avec tout entier ; 0 est uniquement premier avec 1 et -1. Un moyen rapide pour déterminer si deux nombres entiers sont premiers entre eux est l'algorithme d'Euclide.

Propriétés

Théorème de Bachet de Méziriac

Les entiers relatifs a et b sont dits premiers entre eux si et seulement s’il existe des entiers relatifs x et y tels que ax + by = 1 (voir identité de Bézout). De façon équivalente, b a un inverse pour la multiplication modulo a : il existe un nombre entier y tel que by ≡ 1 (mod a).

Théorème de Gauss

Si a et b sont premiers entre eux et a divise un produit bc, alors a divise c. Si a et b sont premiers entre eux et bx ≡ by (mod a), alors x ≡ y (mod a). En d'autres termes: b est simplifiable dans l'anneau Za des entiers modulo a. Les deux entiers a et b sont premiers entre eux si et seulement si le point de coordonnées (a,b) dans un repère cartésien est « visible » de l'origine (0,0), dans le sens où il n'y a pas de point de coordonnées entières entre l'origine et (a,b). La probabilité pour que deux nombres entiers choisis au hasard soient premiers entre eux est égale à 6/π2 (Voir Pi). Deux entiers naturels a et b sont premiers entre eux si et seulement si les nombres 2a-1 et 2b-1 sont premiers entre eux.

Généralisation

Des idéaux I et J d'un anneau commutatif A sont dits premiers entre eux si I + J = A. Cela généralise l'identité de Bézout. Si I et J sont premiers entre eux, alors IJ = I∩J ; de plus, si K est un troisième idéal tel que I contient JK, alors I contient K. Avec cette définition, des idéaux principaux (a) et (b) dans l'anneau des nombres entiers relatifs \mathbb Z sont premiers entre eux si et seulement si a et b sont premiers entre eux. ---- Voir aussi : plus grand commun diviseur

1683

Catégorie:1683
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---- Cette page concerne l'année 1683 du calendrier grégorien.

Événements

Amériques


- William Penn signe un traité de paix avec les Indiens du Delaware. Il fonde Philadelphie et la Pennsylvanie.

Asie & monde indien


- L'empereur chinois Kangxi (K'ang-hsi) fait la conquête de Formose (Taiwan).

Europe


- 12 septembre : Victoire de Kahlenberg, remportée par les chrétiens sur les Turcs, lors du second siège de Vienne. Le roi Polonais Jean III Sobieski repousse le grand vizir Turc, Kara Mustafa, arrivé aux portes de Vienne à la tête de 180 000 hommes. Sans son intervention la monarchie des Habsbourg se serait sans doute effondrée et l'islam, déjà installé dans les Balkans et en Hongrie, se serait vraisemblablement implanté jusqu'en Bohême et en Allemagne du Sud. Cette victoire polonaise marque le début du déclin européen de l'Empire ottoman et celui de l'ascension de la puissance autrichienne.
- Début du règne de Pierre II, roi de Portugal (fin en 1706).
- Louis XIV de France épouse Madame de Maintenon en secret.
- Une Lettre patente de Louis XIV « affranchit » les Cagots, en échange d'une forte somme d'argent (destinée à racheter les impôts dont ils étaient dispensés jusque là).

Sciences & techniques


- Le biologiste hollandais Antoine van Leeuwenhoek observe des bactéries au microscope et édite ses dessins de protozoaires.

Naissances en 1683


- 28 février : René-Antoine Ferchault de Réaumur, scientifique français († 1757).
- 12 mars : Jean-Théophile Desaguliers, scientifique anglais
- 3 avril : Mark Catesby, naturaliste britannique († 1749).
- 25 septembre : Jean-Philippe Rameau, musicien et théoricien de la musique français
- 10 novembre : Georges II, roi de Grande-Bretagne
- 19 décembre : Philippe, duc d'Anjou, petit fils de Louis XIV, roi d'Espagne en 1700, nait à Versailles.
- Date précise inconnue : Jonathan Wild, grand criminel anglais († 1725).

Décès en 1683


- Marie-Thérèse d'Autriche (1638-1683) épouse de Louis XIV
- 6 septembre : Jean-Baptiste Colbert, homme politique français ko:1683년

Rivest Shamir Adleman

RSA est un algorithme asymétrique de cryptographie à clé publique, très utilisé dans le commerce électronique, et plus généralement pour échanger des données confidentielles sur Internet. Cet algorithme a été décrit en 1977 par Ron Rivest, Adi Shamir et Len Adleman ; les lettres RSA résultant des initiales de leurs noms respectifs. RSA a été breveté par le MIT en 1983 aux États-Unis d'Amérique, mais le brevet a expiré le 21 septembre 2000.

Fonctionnement général

Cet algorithme est fondé sur l'utilisation d'une paire de clés composée d'une clé publique et d'une clé privée pour chiffrer des données confidentielles. La clé publique correspond à une clé qui est accessible par n'importe quelle personne souhaitant chiffrer des informations, la clé privée est quant à elle réservée à la personne ayant créé la paire de clés. Lorsque deux personnes, ou plus, souhaitent échanger des données confidentielles, une personne, nommée par convention Alice prend en charge la création de la paire de clés, envoie sa clé publique aux autres personnes Bob, Carole… qui peuvent alors chiffrer les données confidentielles à l'aide de celle-ci puis envoyer les données chiffrées à la personne ayant créée la paire de clés, Alice. Cette dernière peut alors déchiffrer les données confidentielles à l'aide de sa clé privée.

Fonctionnement détaillé

Ronald Rivest, Adi Shamir et Leonard Adelman, dans A Method for Obtaining Digital Signatures and Public-key Cryptosystems ont eu l'idée d'utiliser les anneaux \mathbb Z/n\mathbb Z et le petit théorème de Fermat pour obtenir des fonctions trappes, ou fonctions à sens unique à brèche secrète. C'est à l'heure actuelle le système à clef publique le plus utilisé (Netscape, la carte bancaire française, de nombreux sites web commerciaux…). RSA repose sur le calcul dans les groupes \mathbb Z/n\mathbb Z, plus précisément sur l'exponentiation modulaire. Voici une description des principes mathématiques sur lesquels repose l'algorithme RSA. Supposons que M soit un entier représentant un message. On choisit p et q deux nombres premiers et on note n leur produit. On choisit e un entier premier avec p-1 et q-1. Comme \varphi(n) = (p-1)(q-1), e est premier avec \varphi(n) on obtient d'après le théorème de Bachet de Méziriac, qu'il est inversible modulo \varphi(n), i.e. il existe un entier d tel que ed \equiv 1 \pmod. Le message chiffré sera alors représenté par : :C \equiv M^e \pmod Pour déchiffrer C, on calcule d l'inverse de e modulo \varphi(n), ensuite on calcule Cd mod n. On a alors, :C^d \pmod \equiv (M^e)^d \pmod \equiv M^ \pmod Comme ed \equiv 1 \pmod par définition de modulo \varphi(n), on a :ed = 1 + r \varphi(n). D'où, :M^ \pmod \equiv M \cdot M^ \pmod \equiv M \cdot (M^)^r \pmod Or x^ \equiv 1 \pmod, d'après le théorème d'Euler. Donc finalement, :C^d \equiv M \pmod. Le couple (n,e) est appelé clef publique alors que le couple (n,d) est appelé clef privée. On constate que pour chiffrer un message, il suffit de connaître e et n. En revanche pour déchiffrer, il faut d et n. Ainsi il suffit de connaître p, q et e puisque φ(n)=(p-1)
- (q-1) et d= e-1 mod φ(n). Dit d'une autre manière, il faut connaître la décomposition de n en facteurs premiers. Il existe une autre méthode pour déchiffrer C qui utilise le théorème des restes chinois.

Sécurité

En fait, la sécurité de cet algorithme repose sur deux conjectures : casser RSA nécessite la factorisation du nombre n et la factorisation est un problème difficile. Par difficile, on entend qu'il n'existe pas d'algorithme rapide pour résoudre cette question. Si l'on veut être un peu plus précis, on pense qu'il n'existe pas d'algorithme ayant une complexité polynomiale en temps qui donne les facteurs premiers d'un nombre quelconque. Il est possible que l'une des deux conjectures soit fausse, voire que les deux le soient. Si c'est le cas, alors RSA n'est pas sûr. Cela fait néanmoins maintenant plus de 20 ans que RSA est cryptanalysé et celui-ci n'a pas encore été cassé, on peut donc raisonnablement le considérer comme un algorithme sûr. Cependant si une personne venait à trouver un moyen « rapide » de factoriser ce nombre n, tous les algorithmes de chiffrement fondés sur ce principe seraient remis en cause et rendus non sûrs, remettant en cause par la même occasion toutes les données chiffrées auparavant à l'aide de ces algorithmes.

Applications

Lorsque deux personnes souhaitent s'échanger des informations numériques de façon confidentielle, sur Internet par exemple avec le commerce électronique, celles-ci doivent recourir à un mécanisme de chiffrement de ces données numériques. RSA étant un algorithme de chiffrement asymétrique, celui-ci hérite du domaine d'application de ces mécanismes de chiffrement. On citera :
- L'authentification des parties entrant en jeu dans l'échange d'informations chiffrées avec la notion de signature numérique;
- Le chiffrement des clés symétriques utilisées lors du reste du processus d'échange d'informations numériques chiffrées.

Articles connexes


- Chiffrement
- Chiffrement symétrique
- Chiffrement asymétrique
- Authentification
- Signature numérique
- DSA (Digital Signature Algorithm)
- Compétition de factorisation RSA (Défi RSA)
- Nombre RSA Catégorie:Algorithme de cryptographie asymétrique ja:RSA暗号 ko:RSA 암호

Premiers entre eux

ko:서로 소 th:จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ Catégorie:Arithmétique En mathématiques, des entiers a et b sont dit premiers entre eux s'ils n'ont aucun facteur premier en commun ; en d'autres termes, ils n'ont aucun diviseur autre que 1 et -1 en commun. On dit aussi que a est premier avec b. De manière équivalente, ils sont premiers entre eux si et seulement si leur plus grand commun diviseur est égal à 1. Par exemple, 6 et 35 sont premiers entre eux, mais 6 et 27 ne le sont pas parce qu'ils sont tous les deux divisibles par 3. 1 est premier avec tout entier ; 0 est uniquement premier avec 1 et -1. Un moyen rapide pour déterminer si deux nombres entiers sont premiers entre eux est l'algorithme d'Euclide.

Propriétés

Théorème de Bachet de Méziriac

Les entiers relatifs a et b sont dits premiers entre eux si et seulement s’il existe des entiers relatifs x et y tels que ax + by = 1 (voir identité de Bézout). De façon équivalente, b a un inverse pour la multiplication modulo a : il existe un nombre entier y tel que by ≡ 1 (mod a).

Théorème de Gauss

Si a et b sont premiers entre eux et a divise un produit bc, alors a divise c. Si a et b sont premiers entre eux et bx ≡ by (mod a), alors x ≡ y (mod a). En d'autres termes: b est simplifiable dans l'anneau Za des entiers modulo a. Les deux entiers a et b sont premiers entre eux si et seulement si le point de coordonnées (a,b) dans un repère cartésien est « visible » de l'origine (0,0), dans le sens où il n'y a pas de point de coordonnées entières entre l'origine et (a,b). La probabilité pour que deux nombres entiers choisis au hasard soient premiers entre eux est égale à 6/π2 (Voir Pi). Deux entiers naturels a et b sont premiers entre eux si et seulement si les nombres 2a-1 et 2b-1 sont premiers entre eux.

Généralisation

Des idéaux I et J d'un anneau commutatif A sont dits premiers entre eux si I + J = A. Cela généralise l'identité de Bézout. Si I et J sont premiers entre eux, alors IJ = I∩J ; de plus, si K est un troisième idéal tel que I contient JK, alors I contient K. Avec cette définition, des idéaux principaux (a) et (b) dans l'anneau des nombres entiers relatifs \mathbb Z sont premiers entre eux si et seulement si a et b sont premiers entre eux. ---- Voir aussi : plus grand commun diviseur

Pseudo-premier

Un nombre pseudopremier est un nombre premier probable (un entier qui partage une propriété commune à tous les nombres premiers) qui n'est pas premier. Les nombres pseudopremiers peuvent être classés par rapport à la propriété qu'ils satisfont. La plus importante classe de nombres pseudopremiers provient du petit théorème de Fermat et donc, sont appelés les pseudopremiers de Fermat. Ce théorème énonce que si p est premier et a est premier avec p, alors ap-1 - 1 est divisible par p. Si un nombre x n'est pas premier, a est premier avec x et x divise ax-1 - 1, alors x est appelé un pseudopremier de base a. Un nombre x pseudopremier pour toutes les valeurs de a qui sont premières avec x est appelé nombre de Carmichaël. Le plus petit nombre pseudopremier de Fermat pour la base 2 est 341. Il n'est pas premier, car il est égal à 11 · 31, mais il satisfait le petit théorème de Fermat : 2341=2 (mod 341). Il existe des applications en cryptographie asymétrique telles que RSA qui ont besoin de grands nombres premiers. L'algorithme commun pour générer les nombres premiers consiste en plusieurs générations de nombres aléatoires impairs et des tests concernant leur primalité. Néanmoins, les tests de primalité déterministes sont lents. Si l'utilisateur ne requiert pas que le test soit complètement exact (autrement dit, il devrait tolérer une très petite chance qu'un nombre composé soit déclaré premier), il existe des algorithmes rapides comme le test de primalité de Fermat, le test de primalité de Solovay-Strassen, et le test de primalité de Miller-Rabin. Il existe une infinté de nombres pseudopremiers (même une infinité de nombres de Carmichaël), mais ils sont plutôt rares. Il existe seulement 3 pseudopremiers de base 2 inférieurs à 1 000 et 245 inférieurs à un million. Les pseudopremiers de base 2 sont applelés nombres de Poulet ou quelquefois les nombres de Sarrus ou fermatiens (suite dans [http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi?Anum=001567 A001567] encyclopédie électronique des suites entières). Les nombres de Poulet et les nombres de Carmichaël (en gras) balayés jusqu'à 41 041 sont : Un nombre de Poulet dont tous les diviseurs d divisent 2d - 2 est appelé supernombre de Poulet. Il existe de manière infinie beaucoup de nombres de Poulet qui ne sont pas des supernombres de Poulet. Les premiers plus petits nombres pseudopremiers pour les bases a ≤ 200 sont donnés dans la table suivante ; les couleurs indiquent le nombre de facteurs premiers. Voir aussi :
- nombre pseudopremier d'Euler
  - nombres pseudopremiers de base 2 d'Euler (suite dans [http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi?Anum=006970 A006970] OEIS)
- nombre pseudopremier d'Euler-Jacobi
  - nombres pseudopremiers de base 2 d'Euler-Jacobi (suite dans [http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi?Anum=047713 A047713] OEIS)
  - nombres pseudopremiers de base 3 d'Euler-Jacobi (suite dans [http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi?Anum=048950 A048950] OEIS)
- nombre pseudopremier extra fort de Lucas
- nombre pseudopremier de Fibonacci
- nombre pseudopremier de Frobenius
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Zimowe Igrzyska Olimpijskie 1980

XIII Zimowe Igrzyska Olimpijskie odbyły się ponownie w amerykańskiej miejscowości Lake Placid w 1980 roku. Startowało 1072 zawodników (233 kobiety) z 37 państw. Uroczystego otwarcia dokonał wiceprezydent USA Walter Mondale.

Klasyfikacja Medalowa

Kategoria:Zimowe Igrzyska Olimpijskie ja:レークプラシッドオリンピック (1980年)

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克雷數學研究所
克雷數學研究所(Clay Mathematics Institute, 簡稱CMI)是非牟利私營機構，總部在麻薩諸塞州劍橋市。機構的目的在於促進和傳播數學知識。它給予有潛質的數學家各種獎項和資助。它在1998年由商人蘭頓·克雷(Landon T. Clay)和哈佛大學數學家亞瑟·傑夫(Arthur Jaffe)創立，蘭頓·克雷資助。

千禧年
迷糊女戰士
迷糊女戰士（日文：），是漫畫家六道神士極不“政治正確”的漫畫作品，主角是秘密結社市街征服組織阿庫羅斯的成員，為了達成伊魯趴佐的理想而努力打工籌處征服世界的經費。

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F区元素
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查爾斯 (威爾斯親王)
威爾士親王查爾斯殿下（HRH Prince Charles, The Prince of Wales ，1948年11月14日─），全名為查爾斯·菲利浦·亞瑟·喬治·蒙巴頓-溫莎（Charles Philip Arthur George Mountbatten-Windsor），現任英國王儲，康沃爾
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在數論，對正整數n，歐拉函數\varphi(n)是少於或等於n的數中與n互質的數的數目。此函數以其首名研究者歐拉命名，它又稱為Euler's totient function、φ函數、歐拉商數等
查尔斯王储
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委婉法
委婉是一種修辭的技巧，將新的字詞使用在原本無法大聲張揚、有負面意涵、具有攻擊性或在社會脈絡中有禁忌的地方。在西方，由於宗教上的禁忌，不可直呼神明，所以會用委婉的方式找尋代名，而在中國自古以來也不可以直呼皇帝的名諱或使用與其相關的字彙，所以也有許多避諱的用法。而这样的用语则称为委婉语。 委
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外部性
外部性(externality)是指个体经济单位的行为对社会或者其他个人部门造成了影响(例如：环境污染）却没有承担相应的义务或获得回报,亦称外部成本、外部效应或溢出效应。 这种外部效应有时产生有利影响（教育和安全提高社会生产力），有时会产生不利影响（污染和犯罪降低社会生产力）。我们可以按照外部效应产生的影响不同，把外部效应分为外部经济和
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