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Axiome

Axiome

catégorie:Raisonnement mathématiquecatégorie:Logique
- catégorie:épistémologie Le mot axiome vient du grec αξιωμα (axioma), qui signifie : qui est considéré comme digne ou convenable ou qui est considéré comme évident en soi. Pour certains philosophes grecs de l'antiquité cela représentait une affirmation qu'ils considéraient comme évidente et qui n'avait nul besoin de preuve. Le mot vient de αξιοειν (axioein), signifiant considérer comme digne, lui-même dérivé de αξιοσ (axios), signifiant digne. En épistémologie, un axiome est une vérité évidente en soi sur laquelle une autre connaissance peut se reposer, autrement dit peut être construite dessus. Précisons que tous les épistémologues n'admettent pas que les axiomes, dans ce sens du terme, existent. Dans certains courants philosophiques, comme l'objectivisme, le mot « axiome » a une connotation particulière. Un énoncé est axiomatique s'il est impossible de le nier sans se contredire. Exemple : « Il existe une vérité absolue » ou « Le langage existe » sont des axiomes. En mathématiques le mot axiome désigne une proposition qui est évidente en soi dans la tradition mathématique grecque, comme dans les Éléments d'Euclide ; actuellement un axiome représente plutôt un point de départ dans un système de logique (cf. Robert Blanché). Par exemple, dans certains anneaux, l'opération de la multiplication est commutative, et dans d'autres elle ne l'est pas; ces anneaux dans lesquels la loi est commutative satisfont l'« axiome de la commutativité de la multiplication ». On a longtemps confondu axiome et postulat, bien qu’on les différencie déjà dans les Éléments d'Euclide (les axiomes sont évidents alors qu’on demande d’admettre les postulats). Des axiomes servent de base élémentaire pour un système de logique formelle qui avec des règles d'inférence, définissent une logique. Par exemple, on peut définir une arithmétique simple, comprenant une addition, en posant (en s'inspirant un peu de Peano) : # un nombre noté 0 existe # tout nombre X a un successeur noté succ(X) # X+0 = X # succ(X) + Y = X + succ(Y) Beaucoup de théorèmes peuvent être démontrés à partir de ces axiomes. En utilisant ces axiomes, et en définissant les mots usuels 1, 2, 3, et ainsi de suite pour désigner les successeurs de 0 succ(0), succ(succ(0)), succ(succ(succ(0))) respectivement, nous pouvons démontrer ce qui suit: :succ(X) = X + 1 et :1 + 2 = 1 + succ(1) Expansion de l'abréviation (2 = succ(1)) :1 + 2 = succ(1) + 1 Axiome 4 :1 + 2 = 2 + 1 Expansion de l'abréviation (2 = succ(1)) :1 + 2 = 2 + succ(0) Expansion de l'abréviation (1 = succ(0)) :1 + 2 = succ(2) + 0 Axiome 4 :1 + 2 = 3 Axiome 3 et utilisation de l'abréviation (succ(2) = 3) Tout résultat que nous pouvons déduire des axiomes n'a pas besoin d'être un axiome. Toute affirmation qui ne peut être déduite des axiomes et dont la négation ne peut pas non plus se déduire de ces mêmes axiomes, peut raisonnablement être ajoutée comme axiome. Probablement le plus ancien et aussi le plus célèbre système d'axiomes est celui des 4+1 postulats d'Euclide. Ceux-ci s'avèrent être assez incomplets actuellement, et beaucoup plus de postulats sont nécessaires pour caractériser complètement la géométrie d'Euclide (Hilbert en a utilisé 26 dans son axiomatique de la géométrie euclidienne). Je précise ici 4+1 parce que le cinquième postulat (par un point en dehors d'une droite, il passe exactement une parallèle à cette droite) a été suspecté d'être une conséquence des 4 premiers pendant presque deux millénaires. Finalement, le cinquième postulat s'est avéré être indépendant des quatre premiers. En effet, nous pouvons supposer qu'aucune parallèle ne passe par un point situé en dehors d'une droite, ou qu'il existe une unique parallèle, ou encore qu'il en existe une infinité. Chacun de ces choix nous donne différentes formes alternatives de géométrie, dans lesquelles les mesures des angles intérieurs d'un triangle s'ajoutent pour donner une valeur inférieure, égale ou supérieure à la mesure de l'angle formé par une droite (angle plat). Ces géométries sont connues en tant que géométries elliptiques, euclidiennes et hyperboliques respectivement. La théorie générale de la relativité est basée essentiellement sur une affirmation que la masse donne à l'espace une géométrie hyperbolique. Le fait que des formes alternatives de géométrie pouvaient exister, préoccupa beaucoup les mathématiciens du et dans des développements semblables, par exemple en algèbre booléenne, ils faisaient généralement des efforts pour déduire les résultats des systèmes d'arithmétique ordinaire. Galois eut le temps de montrer avant de mourir en duel à 22ans, que tous ces efforts étaient en grande partie gaspillés, et que les développements parallèles des systèmes axiomatiques pouvaient être utilisés à bon escient, de la même manière qu'il résolut algébriquement beaucoup de problèmes de géométrie classique. Finalement, les similitudes abstraites existant entre les systèmes algébriques furent perçues comme plus importantes que les détails et l'algèbre moderne était née. Au , le théorème d'incomplétude de Gödel prouve qu'aucune liste explicite d'axiomes suffisamment grande pour former la base des mathématiques ordinaires, ne pourrait être à la fois complète (chaque proposition peut être démontrée ou réfutée) et consistante (aucune proposition ne peut être à la fois démontrée et réfutée).

Voir aussi


- Axiomes IST de l'analyse non standard
- Axiomatisation
- Axiome d'antifondation
- Axiome d'Archimède
- Axiome du choix
- Axiome de la paire
- Axiome de la réunion
- Axiome de l'ensemble des parties
- Axiome de l'ensemble vide
- Axiome de l'infini
- Axiome de fondation
- Axiome de Pasch
- Axiome de régularité
- Axiome de remplacement
- Axiome d'extensionnalité
- Axiome de la borne supérieure
- Axiome de séparation
- Axiomes de Hilbert de la géométrie euclidienne
- Axiomes de Peano
- Axiomes des probabilités
- postulat de la droite parallèle
- Mathématiques renversées
- Axiomes selon R. Blanché
- Système axiomatique
- Théorie axiomatique des ensembles

Lien externe


- [http://metamath.planetmirror.com/mpegif/mmset.html#axioms Metamath axioms page] ja:公理 ko:공리

Catégorie:Logique

Catégorie:Sciences Catégorie:Philosophie Catégorie:Sciences formelles

Article principal


- Logique

Catégories connexes


- :Catégorie:Mathématiques
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Philosophe

Catégorie:Philosophie Un philosophe est une personne pratiquant la philosophie, et puisqu'il y a certainement autant de manières de la pratiquer qu'il y a de philosophes, il n'est pas facile de décrire brièvement ce que peut être un philosophe ; néanmoins, l'idée la plus générale que l'on peut s'en faire est sans doute celle d'un homme qui dispose sa vie et sa pratique (ses valeurs et ses actions), suivant des considérations théoriques, i.e suivant des principes.

Quelques aspects du philosophe

Vocation de base

Un des traits les plus caractéristiques est certainement que le philosophe fait de la philosophie une activité libre à laquelle il consacre sa vie, i.e. qu'il s'agit d'une vocation. Mais cette vocation s'entend elle aussi de plusieurs manières : par exemple, la philosophie suppose un certain genre de vie, ce que l'on appelle une sagesse, ou un art de vivre. L'idée de vocation sera développée plus bas dans l'article... De plus, la plupart des grands philosophes étaient aussi des scientifiques pratiquant plusieurs disciplines. L'ensemble de ces disciplines leur permettait de se construire une représentation de l'univers comportant plusieurs perspectives plus ou moins solidaires (biologique, physique, philosophique, etc).

Le philosophe dans la culture occidentale

La valorisation de la connaissance dans la culture occidentale fait que le philosophe est largement considéré, à tort ou à raison, comme le sommet du prestige intellectuelle. Mais ce statut est aussi souvent remis en cause, et cela pour des raisons qui apparaissent depuis l'Antiquité, comme par exemple l'utilisation de la philosophie par des opportunistes, ou parce qu'il arrive qu'il y ait des malentendus sur ce que l'on peut attendre de la philosophie. Ce prestige de la philosophie a aussi souffert du développement du monde moderne et de la professionalisation de cette discipline. Dans le monde moderne, la philosophie peut en effet paraître inutile, d'une part face aux sciences qui prétendent parfois être la source unique de la connaissance, d'autres part face au idéaux de confort et de bien-être des sociétés démocratiques, idéaux soutenus par la science (mais au bénéfice d'une partie de la population mondiale). L'esprit moderne n'est donc peut-être pas compatible avec la discipline de l'esprit et de la vie exigée par une pratique de la philosophie qui ne semble pas rentable. Bien plus, au yeux du philosophe, la culture moderne comporte bien des aspects pour le moins douteux. Le philosophe peut donc apparaître soit comme un vestige archaïque de temps révolus, soit au contraire comme un défenseur d'une vie authentique menacée par la rationalisation outrancière des sociétés marchandes et par la dévalorisation que fait subir de tels systèmes de consommation aux individus. Ainsi, si la place des philosophes dans la société est un problème soulévé depuis Platon, ce problème est remarquable aujourd'hui par la force avec laquelle il se pose : il remet en cause la légitimité même de la philosophie.

Le philosophe dans la société

Conditions matérielles


- Développement des arts (artisanat et art) : l'accumulation des savoirs purement pratiques aboutit à une systématisation des connaissances dans la science et dans la philosophie ; par exemple, le savoir pratique des arpenteurs égyptiens permet la géométrie comme science.
- Production esclavagiste : il y a une séparation entre les hommes :
  - les esclaves, en vue de satisfaire les besoins matériels ;
  - les hommes libres, qui peuvent se livrer à une activité désintéressée (science, politique, philosophie, au sens où ce n'est pas l'utilité immédiate qui est visée).
- Liaison avec la mer : la navigation et le commerce permettent des rencontres avec d'autres cultures. Comme on le voit, le philosophe est loin de naître grâce à un système démocratique tel que nous le concevons aujourd'hui. Il ne faut pas oublier que la démocratie antique est esclavagiste.

Rôle social et politique

Bien que l'on croit souvent que le travail du philosophe puisse servir à répondre à des questions touchant les hommes en général, ou les hommes d'une société en quête de valeurs, il n'est pas certain que cela soit sa tâche première. En particulier, on peut se demander si un philosophe a vocation à intervenir dans des débats d'actualité, comme si son statut réel ou non de penseur lui donnait une supériorité intellectuelle sur les autres hommes. Par exemple, sur un débat concernant la société, en quoi un philosophe est-il mieux placé que n'importe quel citoyen ? Il est plus probable qu'en réalité un philosophe use de son prestige pour intervenir dans un débat. Or, ceci non seulement paraît fort peu philosophique, mais peut nuire à la philosophie surtout lorsque ce pouvoir médiatique met en lumière l'opportunisme de certains intellectuels. Cette dernière attitude est surtout une tradition continentale. Il semble donc que dans une société un philosophe n'ait pas particulièrement vocation à penser le quotidien, l'actualité, et toute la cacophonie internationale. S'il agit, c'est plutôt comme un autre, i. e. comme citoyen ou comme être humain. Pourtant, s'il est vrai que la philosophie est aussi un art de vivre, il parait naturel que les autres hommes viennent le consulter notamment lorsque les valeurs se perdent, et que personne ne sait plus ce qu'il en est de la valeur des actions humaines. Cela arrive en effet lorsqu'il y a de grands bouleversements politiques. On explique ainsi le succès de l'éthique pendant la période hellénistique, à un moment où les cadres de la cité s'effondrent. La philosophie serait alors la planche de salut. Mais cette conception qui demande à la philosophie des solutions contre le chaos extérieur et intérieur (angoisse, malheurs, souffrances morales, etc.) suppose sans doute un oubli de la perspective propre de celui qui vit pour la pensée. En effet, si l'art de vivre du philosophe est une sagesse, alors cette sagesse est au moins idéalement indépendante des contingences historiques. Ce n'est donc que par accident que le philosophe se trouve dans la position du « thérapeute » de la culture. Mais le problème, au moins dans cette perspective, reste le même : ou bien le philosophe aspire à la sagesse, et son sentiment est qu'il n'appartient à aucune société (il est cosmopolite comme les Stoïciens) ; ou bien il aspire à réformer les hommes et la société, et dans ce cas il risque de se voir réduit au rôle de moraliste. En revanche, à certaines périodes de l'histoire, le philosophe semble avoir pu jouer un rôle à sa mesure, et en particulier un rôle politique plus ou moins important. C'est le cas de certains Présocratiques, qui chercherent à favoriser une union des cités grecques que des conflits incessants menaient à leur perte.

Bibliographie


- Gorgias, Platon
- Protagoras, Platon
- Apologie de Socrate, Platon
- Phédon, Platon
- Théétète, Platon
- Métaphysique, livre A, Aristote
- Lettres, Epicure
- Discours de la Méthode, Descartes
- Problèmes philosophiques, Bertrand Russell
- Philosophie par gros temps, Vincent Descombes
- La demande philosophique, Jacques Bouveresse
- Le Monde de Sophie, Jostein Gaarder

Citations


- "Le philosophe consume sa vie à observer les hommes et il use ses esprits à en démêler les vices et le ridicule" (La Bruyère)
- "Les vrais philosophes passent leur vie à ne point croire ce qu'ils voient et à tâcher de deviner ce qu'ils ne voient point" (Fontenelle)
- "L'esprit philosophique est un esprit d'observation et de justesse qui rapporte tout à ses véritables principes." (Diderot)
- "J'estime philosophe tout homme, de quelque degré de culture qu'il soit, qui essaye de temps à autre de se donner une vision d'ensemble, une vision ordonnée de tout ce qu'il sait, et surtout de ce qu'il sait par expérience directe, intérieure et extérieure." (Paul Valéry)
- "Le philosophe se reconnaît à ce qu'il a inséparablement le goût de l'évidence et le sens de l'ambiguïté." (Maurice Merleau-Ponty)
- "La philosophie c'est creer des concepts."(Gilles Deleuze)

Voir aussi


- Sagesse
- Philosophie
- Raison
- Philosopher
- Liste des philosophes par année de naissance
- Liste des écoles philosophiques

Lien Externe


- [http://wikisource.org/wiki/Le_Philosophe Le Philosophe de Du Marsais]
- [http://dmoz.org/Society/Philosophy/Philosophers/ Philosophers sur l'Open Directory]

Mathématiques

Les mathématiques peuvent être définies de plusieurs façons, complémentaires :
- la science des nombres et de l’espace
- la science des formes de déduction
- la science des structures, des modèles ou de tous les mondes possibles On pourrait aussi parler de la Mathématique pour souligner que les diverses composantes de celle-ci (algèbre, analyse, géométrie, etc.) sont en fait seulement des façons différentes d'étudier ou de créer des systèmes structurés par des relations (notion généralisée de graphes). Dans cette optique la mathématique est vue comme un édifice à construire ou à reconstruire. Mathématique vient du grec μάθημα (mathêma), science, connaissance, apprentissage (mathematikos : qui aime apprendre). L’origine historique des mathématiques est liée à leurs applications concrètes, le commerce, la mesure des surfaces, la prédiction des évènements astronomiques. L'adjectif mathématique qualifie tout objet, concept ou terme relatif aux mathématiques. Dans ce sens il s'accorde au mot auquel il est associé, contrairement au terme qui désigne la science des mathématiques, qui est le plus souvent employé au pluriel. La Mathématique, au singulier, n'est plus guère usitée que de manière didactique. L'expression « c'est mathématique » signifie qu'il existe une logique interne et inéluctable propre à l'évènement ou à la série d'évènements ainsi commentée. :« La possibilité même de la science mathématique semble une contradiction insoluble. Si cette science n'est déductive qu'en apparence, d'où lui vient cette parfaite rigueur que personne ne songe à mettre en doute ? Si, au contraire, toutes les propositions qu'elle énonce peuvent se tirer les unes des autres par les règles de la logique formelle, comment la mathématique ne se réduit-elle pas à une immense tautologie ? Le syllogisme ne peut rien nous apprendre d'essentiellement nouveau et, si tout devait sortir du principe d'identité, tout devrait aussi pouvoir s'y ramener. » ::Henri Poincaré, La Science et l'hypothèse

Définitions des mathématiques

La science des nombres et de l’espace

L'étude des mathématiques commence avec les nombres, tout d'abord avec les nombres naturels et les nombres entiers. Les règles gouvernant les opérations usuelles sur les nombres (addition, multiplication, soustraction, division) font partie de l'arithmétique élémentaire. L'algèbre élémentaire est fondée sur l'abstraction de ces règles. L'étude des surfaces simples (polygones, cercles,...) forme la géométrie élémentaire...

La science des formes de déduction

Une déduction consiste à partir de prémisses pour arriver à une conclusion en procédant par des étapes logiques. On peut dire que toutes les sciences sont mathématiques, même l’histoire, au sens où elles font toutes des déductions, et parce qu’une déduction a toujours quelque chose de mathématique, pourvu qu’elle soit juste. Cependant, en mathématiques, l’étude de la forme du raisonnement, indépendamment de ses objets, a une importance cruciale. Montrons-le sur un exemple. Les mêmes axiomes, ceux des espaces vectoriels, peuvent être utilisés à la fois pour étudier des espaces géométriques, l’espace euclidien par exemple et pour étudier l’ensemble des solutions d’une équation différentielle linéaire. Les théorèmes sur les espaces vectoriels sont donc valables à la fois pour la géométrie euclidienne et pour les équations différentielles linéaires. On peut considérer que la théorie abstraite des espaces vectoriels consiste à étudier toutes les déductions qui partent des mêmes axiomes, indépendamment des objets auxquels ils sont appliqués. On étudie alors les formes de déduction et non les objets auxquels ces formes sont appliquées. Cette définition convient bien aux mathématiques appliquées. De nombreuses théories abstraites (les nombres entiers et réels, les fonctions réelles de variable(s) réelle(s) et les équations différentielles, les espaces vectoriels, les groupes, la théorie des probabilités, ...) ont une utilité générale pour toutes les sciences, parce qu’elles peuvent être appliquées à de nombreux objets. Le travail des mathématiques appliquées consiste à développer des théories, dont la valeur est universelle, en vue d’aider les autres sciences dans leurs recherches des conséquences.

La science de tous les mondes possibles

Pour un mathématicien, rien n’est impossible, sauf ce qui est contradictoire. Par là, on veut dire qu’un discours non-contradictoire parle d’un monde concevable, imaginable, idéal. Les mondes possibles sont parfois appelés des structures, lorsqu’ils sont très abstraits, ou des modèles. De ce point de vue, la mathématique est la théorie de tout ce qu’on peut imaginer. On croit souvent à tort que la connaissance de tous les possibles est une ambition démesurée et irréalisable mais elle ne l’est pas. Elle est à notre portée. Il est même très facile de connaître des vérités universelles, valables pour tous les possibles, le principe du tiers exclu par exemple. Tout énoncé sur un monde possible y est ou bien vrai, ou bien faux. Ce n’est pas forcément très intéressant mais c’est un début. Le travail des mathématiques pures consiste à augmenter notre capacité à connaître tous les possibles. Il se trouve qu’il y a des théories particulières (les nombres, les groupes, ...) qui jouent un rôle privilégié dans cette connaissance, et qu’elles sont souvent, mais pas toujours, les mêmes que celles qui intéressent les mathématiques appliquées. C’est pourquoi les structures étudiées ont souvent leur origine dans les sciences naturelles, plus communément en physique. Toutefois, un grand nombre de structures sont purement internes aux mathématiques, unifiant différents champs d'application ou étant des outils aidant aux calculs. En fait, les mathématiques sont la science de la mesure.

La logique et les théories des ensembles

La logique énonce les règles, ou principes, qu’il faut respecter pour faire des déductions correctes. Les théories des ensembles sont des théories très générales qui permettent de formuler et de prouver toutes les connaissances mathématiques.
- Fondation des mathématiques Logique
- Logique
- Calcul propositionnel
- Calcul des prédicats
- Déduction naturelle
- Logiques modales
- Théorie des modèles
- Incomplétude Théories des ensembles
- Théorie des ensembles
- Axiomes de Zermelo-Fränkel
- Théorie des catégories

L’arithmétique et les mathématiques discrètes

Arithmétique
- Théorie des nombres
- Congruences
- Divisibilité
- PGCD / PPCM
- Théorème de d'Alembert-Gauss
- Identité de Bézout
- Petit théorème de Fermat
- Équations diophantiennes
- Cohérence des axiomes de l'arithmétique formelle
- Cryptologie
- Fonctions L
- Dernier théorème de Fermat Mathématiques discrètes
- Mathématiques discrètes
- Théorie des graphes

Les géométries


- Géométrie
- Coupe pentagonale de la pyramide à base carrée
- Géométrie euclidienne
- Géométries non euclidiennes
- Écrire les figures de la géométrie
- Géométrie projective
- Géométrie différentielle
- Géométrie algébrique
- Géométrie non commutative
- Courbe plane
- Orientation
- Anamorphose Trigonométrie
- Trigonométrie classique et formules
- Trigonométrie sphérique

L’algèbre


- Algèbre
- Structure algébrique
- Algèbre élémentaire
- Algèbre abstraite
- Théorie des catégories
- Théorie des groupes
- Algèbre linéaire
- Algèbre multilinéaire
- Théorie de la représentation

L’analyse et la topologie

Analyse
- Analyse
- Suites
- Séries
- Analyse réelle
- Nombres complexes, Analyse complexe
- Analyse fonctionnelle
- Algèbre des opérateurs
- Analyse p-adique
- Analyse rigide
- Équations différentielles
- Équations aux dérivées partielles
- Analyse non standard
- Analyse vectorielle
- Intégrale de Lebesgue
- Intégrale de Riemann
- Développement limité Topologie
- Topologie
- Espaces topologiques
- Espaces métriques
- Topologie algébrique
- Théorie des nœuds
- Théorie des tresses
- K-théorie

La théorie des probabilités


- Probabilités
- Statistiques

Mathématiques appliquées

Les domaines des mathématiques appliquées utilisent la connaissance des mathématiques à fin de résolution des problèmes du monde réel.
- Recherche opérationnelle
- Optimisation
- Modèle mathématique
- Probabilité
- Statistiques
- Mathématiques financières
- Mathématiques commerciales

Mathématiques récréatives


- Mathématiques récréatives
- Jeux mathématiques

Mathématiques élémentaires (non universitaires)


- Mathématiques élémentaires
- Algèbre élémentaire
- Analyse élémentaire
- Arithmétique élémentaire
- Géométrie élémentaire
  - Aire de surfaces usuelles
  - Solides usuels
  - Volume de solides usuels
- Logique élémentaire
- Probabilité élémentaire
- Statistique élémentaire Statistique élémentaire Techniques de calcul
- Techniques de calcul mental
- Règle à calcul
- Boulier
- Liste des articles de technique de calcul
- Critère de divisibilité
- Calculs de longueur

Histoire des mathématiques


- Histoire des mathématiques
- Histoire des polynômes
- Histoire du calcul infinitésimal

Voir aussi

Annexes


- Wikipédia:Index thématique
- Mathématiciens célèbres
- Abréviations en mathématiques
- Associations de mathématiciens
  - :en:Clay Mathematics Institute
  - Association Bourbaki
  - Femmes et mathématiques
  - Société Mathématique de France
  - Société de Mathématiques Appliquées et Industrielles
- Concours de mathématique
  - Olympiades de mathématiques
- Médaille Fields
- Nombre
- Norme d'opérateur
- Numération
  - Numération romaine
- Tables
  - Table d'addition
  - Table de multiplication
  - Table des bases
  - Table des diviseurs
  - Table des facteurs premiers
  - Table des symboles mathématiques
  - Table de constantes mathématiques
  - Table de limites
  - Table de dérivées
  - Table de primitives
  - Table d'intégrales

Liens internes


- Conjecture
- Construction des objets courants
- Erreur de signes
- Langage formel mathématique
- Liste des articles de mathématiques
- Liste des fonctions mathématiques
- Liste des nombres
  - Ordre de grandeur (nombre)
- Nombre figuré
- Liste des 23 problèmes de Hilbert
- Vocabulaire multilingue mathématique

Liens externes


- [http://math-editor.sourceforge.net/fr Barre Maths] Un modèle libre pour Microsoft Word permettant d'écrire des formules mathématiques très efficacement
- [http://www.apprendre-en-ligne.net/madimu/ Madimu] Un cours complet sur tous les thèmes traités de la 1ère à la 3e année de lycée... en Suisse
- [http://dmoz.org/World/Fran%c3%a7ais/Sciences/Math%c3%a9matiques/ Répertoire Mathématiques dmoz.org]
- [http://www.les-mathematiques.net www.les-mathematiques.net] Cours de qualité niveau deug/licence/agreg
- http://planetmath.org/ : encyclopédie collaborative, libre (GFDL) en anglais sur les mathématiques.
- [http://www.ilemaths.net l'île des mathématiques] : cours et exercices pour le collège et lycée, forums d'entraide scolaire.
- [http://www.mathematex.net/phpBB2/index.php MathemateX] Forum d'entraide mathématiques avec support Latex
- [http://www.maths-forum.com/ Forum Mathématiques] Forum d'entraide mathématiques
- [http://www.ac-creteil.fr/Colleges/93/jmoulinmontreuil/mathematiques/menu/frameset.html Maths au collège :] animations Flash illustrant les plus célèbres démonstrations du théorème de Pythagore, des illusions d'optique et des courbes du plan tracées dynamiquement (hypocycloïdes...).
- [http://maxima.sourceforge.net/ Maxima], le logiciel libre (GPL) le plus sophistiqué pour les opérations algébriques.
- [http://pari.math.u-bordeaux.fr/ PARI/GP], un logiciel libre très utilisé en théorie des nombres.
- [http://www.chez.com/ophtasurf/illusion.htm Illusions d'optique] : des centaines d'illusions d'optique géométriques
- [http://perso.wanadoo.fr/jpq/ perso.wanadoo.fr/jpq/] propose des animations Java pour illustrer des notions de mathématiques et en particulier de probabilités.
- [http://perso.wanadoo.fr/gilles.costantini Bac à Maths] des documents étoffés pour le lycée et les études supérieures.
- [http://www.mathprepa.com Mathprépa.com] : une zone de mathématiques pour étudiants en classes préparatoires
- [http://www.xasa.com/directorio/mozilla/Top/World/Fran%c3%a7ais/Sciences/Math%c3%a9matiques/ Répertoire, Usenet]
- [http://www.forum.math.ulg.ac.be/ Math en ligne] : Forum d'aide en math fait par l'université de Liège
- [http://www.chronomath.com/ Chronomath] : Une chronologie des mathématiques très riche.
- [http://www.maths-express.com/ Maths-Express] : Des annales pour le baccalauréat, concours général et olympiades.
- [http://forum.maths-express.net/ Forum de maths] : Pour les élèves de lycée préparant le baccalauréat, le concours général ou les olympiades.
- [news:fr.sci.maths Forum Usenet francophone]; ses [http://groups.google.fr/groups?q=insubject%3AFAQ+OR+insubject%3Aconseils+group%3Afr.sci.maths&scoring=d&filter=0 FAQ et CU]
- [news:fr.education.entraide.maths Forum francophone d'entraide]
- [http://groups.google.fr/groups?q=sci.math Forums Usenet anglophones]
- [http://mathworld.wolfram.com/ La plus complète des ressources en Mathématiques (en anglais)]
- [http://www.contraintes.net Un site consacré aux contraintes artistiques volontaires] et sa rubrique dédié aux [http://www.contraintes.net/index.php/Bande_dessin%C3%A9e_%C3%A0_contraintes mathématiques à contraintes]
- [http://www.aromath.net @romath] Un site entièrement consacré aux mathématiques et à leur enseignement dans les lycées français.
- [http://www.SoSMath.be SoSMath.be:Forum d'aide en Math (SoSMath.fr)]
- [http://www.aide-en-maths.com: Forum d'aide en Maths pour le secondaire (aide-en-maths.com)]
- ja:数学 ko:수학 ms:Matematik simple:Mathematics th:คณิตศาสตร์ zh-min-nan:Sò·-ha̍k

Robert Blanché

Robert Blanché : philosophe des sciences français du XXe siècle, il a écrit de nombreux ouvrages abordant les mathématiques sous un angle philosophique.

Ouvrages


- La Notion de fait psychique, essai sur les rapports du physique et du mental – 1934, ed. PUF.
- Le Rationalisme de Whewell – 1935, ed. PUF.
- Whewell : de la construction de la science – 1938, ed. J. Vrin
- La Science physique et la réalité : réalisme, positivisme, mathématisme - 1948, ed. PUF
- Les Attitudes idéalistes – 1949, ed. PUF
- L’Axiomatique – 1955, ed. P.U.F. coll. Quadrige, 112p.
- Introduction à la logique contemporaine - 1957, ed. Armand Colin, coll Cursus, 205p.
- Structures intellectuelles, essai sur l’organisation systématique des concepts - 1966, ed. J. Vrin
- Raison et discours, défense de la logique réflexive – 1967, ed. J. Vrin
- La Méthode expérimentale et la philosophie de la physique – 1969, ed. Armand Collin, 384p
- La logique et son histoire d’Aristote à Russell (avec Jacques Dubucs) – 1970, ed. Armand Colin, coll. U Philosophie, 112p
- L’Épistémologie - 1972 ; ed. PUF
- Le Raisonnement – 1973, ed. PUF
- L’Induction scientifique et les lois naturelles – 1975, ed. PUF

Les axiomes en mathématiques selon Blanché

Cette partie résume sommairement l’idée exprimée par R. Blanché dans le premier chapitre de l’Axiomatique.

La géométrie_euclidienne

Le mathématicien grec Euclide est l’auteur des Éléments, ouvrage ayant servi de base à la géométrie classique pendant des siècles. C’est un exemple quasiment parfait de théorie déductive. Chaque démonstration élémentaire s’appuie sur un ensemble d’hypothèses clairement définies, et s’oblige à démontrer tout résultat sans jamais demander au lecteur d’admettre une proposition externe (non contenue dans les hypothèses). En cascadant judicieusement nombres de démonstrations élémentaires, de telle sorte que la conclusion de l’une devienne hypothèse de la suivante, il est possible de démontrer un très grand nombre de résultats à partir d’un jeu d’hypothèses premières (car il faut bien commencer quelque part) très réduit, et dont la véracité ne fait pas de doute. L’aspect empirique est alors réduit au minimum pour justifier les hypothèses premières. En pratiquant le doute, Descartes a tenté de pousser la théorie déductive jusqu’au bout. Partant d’une vérité absolue non empirique (« Je pense donc je suis ») comme hypothèse première, puis en chaînant les démonstrations élémentaires, il semble possible, étape par étape, de démontrer en quelque sorte « la véracité de l’univers »…

Échec de l’idéal déductif

Malheureusement, deux obstacles s’opposent à la réalisation de l’idéal déductif cartésien. D’abord, sans remettre en cause le « je pense donc je suis » de Descartes, il n’est pas possible d’en déduire quoi que ce soit : aucune démonstration ne peut utiliser cette vérité absolue pour hypothèse. Par ailleurs, la théorie d’Euclide n’était pas parfaitement déductive : il avait dû faire appel, pour ne pas rester bloqué, à des principes. C’est-à-dire des propositions qui, bien qu’elle semblent évidentes, n’ont pu être démontrées. L’un de ces principes affirme qu’étant donné une droite et un point quelconque, il ne passe par ce point qu’une et une seule parallèle à la droite. Si l’existence d’une telle droite a pu être démontrée (il suffit d’en trouver une), son unicité a résisté à toute tentative de preuve pendant des siècles. Faces aux échecs répétés de la démonstration directe, les mathématiciens se sont orientés vers une démonstration par l’absurde : en prenant pour hypothèse que le nombre de parallèles puisse être supérieur à un, il s’agit alors de parvenir à démontrer un résultat dont on sait par ailleurs (par une autre démonstration) qu’il est faux. Or si les mathématiciens parviendront fort bien à démontrer nombres de résultats à partir de cette hypothèse, ils ne « tomberont » jamais sur une contradiction. Il faudra bientôt réviser ses positions : il est parfaitement possible, mathématiquement, de construire une théorie cohérente ayant pour postulat un nombre indéterminé de parallèles. La géométrie euclidienne n’est que le cas particulier où ce nombre vaut un.

Théorie hypothético-déductive

L’avènement de la Géométrie non euclidienne va mettre un terme à l’idéal déductif. Il ne s’agira plus alors de raisonner juste à partir d’hypothèses vraies, puisque l’apparente véracité du principe des droites parallèles ne découlait finalement que de l’impossibilité de se représenter d’autres possibilités dans notre monde réel régi par la géométrie euclidienne. Il est désormais acceptable de choisir des hypothèses folkloriques et d’en tirer par démonstration un résultat tout aussi folklorique. Qu’importe, du moment que le raisonnement, lui, est valide. On exigera en général du jeu d’hypothèses non pas qu’elle soient vraies mais seulement qu’elles ne soient pas contradictoires (consistantes). Ce n’est en fait pas une obligation. Mais partant de deux hypothèses contradictoires, on sait par avance - avant même de s’engager dans toute démonstration - qu’il est possible de prouver une chose et son contraire, ce qui en limite considérablement l’intérêt. Rendant obsolète l’idéal d’une théorie définitive partant d’une proposition vraie de manière absolue, la théorie devient hypothético-déductive : :- aussi loin que l’on remonte dans la chaîne des démonstrations, il faut toujours, à un moment, se donner des hypothèses de départ qui soient admises ; :- il est possible de démontrer à peu près tout et n’importe quoi, pour peu que l’on choisisse judicieusement les hypothèses de départ.

Axiomes et définitions

Toute théorie déductive nécessite donc comme point de départ des propositions non démontrées, qu’on appellera indifféremment postulats ou axiomes. De plus, il est courant, dans le cadre d’une démonstration mathématique, d’énoncer dès le départ un certain nombre de définitions. Or contrairement à une idée répandue, une définition ne saurait être un point de départ. Lorsqu’on définit un segment [AB] par l’ensemble des points de la droite (AB) compris entre les points A et B, il faut bien déjà connaître ce qu’est un point, une droite, un ensemble, ou ce que signifie pour des points qu’être compris entre… Il s’agit là du paradoxe du dictionnaire : bien que tous les mots y soient définis, il faut bien au préalable en connaître quelques-uns pour pouvoir l’utiliser. Aussi, toute théorie déductive repose d’une part sur des axiomes (propositions admises), à partir des quels on va démontrer de nouvelles propositions, et d’autre part sur des termes non définis, servant précisément à en définir de nouveaux.

Démontrer, convaincre

Qu’est ce qu’une bonne démonstration ? Le terme est ambigu : du point de vue de la logique, une bonne démonstration est celle qui n’utilise que les axiomes et les termes de départ, sans jamais faire (involontairement) appel à une notion externe. Ce n’est déjà pas une mince affaire, tant il est facile qu'une notion soit implicitement cachée. Une bonne démonstration se doit alors d’être rigoureuse. Mais pour l’élève une bonne démonstration est celle qu’il comprend. Une bonne démonstration se doit d’être pédagogique. Or, qu’un élève ne comprenne pas une démonstration, c’est-à-dire qu’il ne parvienne pas à accepter par lui-même sa validité, ne change en rien la validité de cette démonstration. Inversement, l’exemple cité plus haut du principe des parallèles montre qu’il ne suffit pas d’être convaincu de l’évidence d’une proposition pour se passer de sa démonstration, fusse-t-elle infiniment plus complexe a saisir que la proposition elle-même. Pas de meilleur exemple ici que celui cité par Robert Blanché : "On connaît l’anecdote de ce précepteur princier qui, à bout de ressources, parvint néanmoins à faire admettre son théorème en s’écriant enfin, excédé : Monseigneur, je vous en donne ma parole d’honneur !"

Logique

ko:논리학 ms:Logik ja:論理学 simple:Logic th:ตรรกศาสตร์ Catégorie:Philosophie Catégorie:Algorithmique Catégorie:Sciences cognitives Catégorie:Logique Catégorie:Rhétorique La logique est initialement l'une des grandes disciplines de la philosophie, elle est devenue au une partie des mathématiques. Aujourd'hui, elle est en outre partie intégrante de : l'ingénierie informatique, la linguistique, la psychologie cognitive et, la communication sociale.

Généralités

La logique est l'étude de la nature, des concepts, de la vérité, des jugements et, de la validité des raisonnements. Elle se déploie ainsi aujourd'hui selon les quatre grands axes que sont :
- la théorie des ensembles,
- la théorie des modèles,
- la théorie de la démonstration,
- la théorie de la calculabilité. Cette classification en quatre grands axes, généralement admise, est celle proposée par J. Barwise dans son ouvrage [http://www.elsevier.com/wps/find/bookdescription.cws_home/501736/description Handbook of Mathematical Logic]. Depuis, un cinquième grand axe semble se dessiner avec les travaux sur la théorie des types.

Disciplines de la logique


- Les syllogismes aristotéliciens
- Le calcul des propositions
- Le calcul des prédicats
- La logique intuitionniste
- La logique classique
- Les logiques multivalentes :
  - La logique trivalente
  - La logique tétravalente
  - Les logiques à plus de 4 valences
  - Les logiques à une infinité de valences (cf. probabilités)
- Les logiques modales :
  - La logique épistémique
  - La logique déontique
  - La logique temporelle
- Les paradoxes
- L'algorithme d'unification en logique
- La logique floue

Philosophie

Antiquité

La logique est à l'origine une réflexion sur l'accord du discours (logos) avec lui-même. On peut dire qu'elle est un effort de la pensée pour rendre sa propre expression non contradictoire. Par suite, elle est un outil (organon) assurant la cohérence de la reflexion. La philosophie se sert donc de la logique pour organiser son discours et lui assurer une pertinence concernant ses hypothèses sur le monde.
La cohérence d'un discours a deux aspects qui correspondent aux différents sens du concept de vérité :
- La cohérence interne du discours lui-même : c'est la logique dans son aspect purement formel.
- La cohérence externe : c'est la définition matérielle de la vérité : « adequatio rei et intellectus », l'accord du contenu avec la réalité.
Le premier type de cohérence peut se faire en vue du second, mais s'en détache aussi pour constituer un domaine conceptuel autonome.
En philosophie, la logique pose le problème des relations entre le langage et la pensée : la logique semble être en effet à la fois l'effet et la cause du discours. Elle découle du logos en philosophie (le sens du discours) ; mais, en mathématique (la forme), la cohérence formelle semble s'engendrer d'elle-même. La logique a très tôt été utilisée contre elle-même, c'est-à-dire contre les conditions mêmes du discours : le sophiste Gorgias l'utilise dans son Traité du non-être afin de prouver qu'il n'y a pas d'ontologie possible : « ce n'est pas l'être qui est l'objet de nos pensées ». La vérité matérielle de la logique est ainsi ruinée. Le langage acquiert ainsi sa propre loi, qui est celle de la logique, indépendante de la réalité. Mais les sophistes ont été écartés de l'histoire de la philosophie (sophiste a pris un sens péjoratif), si bien que la logique, dans la compréhension qu'on en a eu par exemple au Moyen Âge, est restée soumise à la pensée de l'être.

Kant, quant à lui, définit la logique comme une science qui expose dans le détail et prouve de manière stricte, uniquement les règles formelles de toute pensée. L'œuvre d'Aristote appelée l'Organon, où figure notamment l'étude du syllogisme, fut longtemps considérée comme le manuel de référence sur ce sujet. Mais la naissance d'une logique formelle non prédicative, à partir du , a quelque peu changé cet état de fait. Ainsi Frege remplace-t-il l'analyse prédicative par une distinction entre fonction et concept. La logique a pour origine la lutte du vrai et du faux, de l'être et du non-être. Il a fallu attendre le début du pour que l'évidence de cette bivalence soit remise en question : des logiques trivalentes, ajoutant une valeur indéterminée, sont alors inventées (Kleene, Lukasiewicz, Bochvar). Mais celles-ci, se généralisant en logiques polyvalentes, ne remettaient néanmoins pas en question l'appartenance stricte d'une proposition à l'une (et une seule) de ces valeurs. C'est à partir de 1965 que Zadeh élabore une logique floue (fuzzy logic) dans laquelle une proposition est vraie selon un certain degré de probabilité (degré auquel on assigne lui-même un degré de probabilité). Loin du monde tranché de la certitude classique, un monde flou se révèle dans toute sa complexité.

Mathématiques

Dans ce dernier cas, sa position est un peu particulière d'un point de vue épistémologique, puisqu'elle est à la fois un outil de définition des mathématiques, et une branche de ces mêmes mathématiques, donc un objet.

Notions élémentaires de logique formelle

Un langage logique est défini par une syntaxe, c'est-à-dire un système de symboles et de règles pour les combiner sous formes de formules. De plus, une sémantique est associée au langage. Elle permet de l'interpréter, c'est-à-dire d'attacher à ces formules ainsi qu'aux symboles une signification. Un système de preuve nous permet également de calculer la signification des formules en construisant des démonstrations. La logique comprend classiquement :
- la logique des propositions,
- la logique des prédicats. Considérons un langage logique. Ce dernier est : soit un langage propositionnel, on parle alors de logique des propositions ; soit un langage du premier ordre, on parle alors de logique des prédicats. Bien évidemment, ces langages logiques diffèrent de par leur syntaxe. Considérons leurs syntaxes respectives. La syntaxe de la logique des propositions est fondée sur des variables de propositions appelées également atomes que nous notons avec des lettres minuscules (p, q, r, s, etc.). Ces symboles représentent des propriétés qui sont, soit vraies, soit fausses. Ces variables sont combinées au moyen de connecteurs logiques qui sont : # le connecteur binaire disjonctif (ou), # le connecteur binaire conjonctif (et), # le connecteur binaire de l'implication (->), # le connecteur monadique de la négation (non). Ces variables forment alors des formules appelées également propositions. Nous les notons par des lettres grecques minuscules (phi, psi, thêta, etc.). La syntaxe de la logique d'ordre un, contrairement à celle d'ordre zéro, considère d'une part les termes qui représentent les objets étudiés, et d'autre part les formules qui sont des propriétés sur ces objets. Dans la suite de ce manuscript, nous noterons V l'ensemble des variables (x,y,z…), F l'ensemble des symboles de fonctions (f,g…) et P l'ensemble des symboles de prédicats (P,Q…). On dispose également d'une application dite d'arité m. Qu'en est-il de la signification d'une formule? C'est l'objet de la sémantique. Là encore, elle diffère selon le langage envisagé. En logique propositionnelle, une formule est soit vraie soit fausse. Plus formellement, l'ensemble des valeurs de vérité est un ensemble B de deux booléens : le vrai (1) et le faux (0). La signification des booléens est définie à l'aide de fonctions de booléens vers des booléens. Ces fonctions peuvent être représentées sous la forme de table de vérité. La signification d'une formule dépend donc de la valeur de vérité de ses variables. On parle d'interprétation ou d'affectation. Comme dans le cas propositionnel, la sémantique de la logique du premier ordre est décrite par une interprétation. Cependant le langage de la logique du premier ordre est plus riche. En conséquence, de nouvelles définitions sont nécessaires. Contrairement au langage propositionnel, les interprétations et les affectations sont des objets différents. Une affectation donne une valeur à chaque variable, alors qu'une interprétation décrit le domaine des valeurs et la sémantique des symboles de fonctions et de prédicats. Nous avons doté la logique propositionnelle ainsi que la logique du premier ordre d'une sémantique. Toutefois, il est difficile, au sens de la complexité algorithmique, de l'utiliser pour décider si une formule est satisfiable (ou non) voire valide (ou non). Il faudrait pour cela énumérer toutes les interprétations. Leur nombre est exponentiel. Une alternative consiste à examiner les preuves bien formées, et à considérer leurs conclusions. Pour cela nous utilisons un système de preuve. Un système de preuve est un couple (A,R), où A est un ensemble de formules appelées axiomes et R un ensemble de règles d'inférence, c'est-à-dire de relations entre des ensembles de formules (les prémisses) et des formules (la conclusion). On appelle dérivation à partir d'un ensemble d'hypothèses une suite non vide de formules qui sont : soit des axiomes, soit des formules déduites des formules précédentes de la suite. Une preuve d'une formule phi à partir d'un ensemble de formules Gamma est une dérivation à partir de Gamma dont la dernière formule est phi.

Quantification

On introduit essentiellement deux quantificateurs en logique classique :
- \exists (il existe au moins un), appelé quantificateur existentiel.
- \forall (pour tout), appelé quantificateur universel. Un troisième quantificateur, qui peut être défini à partir des quantificateurs précédents, est souvent introduit :
- \exists! (il existe un seul). Grâce à la négation, les quantificateurs existentiels et universels jouent des rôles duals et donc, en logique classique, on peut fonder le calcul des prédicats sur un seul quatificateur.

Automatisme et Informatique

Dans ces deux domaines la logique est omniprésente et représente le fondement de ces diciplines.
- En automatisme, afin de pouvoir ordonner des processus en fonction de conditions précises, un fonctionnement logique est nécessaire. À l'aide d'opérateurs logiques simples et combinés, la logique combinatoire permet de déterminer des conditions et des prises de décisions automatisées. Autrefois, les automates contenaient de multiples relais assurant ces fonctions. Aujourd'hui, ce sont en fait des micro-ordinateurs spécialisés disposant d'une partie d'électronique de puissance pour interagir avec son environnement et, une interface homme/machine adaptée.
- En informatique :
  - dans la partie électronique numérique, les mêmes opérateurs logiques sont utilisés en grand nombres ;
  - dans la partie logiciel, les opérateurs de logique booléenne des langages de programmation sont très utilisés, comme système de comparaison et de prise de décision ;
  - au niveau des langages de programmation, il existe des relations profondes entre la logique intuitionniste et le lambda-calcul (et donc les langages fonctionnels). La correspondance de Curry-Howard propose de voir les propositions comme des types, et une preuve d'une proposition P comme un terme ayant le type P. On obtient alors des règles identiques à celles utilisées pour le typage des termes du lambda-calcul. Cette approche est utilisée dans un certain nombre de logiciels d'aide à la preuve, comme Coq ou [http://www.cl.cam.ac.uk/Research/HVG/HOL/ HOL]. Enfin, l'ajout de continuations au langage permet de retrouver la logique classique, le type de ces nouveaux termes pouvant être rapproché du tiers-exclus.
  - Afin de spécifier un système (protocole, logiciel...), notamment en model-checking, on fait appel aux logiques temporelles.

Voir aussi


- Tractatus logico-philosophicus
- Fonction logique

Hilbert

David Hilbert (23 janvier 1862 à Königsberg - 14 février 1943 à Göttingen) était un mathématicien allemand. Hilbert a enseigné à l'université de Königsberg, la ville où il est né et où il a fait ses études. En 1895 il est nommé à Göttingen, où il enseignera jusqu'à sa retraite en 1930. Hilbert est souvent considéré comme un des plus grands mathématiciens du , au même titre que Henri Poincaré. On retient de lui notamment sa liste des 23 problèmes, dont certains ne sont aujourd'hui toujours pas résolus, qu'il présenta en 1900 au congrès international de mathématiques à Paris. Ses contributions aux mathématiques sont nombreuses :
- Consolidation de la théorie des invariants, qui était le sujet de sa thèse.
- L'axiomatisation de la géométrie euclidienne, pour la rendre consistante, parue dans son Grundlagen der Geometrie (Base de la géometrie).
- Travaux sur la théorie des nombres algébriques, reprenant et simplifiant, avec l'aide de son ami Minkowski, les travaux de Kummer, Kronecker, Dirichlet et Dedekind, et les publiant dans son Zahlbericht (Rapport sur les nombres).
- Apport des espaces portant son nom, lors de ses travaux en analyse sur les équations intégrales.
- Apport sur les formes quadratiques bases mathématiques à la relativité d'Einstein. Hilbert fut également le chef de file des formalistes, mouvement dont le but était l'unification des mathématiques via leur axiomatisation. Les Bourbakistes notamment adhérèrent ensuite à ce mouvement.

Voir aussi


- Axiomes de Hilbert de la géométrie euclidienne
- Mathématiciens célèbres
- Base de Hilbert
- Espace de Hilbert
- Problèmes de Hilbert
- Conjecture de Hilbert-Pólya

Lien externe


- [http://www.bibmath.net/bios/index.php3?action=affiche&quoi=hilbert Hilbert] Hilbert, David Hilbert, David Hilbert, David ja:ダフィット・ヒルベルト ko:다비드 힐베르트 th:ดาฟิด ฮิลแบร์ท

Évariste Galois

Évariste Galois (Bourg-la-Reine 25 octobre 1811 - 31 mai 1832) était un jeune mathématicien français. Alors qu'il était encore adolescent, il détermina une condition nécessaire et suffisante pour qu'un polynôme soit résoluble par radicaux, et ainsi résolut un très vieux problème ouvert. Il mourut lors d'un duel à l'âge de vingt et un ans. Il fut le premier à utiliser le mot « groupe » comme un terme mathématique pour désigner un groupe de permutations. Son travail sur la théorie des équations fut soumis à l'académie des sciences et fut examiné par Siméon Denis Poisson qui ne le comprit pas. Il fut à nouveau présenté sous une forme plus condensée, mais sans résultat. L'importance et la portée de son travail ne furent pas reconnues pendant sa courte vie. Son travail posait les fondements de la théorie de Galois actuelle, une branche majeure de l'algèbre abstraite, ceux des suites pseudo-aléatoires (PN) et de la correction des erreurs dans le codage des applications. Galois était un républicain convaincu et en 1831, au cours d'un banquet, il porta un toast, avec un couteau à la main au-dessus de son verre, à Louis-Philippe; ce qui mène certains à croire que sa mort dans un duel a été organisée par la police secrète. Dans la nuit du 29 mai 1832, qui précéda le duel qui l'opposait à un officier pour défendre l'honneur d'une femme, il pressentit que sa mort était imminente, et veilla toute la nuit pour écrire plusieurs lettres à son ami républicain Auguste Chevalier, et composa ce qui devint son testament mathématique. Dans ses derniers papiers, après avoir rapporté sa théorie sur les équations résolvables par radicaux, il termina en donnant un aperçu de ses derniers travaux en analyse et demanda à son ami de faire imprimer cette lettre dans la Revue encyclopédique. Le lendemain il fut touché à l'abdomen et mourut de ses blessures (probablement d'une péritonite), le jour suivant à l'hôpital et après avoir refusé les offices d'un prêtre. Son travail resta incompris jusqu'en 1843 lorsque Liouville lut son manuscrit et déclara que Galois avait vraiment résolu le problème posé pour la première fois par Abel. Le manuscrit fut finalement publié en octobre ou novembre 1846 dans le Journal des mathématiques pures et appliquées.

Voir aussi

Liens externes


- [http://turnbull.dcs.st-and.ac.uk/history/Mathematicians/Galois.html biographie de Galois]
- [http://www.galois-group.net/group/FR/ The Galois Archive] (biographie, lettres et textes dans différentes langues) Galois, Évariste Galois, Évariste Galois, Évariste Evariste Galois ja:エヴァリスト・ガロア ko:에바리스트 갈루아

Kurt Gödel

Kurt Gödel (28 avril 1906 - 14 janvier 1978) : mathématicien et logicien dont la biographie même est source d'interrogations. Le plus souvent considéré comme Autrichien, il est né à Brno en Autriche-Hongrie, naturalisé tchécoslovaque à 12 ans, puis autrichien à 23 ans. Lorsque Hitler (né autrichien) ordonna l'annexion de l'Autriche, Gödel devint par conséquent Allemand (il avait alors 32 ans). Au cours de la Seconde Guerre mondiale, âgé de 42 ans, il obtint la double nationalité Austro-américaine. Gödel fut un logicien dont le travail le plus reconnu fut son théorème d'incomplétude, affirmant que n'importe quel système axiomatique indépendant suffisamment puissant pour décrire l'arithmétique des entiers admettrait des hypothèses sur les nombres entiers ne pouvant être infirmées ni confirmées par les axiomes de la théorie. Gödel a également démontré la complétude du calcul des prédicats du premier ordre. Il proposa aussi l'Hypothèse du continu, qui ne peut être réfutée à partir des axiomes admis de la théorie des ensembles, en admettant que ces axiomes sont cohérents. Kurt Gödel fut, sans doute, le plus grand logicien du et l'un des trois plus grands de tous les temps ; il est souvent associé à Aristote et Gottlob Frege au sein d'un triumvirat de logiciens. Il publia ses résultats les plus importants en 1931 à l'age de 25 ans, alors qu'il travaillait encore pour l'université de Vienne (Autriche).

Biographie

Enfance

Fils de Rudolf Gödel, dirigeant d'une petite industrie textile, et de Marianne Gödel (née Handschuh). Au sein de cette famille germanophone, le petit Kurt est surnommé « Der Herr Warum » (M. Pourquoi). Il fréquente l'école primaire puis secondaire à Brno, qu'il termine avec les honneurs en 1923. Bien que Kurt ait d'abord excellé en langues, il devient peu de temps plus tard un fervent amateur d'histoire et de mathématiques. Cette passion pour les mathématiques prit une nouvelle ampleur en 1920 lorsque son frère aîné Rudolf (né en 1902) partit pour Vienne suivre un cursus médical. Adolescent, Kurt étudie déjà les travaux de Gabelsberger, la théorie de Goethe sur Isaac Newton, et les écrits de Kant. C'est toujours à l'Université de Vienne qu'il rencontre celle qui deviendra (tardivement)sa femme, Adele Nimbursky (née Porkert). Il publie ses premiers papiers sur la logique et assiste à une conférence de David Hilbert à Bologne sur la complétude et la consistance des systèmes mathématiques. En 1929, Gödel devient citoyen autrichien avant d'obtenir cette même année son doctorat, sous l'égide de Hans Hahn. Dans sa thèse, il établit la complétude des prédicats du premier ordre, résultat connu sous le nom de théorème de complétude de Gödel.

Études viennoises

À l'âge de 18 ans, Kurt rejoint son frère Rudolf à l'Université de Vienne. Il a à ce moment déjà acquis un niveau universitaire en mathématiques et en philosophie. Bien qu'initialement inscrit pour étudier la physique théorique, il suit aussi un enseignement en mathématiques et en philosophie. C'est à cette époque qu'il adhère au réalisme mathématique. Il lit Metaphysische Anfangsgründe der Naturwissenschaft de Kant, et rejoint le Cercle de Vienne où officient Moritz Schlick, Hans Hahn, et Rudolf Carnap. Kurt étudie par la suite la théorie des nombres, mais se tourne vite vers la logique mathématique après un séminaire donné par Moritz Schlick sur l'introduction à la philosophie des mathématiques, de Bertrand Russell.

Travaux à Vienne

Gödel obtient son doctorat en philosophie en 1930. Il ajouta une version combinatoire à sa théorie de la complétude, qui fut publiée par l'Académie des Sciences de Vienne. En 1931, il publie son célèbre théorème d'incomplétude dans Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme. Il prouve dans cet article que pour tout système axiomatique assez puissant pour décrire les nombres naturels, on peut affirmer que : :: 1. Il ne peut être à la fois cohérent et complet (ce qui est le théorème connu sous le nom de Théorème d'incomplétude.) :: 2. Si le système est cohérent, alors la cohérence des axiomes ne peut pas être prouvée au sein même du système. Ces théories mirent fin à des siècles d'échec en cherchant à proposer un jeu d'axiomes définitif pour situer l'ensemble des mathématiques sur une base axiomatique ; à la manière des Principia Mathematica et du formalisme de Hilbert. Elles impliquent aussi que toutes les questions mathématiques ne sont pas calculables. À la réflexion, l'idée élémentaire du théorème d'incomplétude apparaît simple. Gödel a essentiellement bâti une formule qui démontre qu'elle est improuvable dans un système formel donné. Si elle était prouvable, elle serait alors fausse, afin que l'on puisse y reconnaître des affirmations erronées. Sinon, il y aurait au moins une affirmation vraie, mais impossible à démontrer. Pour préciser ces faits, Gödel a eu besoin de résoudre de nombreux problèmes techniques, comme le codage des preuves et le concept même de prouvabilité au sein des nombres entiers. Ces détails sur la forme expliquent pourquoi sa publication de 1931 est aussi longue et ardue à lire. Gödel obtint son diplôme à l'Université de Vienne en 1932, et y devint Privatdozenten (conférencier) en 1933. La même année, Adolf Hitler fut nommé chancelier en Allemagne, ce qui n'inquiéta pas Gödel, qui s'intéressait peu à la politique. Cependant, après l'assassinat le 22 juin 1936 de Moritz Schlick (dont le séminaire avait fait naître son intérêt pour la logique) par Hans Nelböck, un jeune étudiant aliéné, Gödel fut particulièrement affecté, traversant sa première dépression.

Voyage aux États-Unis

Cette année 1933 fut aussi l'occasion pour Gödel de visiter les États-Unis, où il rencontra Albert Einstein avec qui il lia une solide amitié. Plus tard, il mit au point l'idée de la calculabilité, étudia les fonctions récursives, si bien qu'il donna une conférence sur les fonctions récursives générales et le concept de vérité. Ces travaux furent développés en utilisant la construction des nombres de Gödel. En 1934, il donna une série de conférences à lInstitute for Advanced Study de Princeton intitulée « De l'indécidabilité des postulats des systèmes mathématiques formels ». Stephen Kleene, qui venait juste de terminer son doctorat à Princeton, prit en notes ces conférences, publiées ultérieurement. Gödel retourna à Princeton plus tard la même année. Les voyages et ses travaux l'avaient épuisé, si bien que l'essentiel de l'année suivante dut être consacré au traitement d'une nouvelle dépression. Il revint à l'enseignement en 1937, période durant laquelle il travailla sur la preuve de son hypothèse du continu, établissant ainsi que cette hypothèse ne peut être réfutée à partir des axiomes de la théorie des ensembles. Il épousa Adele le 20 septembre 1939 à l'Université de Notre-Dame.

Travaux à Princeton

Après l'Anschluss de 1938, l'Autriche tomba dans le giron de l'Allemagne nazie. Cette dernière ayant aboli le titre de Privatdozent, Gödel eut à se soucier d'une incorporation dans l'armée Allemagne. En janvier 1940, sa femme et lui quittèrent l'Europe par le rail du Trans-sibérien, se rendant aux États-Unis. Après leur arrivée à San Francisco le 4 mars 1940, Kurt et Adele s'installèrent à Princeton, où il réintégra l'institut des hautes études de Princeton. À l'institut, Gödel se tourna plus encore vers la philosophie et la physique. Il étudia les travaux de Gottfried Leibniz et, à un moindre degré, ceux de Kant et Edmund Husserl. Il poursuivit ses travaux de logicien, et publia en 1940 Cohérence des axiomes du choix et de l'hypothèse généralisée du continu avec les axiomes de la théorie des ensembles, qui devint un classique des mathématiques modernes. Il introduit dans ce travail la notion d'univers constructible, modèle de la théorie des ensembles dans lequel les seuls ensembles existants sont ceux qui peuvent être construits à partir d'ensembles plus élémentaires. Gödel prouva qu'aussi bien les axiomes de choix et l'hypothèse généralisée du continu sont vraies dans un univers constructible, et doivent donc être cohérentes. Il eut l'intuition des problèmes NP-complets. À la fin des années 1940, il démontra l'existence d'une solution paradoxale aux équations de la théorie de la relativité générale d'Einstein. Les « univers tournants » auraient rendu possible le voyage dans le temps, et poussèrent Einstein à douter de sa propre théorie (voir univers de Gödel). Aujourd'hui, ce type de solution est considéré comme une curiosité mathématique sans grand intérêt physique, mais dont le grand mérite est d'avoir stimulé la recherche d'autres solutions exactes aux équations d'Einstein. Devenu membre permanent de l'Institut des études avancées en 1946, il fut naturalisé citoyen américain en 1948. Il obtint un poste de professeur à l'Institut en 1953, refusa le titre de Professeur honoraire en 1975 et fut émérité en 1976. En mars 1951, Gödel reçut (en même temps que le physicien Julian Schwinger) le premier prix Einstein, puis fut nommé docteur honoris causa dans plusieurs universités (Yale, Harvard, etc), et reçut la « National Medal of Science », en 1974. Agé de 70 ans, Gödel, qui était profondément croyant, fit circuler parmi ses amis une élaboration basée sur la preuve ontologique de l'existence de Dieu, inspirée de l'argument d'Anselme de Cantorbéry et de considérations de Leibniz. Cette élaboration est maintenant connue sous le nom de preuve ontologique de Gödel.

Décès et distinctions

Gödel fut, tout au long de sa vie, un homme timide et en retrait. Approchant la mort, il se sentit de plus en plus concerné par sa santé, se convainquant de l'existence d'un complot visant à l'empoisonner. Il cessa alors de s'alimenter, tombant progressivement dans la cachexie. Il décéda le 14 janvier 1978, à Princeton, état du New Jersey, États-Unis. La société Kurt Gödel, fondée en 1987, fut baptisée en son honneur. C'est une organisation internationale pour la promotion de la recherche dans les champs de la logique, la philosophie, et l'histoire des mathématiques. Un Prix Gödel qui récompense les meilleurs travaux en informatique théorique fut fondé en son honneur en 1992.

Voir aussi

Univers de Gödel Godel, Kurt Godel, Kurt Godel, Kurt Godel, Kurt ja:クルト・ゲーデル ko:쿠르트 괴델

Axiome d'Archimède

Enoncé de l'axiome d'Archimède en français : « Pour deux grandeurs inégales, il existe toujours un multiple entier de la plus petite supérieur à la plus grande. »

Groupe

Soit (G,+,≤) un groupe commutatif totalement ordonné. (G,+,≤) vérifie l'axiome d'Archimède ou est archimédien si et seulement si : quels que soient les éléments a > 0 et b ≥ 0 de G ,  il existe un entier naturel n tel que n × a ≥ b.

Anneau

Soit (A,+,×,≤ ) un anneau totalement ordonné. (A,+,×,≤) vérifie l'axiome d'Archimède ou est archimédien si et seulement si le groupe commutatif (A,+,≤) lui-même est archimédien.

Corps

Soit (K,+,×,≤) un corps totalement ordonné. (K,+,×,≤) vérifie l'axiome d'Archimède ou est archimédien si et seulement si le groupe commutatif (K,+,≤) lui-même est archimédien. Un tel corps est un sous-corps du corps des réels (R,+,×,≤)

Remarques

Cet axiome intervient également comme l'axiome IV,1 du « groupe IV de continuité » dans l'axiomatique de la géométrie euclidienne proposée par Hilbert en 1899. Hilbert montre par exemple que la preuve de l'égalité des aires entre deux parallélogrammes de même base et de même hauteur utilise nécessairement l'axiome d'Archimède. Hilbert montre également que, dans un corps, si on ne suppose pas la multiplication commutative, alors nécessairement, cette commutativité du produit découle du caractère archimédien du corps. Pour montrer que ab = ba, l'idée est de prendre un élément d arbitrairement petit, et d'utiliser le caractère archimédien du corps pour encadrer a entre nd et (n+1)d et encadrer b entre md et (m+1)d, pour deux entiers m et n. On utilise cet encadrement pour en déduire un encadrement arbitrairement petit de ab-ba et conclure que cette différence est nulle.

Exemples

Exemple 1

(\mathbb Q,+,×,≤) et (\mathbb R,+,×,≤) sont des corps archimédiens.

Exemple 2

Voici un exemple d'anneau non archimédien. Considérons l'anneau \mathbb R[X] des polynômes sur \mathbb R. Un polynôme \ P = \sum_ a_n \cdot X^n est caractérisé par la suite de ses coefficients (a0, ..., an, ...), nulle à partir d'un certain rang. Si le polynôme Q admet pour coefficients (b0, ..., bn, ...), nous dirons que : :P < Q si et seulement s’il existe k ≥ 0 tel que, pour tout p < k, ap = bp et ak < bk :P ≤ Q si et seulement si P < Q ou P = Q (Il s'agit de l'ordre lexicographique sur les coefficients des polynômes) Alors (\mathbb R[X],+,×,≤) est un anneau totalement ordonné, mais qui n'est pas archimédien. En effet, pour tout n entier, on a 0 < nX < 1. Pour l'ordre indiqué, X est un « infiniment petit ».

Bibliographie

David Hilbert : les fondements de la géométrie, Dunod, Paris 1971 ou Gabay, 1997 Catégorie:Théorie des ordres Archimède Catégorie:Algèbre abstraite Catégorie:Géométrie

Axiome de la paire

Dans la théorie axiomatique des ensembles et les branches de la logique, des mathématiques , et de l'informatique, l'axiome de la paire est l'un des axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel. Dans le langage formel de l'axiomatique de Zermelo-Fraenkel, l'axiome s'écrit: \forall A\ \forall B,\ \exists C,\ \forall D,\ D\in C\Leftrightarrow (D=A\vee D=B) en d'autres termes: :étant donné A et B deux ensembles, il existe un ensemble C tel que, pour tout ensemble D, D est un élément de C si et seulement si D est égal à A ou à B. L'axiome exprime que, pour deux ensembles quelconques A et B, nous pouvons trouver un ensemble C dont les éléments sont précisément A et B. Nous pouvons employer l'axiome d'extensionnalité pour démontrer que cet ensemble C est unique. Nous appelons l'ensemble C la paire de A et B , et la notons . Essentiellement, l'axiome affirme que: :deux ensembles quelconques forment une paire. est abrégé en , et est appelé singleton contenant A. Notez qu'un singleton est un cas particulier de paire. L'axiome de la paire est généralement considéré comme indiscutable, et lui ou l'un de ses équivalents apparaît dans presque toute axiomatique alternative de la théorie des ensembles.

Généralisation

En utilisant l'axiome de l'ensemble vide, l'axiome de la paire peut être généralisé en la proposition suivante: \forall A_1\cdots\forall A_n,\ \exists C,\ \forall D,\ D\in C\Leftrightarrow (D=A_1\vee\cdots\vee D=A_n) qui signifie que: :étant donné un nombre fini d'ensembles A1, ..., An il existe un ensemble C dont les éléments sont précisément A1, ..., An. Cet ensemble C est encore unique d'après l'axiome d'extension, et est noté . Naturellement, nous ne pouvons pas rigoureusement nous référer à un nombre fini d'ensembles, sans déjà disposer d'un ensemble (fini) auquel ces ensembles appartiennent. Ainsi, cette proposition s'apparente plutôt à un schéma, formé de plusieurs propositions, chacune d'entre elles étant associée à un entier naturel n. Le cas n = 0 est simplement l'axiome de l'ensemble vide. Le cas n = 1 est l'axiome de la paire avec A=A1 et B = A1. Le cas n = 2 est l'axiome de la paire avec A=A1 et B = A2. Les cas n > 2 peuvent être démontrés en utilisant l'axiome de la paire et l'axiome de la réunion appliqués de multiples fois. Par exemple, pour démontrer le cas n = 3, nous utilisons l'axiome de la paire trois fois, pour produire successivement la paire , le singleton , puis la paire . L'axiome de la réunion fournit alors le résultat désiré, . Ainsi, nous pouvons utiliser cette généralisation comme un schéma axiomatique à la place des axiomes de l'ensemble vide et de la paire. Cependant, nous utilisons en règle générale les axiomes de l'ensemble vide et de la paire séparément, et cette proposition est alors démontrée et considérée comme un théorème. Notez qu'adopter cette proposition comme schéma d'axiome, ne remplace pas l'axiome de la réunion, qui est toujours nécessaire dans d'autres situations. Catégorie:Théorie des ensembles Paire

Axiome de la réunion

Dans la théorie axiomatique des ensembles et dans les branches de la logique, des mathématiques, et de l'informatique, l'axiome de la réunion est l'un des axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel, affirmant que, pour tout ensemble quelconque, il existe un ensemble qui contient exactement les éléments de tout élément de l'ensemble. Cet axiome, permet avec l'aide de l'axiome de la paire de démontrer que la réunion de deux ensembles (qui contient exactement les éléments des deux ensembles), est un ensemble. Dans le langage formel de l'axiomatique de Zermelo-Fraenkel, l'axiome s'écrit: \forall A,\ \exists B,\ \forall C,\ C\in B\Leftrightarrow (\exists D,\ D\in A\wedge C\in D) ou avec des mots: :étant donné un ensemble quelconque A, il existe un ensemble B tel que, pour tout ensemble C quelconque, C est élément de B si et seulement s’il existe un ensemble D tel que D soit un élément A et que C soit un élément de D. Pour comprendre cet axiome, notez que la clause placée entre parenthèses et faisant intervenir D dans l'affirmation symbolique ci-dessus, sert à déclarer que C est élément d'un certain ensemble lui-même élément de A. Ainsi, l'axiome affirme réellement qu'étant donné un ensemble A, nous pouvons trouver un ensemble B dont les éléments sont précisément les éléments des éléments de A. Nous pouvons employer l'axiome d'extensionnalité pour prouver que cet ensemble B est unique. Nous appelons l'ensemble B la réunion de A, et le notons \cup A. Ainsi l'axiome dit essentiellement que: :la réunion d'un ensemble est un ensemble, ou encore la réunion de tous les éléments d'un ensemble est un ensemble L'axiome de la réunion est généralement considéré comme indiscutable, et lui ou un équivalent apparaît dans pratiquement toute axiomatique alternative de la théorie des ensembles. Notez qu'il n'y a aucun axiome correspondant pour l'intersection. Dans le cas où A est l'ensemble vide, il n'y a aucune intersection de A dans la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel. D'autre part, si A a un certain élément B, nous pouvons former l'ensemble \cap A = \ en employant le schéma d'axiome de compréhension. Catégorie:Théorie des ensembles Réunion

Axiome de l'ensemble des parties

En mathématiques, l'axiome de l'ensemble des parties est l'un des axiomes de Zermelo-Fraenkel de la théorie axiomatique des ensembles. Dans le langage formel des axiomes de Zermelo-Fraenkel, l'axiome s'écrit: : \forall E , \exists P /\, \forall F , ( F \in P ) \Leftrightarrow [ \forall x , ( x \in F ) \Rightarrow ( x \in E ) ] \, Comme l'inclusion est définie formellement par : : \forall E , \forall F , ( F \subseteq E ) \Leftrightarrow [ \forall x , ( x \in F ) \Rightarrow ( x \in E ) ] \, l'écriture de l'axiome peut se simplifier en : : \forall E , \exists P /\, \forall F , ( F \in P ) \Leftrightarrow ( F \subseteq E ) \, ou en d'autres termes: :Pour tout ensemble E, il existe un ensemble P tel que tout ensemble F est un élément de P si et seulement s’il est une partie de E. Nous pouvons employer l'axiome d'extensionnalité pour prouver que cet ensemble P est unique pour E donné. Nous appelons l'ensemble P « ensemble des parties de E », et le notons « \mathfrak(E) ». L'axiome de l'ensemble des parties est généralement considéré comme incontestable, et lui ou l'un de ses équivalents apparaît dans presque toute axiomatique alternative de la théorie des ensembles. Catégorie:Théorie des ensembles Ensemble des parties

Axiome de l'infini

En théorie axiomatique des ensembles et dans les branches de la logique, des mathématiques, et de l'informatique, l'axiome de l'infini est l'un des axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel. Il énonce qu'il existe un ensemble infini. Dans le langage formel de l'axiomatique de Zermelo-Fraenkel, l'axiome s'écrit: \exists\omega,\ \empty\in\omega \wedge (\forall x,\ x\in\omega\Rightarrow x\cup\\in\omega ) ou en d'autres termes: il existe un ensemble ω; tel que l'ensemble vide \empty appartienne à ω et tel que toutes les fois où x est un élément de ω, l'ensemble formé en prenant l'union de x avec son singleton est également un élément de ω. Pour comprendre cet axiome, appelons tout d'abord x\cup\ le successeur de x. Notons que l'axiome de la paire nous permet de construire le singleton , et l'axiome de la réunion nous sert à former l'union. Les successeurs sont utilisés pour définir et coder les entiers dans la théorie des nombres entiers naturels. Dans le codage des entiers, zéro est l'ensemble vide (0=\empty), et 1 est le successeur de 0 : 1=0\cup\ =\empty\cup\ =\ =\ De même, 2 est le successeur de 1: 2=1\cup\ =\\cup\ =\ =\ et ainsi de suite. Une conséquence de cette définition est que chaque nombre entier est égal à l'ensemble de tous les nombres entiers qui le précèdent. Nous pourrions envisager de former, en utilisant ce procédé, l'ensemble de tous les nombres entiers naturels; mais il s'avère qu'en utilisant seulement ces axiomes la construction est impossible. L'axiome de l'infini assure l'existence de cet ensemble ω et il le définit par une méthode semblable à celle du raisonnement par récurrence, en supposant d'abord que ω contient zéro, puis en imposant que le successeur d'un quelconque élément de ω soit également dans ω. Cet ensemble peut contenir d'autres éléments que les nombres entiers naturels (qui forment un sous-ensemble de ce premier), mais nous pouvons appliquer le schéma d'axiome de séparation pour retirer les éléments indésirables, libérant l'ensemble ω de tous les nombres entiers naturels. Cet ensemble est unique d'après l'axiome d'extensionnalité. Ainsi l'axiome affirme essentiellement que: :Il existe un ensemble contenant tous les nombres entiers naturels. L'axiome de l'infini est également l'un des axiomes de von Neumann-Bernays-Gödel. Catégorie:Théorie des ensembles Infini

Axiome de fondation

Catégorie:Théorie des ensemblesfondation L'axiome de fondation, encore appelé axiome de régularité, est l'un des axiomes de la théorie axiomatique des ensembles. Introduit en 1925 par John von Neumann, il joue un grand rôle dans cette théorie, alors que les mathématiciens ne l'utilisent jamais ailleurs. ::Il stipule que pour tout ensemble x non vide, il existe un ensemble y appartenant à x et n'ayant aucun élément en commun avec x. L'ensemble y peut être l'ensemble vide, et doit d'ailleurs l'être si x est un ensemble transitif non vide. Ainsi les ensembles décrits par la théorie axiomatique reflètent davantage l'image intuitive :
- On ne peut avoir x \in x : aucun ensemble n'est élément de lui-même ;
- On ne peut avoir x_1 \in x_2 et x_2 \in x_3 ... et x_n \in x_1 : aucun cycle d'appartenance ;
- On ne peut avoir, de manière générale, de suite infinie d'ensembles tels que x_2 \in x_1 et x_3 \in x_2 ... et x_ \in x_n etc. Cette dernière propriété signifie que le prédicat à deux variables libres « x \in y » est bien fondé. Elle est équivalente à l'axiome de fondation si l'axiome du choix dépendant est vérifié. Ce dernier est un axiome du choix très faible qui permet de construire des suites et que le mathématicien, non spécialiste de logique mathématique, suppose intuitivement toujours vérifié, souvent sans le savoir.

Francesco II di Francia

Francesco II (in francese: François II) (19 Gennaio, 1544 – 5 Dicembre, 1560) fu re di Francia (1559 – 1560). Nacque al Castello Reale di Fontainbleau, a Seine-et-Marne, figlio di Enrico II (31 Marzo 1519 – 10 Luglio 1559) e Caterina de' Medici (13 Aprile 1519 – 5 Gennaio 1589).

Re consorte di Scozia

Il suo matrimonio con Maria Stuart fu organizzato dal padre nel 1548 quando Francesco aveva solo quattro anni. Maria venne incoronata regina di Scozia nel castello di Stirling il 9 Settembre, 1543, all'età di nove mesi. Una volta formalmente retificato l'accordo matrimoniale, nel 1548, Maria di Guisa, reggente di Scozia, mandò la figlia di sei anni, la regina Maria, in Francia per essere allevata nella corte reale fino al matrimonio. Il 24 Aprile 1558, il quattordicenne delfino sposò Maria, regina degli scozzesi in una unione che voleva dare al futuro re di Francia il trono di Scozia e la rivendicazione al trono d'Inghilterra. Inghilterra

Re di Francia

Un anno dopo il matrimonio, il padre Enrico II morì, e Francesco, ancora quindicenne, fu incoronato re. Sua madre Caterina de' Medici fu nominata reggente, ma in realtà furono gli zii di Maria, François de Guise e Charles de Guise, che ebbero il potere effettivo in quel periodo. Francesco II, che aveva sempre avuto una salute precaria sin da bambino, morì il 5 Dicembre 1560 a Orléans, Loiret, all'età di sedici anni per un'infezione alle vie respiratorie aggravata da un ascesso nel cervello. Re Francesco II è sepolto nella Basilica di San Denis. Gli successe il fr