:: wikimiki.org ::

Algèbre élémentaire

Algèbre élémentaire

L'algèbre élémentaire est la forme d'algèbre la plus simple enseignée aux élèves du secondaire qui ont des mathématiques une connaissance n'allant pas au-delà des concepts de l'arithmétique. Tandis qu'en arithmétique on n'utilise que des nombres, l'algèbre moderne utilise aussi des symboles (tels que a, x, y) pour noter des nombres.
Cela est utile pour :
- formuler les règles du calcul algébrique tel que

a + b = b + a

pour tout a et b
- parler de quantités inconnues, formuler des équations et étudier comment les résoudre
- formuler des fonctions mathématiques « Si vous vendez x tickets alors votre profit sera de 3
- x - 10 € »

Notions algébriques élémentaires

- Distributivité
- Équation
- Identité remarquable
- Inéquation
- Pourcentage
- Puissance
- Racine cubique
- Règle de trois

Algèbre

ko:대수학 ms:Algebra ja:代数学 simple:Algebra Catégorie:Mathématiques Catégorie:Algèbre L'algèbre est la branche des mathématiques qui étudie les structures algébriques, indépendamment de la notion de limite (rattachée à l'analyse) et de la notion de représentation graphique (rattachée à la géométrie). Elle doit son nom au titre d'un ouvrage du mathématicien Al-Khawarizmi où il reprend dans la première partie du les travaux de Diophante d'Alexandrie () qui, le premier avait imaginé de représenter une inconnue par un symbole nommé arithme. Le titre de cet ouvrage (Al-jabr wa'lmuqabalah) a donné le mot moderne Algèbre (du mot arabe al-jabr, voulant dire « la réunion », « la reconstruction » ou « la connexion »). Jusqu'au , l'algèbre peut être globalement caractérisée comme une généralisation et une extension de l'arithmétique ; elle consiste principalement en l'étude de la résolution des équations algébriques, et la codification progressive des opérations symboliques permettant cette résolution. A noter que c'est au Français François Viet (1540-1603) que l'on doit l'idée de noter les inconnues à l'aide de lettres . Les Babyloniens savaient déjà résoudre l'équation du 2 degré (ou équation quadratique). Diophante, au IV siècle, développe la méthode de résolution en nombres rationnels et découvre que le discriminant doit être le carré d'un nombre rationnel. Après une longue période de stagnation en Europe, au cours de laquelle les mathématiciens arabes (Al-Khawarizmi, Abu Kamil) découvrent la numération de position et jettent les premières bases du calcul algébrique, les mathématiciens italiens du XVI siècle (del Ferro, Tartaglia et Cardan) résolvent l'équation du 3 degré (ou équation cubique). Ferrari, élève de Cardan, résout l'équation du 4 degré (ou équation quartique), et la méthode est perfectionnée par Bombelli. À la fin du siècle, le français Viète découvre que les fonctions symétriques des racines sont liées aux coefficients de l'équation polynomiale. Au XVII siècle, les mathématiciens utilisent progressivement des nombres « fictifs », tels que la racine carrée de -1, pour parvenir à calculer les racines non réelles de leurs équations. Cette « extension » des nombres réels (qui prendra le nom de nombres complexes) amène d'Alembert (en 1746) et Gauss (en 1799) à énoncer et démontrer le théorème fondamental de l'algèbre (ou théorème de d'Alembert-Gauss) : toute équation polynomiale de degré n en nombres complexes a exactement n racines (comptées chacune avec sa multiplicité). Ou, sous sa forme moderne : le corps

\ _\mathbb C

des nombres complexes est algébriquement clos. Le XIX siècle s'intéresse désormais à la calculabilité des racines, et en particulier à la possibilité de les exprimer par des formules générales à base de radicaux. Les échecs concernant les équations de degré 5 amènent le mathématicien Abel (après Vandermonde, Lagrange et Gauss) à approfondir les transformations sur l'ensemble des racines d'une équation. Évariste Galois (1811 - 1832), dans un mémoire fulgurant, introduit pour la première fois la notion de groupe (en étudiant le groupe des permutations des racines d'une équation polynomiale) et aboutit à l'impossibilité de la résolution par radicaux pour les équations de degré supérieur ou égal à 5. Dès lors, l'algèbre moderne entame un parcours fécond : Boole crée l'algèbre qui porte son nom, Hamilton invente les quaternions, et les mathématiciens anglais Cayley, Hamilton et Sylvester étudient les structures de matrices. L'algèbre linéaire, longtemps restreinte à la résolution de systèmes d'équations linéaires à 2 ou 3 inconnues prend son essor avec le théorème de Cayley-Hamilton (« Toute matrice carrée à coefficients dans

\ _\mathbb R

\ _\mathbb C

divise son polynôme caractéristique »). S'ensuivent les transformations par changement de base, la diagonalisation et la trigonalisation des matrices, et les méthodes de calcul qui nourriront, au XX siècle, la programmation des ordinateurs. Parallèlement, Kummer généralise les structures galoisiennes et étudie les structures de corps et d'anneau. Dedekind définit les idéaux (déjà entrevus par Gauss) qui permettront de généraliser et reformuler les grands théorèmes d'arithmétique. L'algèbre linéaire se généralise en algèbre multilinéaire et algèbre tensorielle. Au début du XX siècle, sous l'impulsion de l'allemand Hilbert et du français Poincaré, les mathématiciens s'interrogent sur les fondements des mathématiques : logique et axiomatisation occupent le devant de la scène. Peano axiomatise l'arithmétique, puis les espaces vectoriels. La structure d'espace vectoriel et la structure d'algèbre sont approfondies par Artin en 1925, avec des corps de base autres que

\ _\mathbb R

\ _\mathbb C

et des opérateurs toujours plus abstraits. On doit aussi à Artin, considéré comme le père de l'algèbre contemporaine, des résultats fondamentaux sur les corps de nombres algébriques. Les corps non commutatifs amènent à définir la structure de module sur un anneau et la généralisation des résultats classiques sur les espaces vectoriels. L'école française « Nicolas Bourbaki », emmenée par Weil, Cartan et Dieudonné, entreprend de réécrire l'ensemble des connaissances mathématiques sur une base axiomatique : ce travail gigantesque commence par la théorie des ensembles et l'algèbre dans le milieu du siècle, et confirme l'algèbre comme langage universel des mathématiques. Paradoxalement, alors que le nombre de publications suit une croissance exponentielle à travers le monde, alors qu'aucun mathématicien ne peut prétendre dominer qu'une toute petite partie des connaissances, les mathématiques n'ont jamais autant paru unifiées qu'aujourd'hui.

Voir aussi

- Algèbre linéaire
- Algèbre multilinéaire
- Algèbre tensorielle
- Algèbre sur un corps
- Algèbre sur un anneau
- Algèbre de Boole
- Tribu (mathématiques)
- Algèbre de Clifford
- Algèbre de Lie
- Calcul algébrique (mathématiques élémentaires)
- Clôture algébrique
- Courbe algébrique
- Élément algébrique
- Entier algébrique
- Équation
- Équation algébrique
- Équation polynomiale
- Extension algébrique
- Géométrie algébrique
- Mesure algébrique
- Nombre algébrique
- Structure algébrique
- Surface algébrique
- Topologie algébrique

Bibliographie

- Adolf P. Youschkevitch, Les Mathématiques Arabes, VIIIe-XVe siècles, Ed. VRIN, Paris - 1976

Liens externes

- [http://members.aol.com/OlivThill/algebra.htm Sur l'origine de l'algèbre]
- [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/Mathematicians/Al-Khwarizmi.html Sur Al-Khwarizmi, mathématicien (en anglais)]
- [http://www.les-mathematiques.net/]

Équation (mathématiques élémentaires)

Equation (mathématiques elementaires) Une équation est une question, une égalité entre deux quantités algébriques. Cette égalité contient des inconnues. Résoudre l'équation, c'est trouver les valeurs des inconnues qui rendent vraie l'égalité. En voici des exemples :
-

a/5 = 8

, on cherche a
-

2b + 3 = 7

, on cherche b
-

-5 = c + c^2

- etc. L'inconnue (ou les inconnues s'il y en a plusieurs) peuvent s'appeler comme on le souhaite, il est préférable de choisir un nom facile à retenir vu la chose désignée, par exemple :
- Appeler c le côté d'un carré
- Appeler p le poids d'un objet, F une force
- Appeler n un nombre quelconque Les inconnues peuvent être des fonctions ou tout autre objet mathématique :
- Une équation fonctionnelle est par exemple trouver les fonctions f vérifiant pour tout a et b réels on a

f(a+b) = f(a) \times f(b)

- Une équation différentielle contient des dérivées, comme trouver les fonctions vérifiant pour tout x réel

f'(x) = 2f(x) + sin(x)

L'ensemble des nombres utilisés n'est pas nécessairement ℝ, il peut être étendu à ℂ ou limité à ℕ, voire concerner des objets non numériques comme des transformations du plan ou des objets algébriques abstraits.

Résolution des équations

Les équations se résolvent en respectant quelques règles de bon sens, qu'on peut interpréter comme déjà données par Euclide dans ses Éléments, les notions communes. Note : il s'agit d'une interprétation car Euclide ne traite pas d'équation (elles lui sont postérieures), il s'agit d'une application de ces notions communes aux équations modernes. D'ailleurs les deux dernières mises en italiques ne sont pas dans ses Éléments, elles sont ici parce qu'elles sont dans le même style que les autres. # Les grandeurs égales à une même grandeur, sont égales entr'elles. #: Donc si a=b et si b=c alors a=c, c'est la transitivité de l'égalité # Si à des grandeurs égales, on ajoute des grandeurs égales, les touts seront égaux. #: Ce qui veut dire qu'on a le droit d'ajouter des quantités égales de chaque côté d'une égalité # Si à des grandeurs égales, on retranche des grandeurs égales, les restes seront égaux. #: C'est la même chose que ci-dessus mais pour la soustraction # Si à des grandeurs égales, on multiplie des grandeurs égales, les produits seront égaux. #: Il faut prendre garde à ne pas multiplier par zéro sous peine de vite écrire n'importe quoi # Si à des grandeurs égales, on divise des grandeurs égales, les quotients seront égaux. #: Il faut prendre garde à ne pas diviser par zéro, et donc étudier les valeurs du quotient en conséquence En fait, ces transformations sont des fonctions qui ne changent pas les solutions de l'équation. En d'autres termes, les solutions de l'équation initiale et celles de l'équation après utilisation d'une notion commune sont les mêmes. Ce n'est pas le cas de toutes les fonctions, la fonction carré en est le premier exemple rencontré. Enfin, toutes les manipulations algébriques ou numériques habituelles sont autorisées dans chacun des membres de l'équation (factorisation, développement, réduction...).

Résolution d'équations particulières

- Une équation du premier degré est une équation qui se ramène à une équation du type

ax = b

- Une équation du second degré se ramène à

ax^2 + bx + c = 0

- Plus généralement une équation polynomiale à

a_nx^n + a_x^+...+a_1x+a_0 = 0

P(x)=0

avec P un polynôme
- Une équation différentielle fait intervenir une fonction inconnue f et ses dérivées en x, par exemple

f

(x) - f(x) = 3
- Une équation fonctionnelle fait intervenir une fonction inconnue f et ses variables, mais en la composant avec des opérations, par exemple $f(a \times b) + f(a) + f(b) = f(a) \times f(b)$
Voir aussi

- Équation
- Algèbre (mathématiques élémentaires) et Algèbre + et + = + + et - = + - et - = +

Identité remarquable (mathématiques élémentaires)

On appelle identités remarquables, en mathématiques, les égalités suivantes (et d'autres égalités analogues). Elles s'obtiennent, grâce à la propriété de distributivité de la multiplication, en développant et factorisant des expressions. Pour a et b deux nombres réels (ou plus généralement deux éléments d'un anneau commutatif quelconque), on a : ; Second degré
-

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

(a - b)(a + b) = a^2 - b^2

; Troisième degré
-

(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3

a^3 + b^3 = (a + b) (a^2 - ab + b^2)

a^3 - b^3 = (a - b) (a^2 + ab + b^2)

Utilité

Les identités remarquables sont une sorte de « boîte à outils » pour la factorisation : lorsque l'on reconnaît une identité remarquable, la factorisation devient évidente. Fac à un problème de factorisation, il peut être utile de noter les identités remarquable sur un brouillon afin de pouvoir les comparer à l'expression à factoriser.

Démonstrations algébriques

(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2

(grâce à la commutativité de la multiplication :

ab = ba

)

(a - b)^2 = (a - b)(a - b) = a^2 - ab - ba + b^2 = a^2 - 2ab + b^2

(a - b)(a + b) = a^2 + ab - ba - b^2 = a^2 - b^2

(a + b)^3 = (a + b)^2 (a + b) = (a^2 + 2ab + b^2)(a + b) = a^3 + 2a^2b + ab^2 +a^2b + 2ab^2 + b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

(a - b)^3 = (a - b)^2 (a - b) = (a^2 - 2ab + b^2)(a - b) = a^3 - 2a^2b + ab^2 -a^2b + 2ab^2 - b^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3

(a + b) (a^2 - ab + b^2) = a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3 = a^3 + b^3

L'identité avec

(a^3 - b^3)

s'obtient de celle avec

(a^3 + b^3)

en remplaçant b par -b.

Démonstrations géométriques

factorisation # Carré de somme ou de différence à la manière du livre II des Éléments d'Euclide. La figure ci-contre permet de justifier les deux premiers items du formulaire. ## On peut convenir que la figure représente un carré dont le côté est somme de deux valeurs a et b. Son aire vaut donc (a+b)². Mais elle s'obtient aussi par l'addition de l'aire du carré jaune (a²), des aires des rectangles verts (ab pour chacun) et de l'aire du carré violet (b²). ## On peut convenir aussi que a désigne le côté du grand carré et b le côté du carré jaune. L'aire du carré violet vaut donc (a-b)². Mais cette valeur peut s'obtenir en retranchant du grand carré d'aire a² deux rectangles jaunes et verts d'aire ab et en rajoutant une fois b² car l'aire de ce carré jaune a été soustraite deux fois.

Voir aussi

- Factorisation (mathématiques élémentaires)
- Identités remarquables catégorie:méthodologie en mathématiques

Inéquation (mathématiques élémentaires)

Une inéquation est une question, sous forme d'une inégalité entre deux quantités algébriques. Cette inégalité contient des inconnues. Résoudre une inéquation, c'est trouver les valeurs de ces inconnues qui rendent vraie l'inégalité. Il faut évidemment que le symbole < ou ≤ ait un sens. Il est donc nécessaire, en mathématiques élémentaires, que les inconnues appartiennent à l'ensemble des réels R ou à une partie de R. En particulier, il est impossible de travailler dans l'ensemble des complexes C. Exemples:
-

3c + 2 > 10 \,\!

t^2+3t \leq t - 1

3x+2y \geq 5

\sqrt < 2x - 3

Règles opératoires

La résolution des inéquations va demander la connaissance de quelques règles opératoires s'apparentant à celles déjà évoquées pour la résolution des équations mais avec de subtiles et fondamentales différences : :1. Transitivité de l'inégalité :: si a » ou deux inégalités « ≤ » ou deux inégalités « ≥ » :2. On peut ajouter un même nombre aux deux membres d'une inégalité sans en changer la nature. :: si a < b alors a + c < b + c :3. On peut soustraire un même nombre aux deux membres d'une inégalité sans en changer la nature. :: si a 0 alors ac < bc :: si on multiplie par un nombre négatif, l'inégalité change de sens ::: si a bc :5. On peut diviser par un même nombre strictement positif les deux membres d'une inégalité sans en changer la nature. :: si a 0 alors a/c < b/c :: si on divise par une nombre négatif, l'inégalité change de sens ::: si a bc A ces quelques règles, on ajoutera les quatre règles suivantes :
- l'inégalité est compatible avec l'addition, c'est-à-dire que l'on peut additionner membre à membre deux inégalités de même nature :: si a < b et a' < b' alors a + a' < b + b' :: mais on ne peut pas soustraire membre à membre deux inégalités de même nature (car une soustraction est une addition de l'opposé et que la prise de l'opposé change le sens de l'inégalité).
- l'inégalité est compatible avec la multiplication seulement pour des nombres positifs, c'est-à-dire que l'on peut multiplier membre à membre deux inégalités constituées de nombres positifs :: si 0 < a < b et 0 < a' < b' alors aa' < bb'
- La prise de l'opposé ou celle de l'inverse (pour des nombres de même signe) est une fonction décroissante, c'est-à-dire qu'elle change le sens de l'inégalité. :: si a -b :: si 0 < a 1/b :: si a 1/b
- la règle des signes : le produit de deux quantités de même signe est positif, le produit de deux quantités de signes opposés est négatif.

Résolution d'inéquations particulières

- Inéquation du premier degré
- Inéquation du second degré
- Inéquation se résolvant par tableau de signes
- Inéquation linéaires à plusieurs inconnues
- Inéquation avec racine carrée

Voir aussi

- Relation d'ordre
- Algèbre (mathématiques élémentaires)

Pourcentage

Un pourcentage est une façon d'exprimer une proportion ou une fraction dans un ensemble. Une expression comme « 45 % » (lue « 45 pour cent ») est en réalité la sténographie pour la fraction 45/100 dont l'écriture décimale est 0,45. Dans certaines situations, on préfère le terme de taux.

Histoire du symbole

À l'origine, les traités mathématiques en latin n'étaient pas notés à l'aide de chiffres et de symboles, mais uniquement en mots. Ainsi, l'expression de la fraction 1/100 s'écrivait unu per cento. Plus tard, vers 1425, cette écriture fut simplifiée, en placant un P couché sur le cento. Dès 1650, les traités abrégèrent également cento, ne gardant que le o final, ce qui donnait une forme presque similaire au % actuel, avec une barre horizontale au lieu de diagonale. Dès le début , le % gardera sa forme actuelle

Calculs élémentaires

Exemple 1 : Dans une assemblée de 50 personnes, il y a 31 femmes. Celles-ci représentent 62 % du total car 31/50 = 62/100 = 0,62. Exemple 2 : Un commerçant fait une remise de 6 € sur le prix d'un article coûtant 119 €. Le pourcentage de remise par rapport au prix est d'environ 5 % car 6/119 = 0,05042... Exemple 3 : Le prix hors taxes d'un objet est 119 €. Le taux de TVA est de 5 %. Celle-ci s'élève donc à 119 x 5 / 100 = 5,95 € et le prix TTC à 124,95 €.

Variation en pourcentage

Dans l'exemple de la TVA ci-dessus, le prix TTC peut s'obtenir en une seule opération grâce au coefficient multiplicateur : :119 x ( 1 + 5/100 ) = 119 x 1,05 = 124,95 Plus généralement, une augmentation de t % se traduit par une multiplication par ( 1 + t/100 ) et une diminution de t % par une multiplication par ( 1 - t/100 ) Des variations successives à taux fixe conduisent à des progressions géométriques. Ainsi, augmenter 35 fois de 2 % revient à multiplier par 1,02³⁵, c'est-à-dire quasiment par 2. Et diminuer 35 fois de 2 % revient à multiplier par 0,98³⁵, c'est-à-dire à diviser par un peu plus de 2.

Erreurs courantes

Une utilisation irréfléchie des pourcentages peut aboutir à des conclusions fausses.
- Exemple 1 : :Un journaliste a titré bravement « Le prix des CD a diminué de 700 % en 5 ans. » S'il voulait dire que leur prix avait été divisé par 7, il devait annoncer une diminution de 85,7 %.
- Exemple 2 : :Si un objet est vendu 100 € TTC avec un taux de TVA de 18,6 %, le montant de la TVA n'est pas de 18,60 € mais de 16,68 €. En effet, la formule est (Prix_HT)x1,186=(Prix_TTC) donc (Prix_HT)=(Prix_TTC)/1,186
- Exemple 3 : :Une augmentation de 20 % ne suffit pas à compenser une diminution du même taux. Il faudrait augmenter de 25 %, car (1-20/100)x(1+ 25/100)=1. Cette liste n'est pas exhausive ! Voir : pourmille parties par million

Liens externes

Pour apprendre sans peine : http://www.virtuel.bdeb.qc.ca/intermath/mathgen/menupri3.htm Catégorie:Mathématiques élémentaires ja:パーセント simple:Percent

Racine cubique

En mathématiques, la racine cubique d'un nombre y est un nombre x qui, élevé à la puissance 3 (c'est-à-dire multiplié par lui-même trois fois) vaut y ; en d'autres termes,

y = x^3

. La racine cubique de y est notée

\sqrt[3]

. Par exemple, la racine cubique de 8 est 2, car 2 × 2 × 2 = 8. La racine cubique tient son nom du cube : la racine cubique du volume d'un cube est la longueur des arêtes. On écrit : :

\sqrt[3] = 2

Formellement, la racine cubique d'un nombre réel (ou complexe) x est un réel (ou complexe) y solution de l'équation : : y³ = x, que l'on peut également noter comme un exposant : :

y = x^

La racine cubique est associative avec les exposants, distributive avec la multiplication et la division, mais pas avec l'addition ou la soustraction. Un complexe non nul possède trois racines cubiques. Un nombre réel possède une unique racine cubique, mais on peut en trouver deux autres si on exécute les calculs dans l'espace complexe, qui sont des conjuguées l'une de l'autre. Par exemple, les racines de l'unité (1) sont : :1,

-1 + \sqrti\over2

-1 - \sqrti\over2

. Si R est une racine d'un nombre réel ou complexe, les deux autres racines peuvent être retrouvées en multipliant R par les deux racines cubiques complexes de l'unité.

Voir aussi

- Racine carrée
- Racine
- Algèbre
- Exponentielle Catégorie:Algèbre

Logogrifo

Vorto > Logogrifo ---- Logogrifo estas enigmo, ĉe kiu oni devas laŭ proponitaj difinoj diveni je pluraj vortoj prezentantaj samajn literojn en diversaj aranĝoj (ekzemple kelo, kleo, leko), aŭ interdiferencantaj per po unu aldonita letero (no', eno, Leno, pleno, spleno, aspleno, taspleno). Logogrifo ankaŭ povas esti nekomprenebla frazo. ---- Vidu ankaŭ: anagramo - palindromo - ĉiuliteraĵo

hotels Amsterdam london cheap hotel aminokwasy technologie tablice

:: RELATED NEWS ::

Grand Game (The Price is Right pricing game)
Grand Game is a pricing game on the American television game show, "The Price is Right." It is played for a cash prize of $10,000, and uses grocery items.

Gameplay

The contestant is given $1 ($2 on primetime specials) and shown six grocery items and a "target price." Four of the items are below the target price, while two are higher. One at a time, the contestant selects items whose p

John Belchier
John Belchier (1706 - February 6, 1785) was a British surgeon. Belchier was surgeon at Guy's Hospital from 1736 to 1768. He was awarded the Copley Medal by the Royal Society in 1737. Belchier, John

Kim Seung-kew
Kim Seung-kew (also Kim Seung-gyu; hangul:김승규; hanja:金昇圭) is South Korean Minister of Justice and became head of the National Intelligence Service on July 5 2005. Category:South Korean politicians

Kim Seung Kew
Kim Seung-kew (also Kim Seung-gyu; hangul:김승규; hanja:金昇圭) is South Korean Minister of Justice and became head of the National Intelligence Service on July 5 2005. Category:South Korean politicians

Foreign Minister of the Netherlands
This page lists the ministers of Foreign Affairs of the Netherlands since 1940.
- Eelco Nicolaas van Kleffens 1940-1945
- Jan Herman van Royen 1945-1946
- Carel Godfried Willem Hendrik baron van Boetzelaer van Oosterhout 1946-1948
- Dirk Stikker 1948-1951
-

Richmond parks and open spaces
The London Borough of Richmond upon Thames lies to the south west of the conurbation. A large part of the borough is taken up with parks and open spaces, including some which attract both domestic and international tourism such as Richmond Park, Bushy Park, Kew Gardens, and Hampton Court Park; because

Teddy Mitchell

This article is being considered for deletion in accordance with Wikipedia's deletion policy .
Please share your thoughts on the matter at this article's

Alexander the Great (movie)
Alexander the Great was a 1956 movie starring Richard Burton, who played as Alexander the Great. The movie was directed by Robert Rossen.

Plot

The plot of the movie is about an epic that follows the life of Alexander the Great, the Macedonia