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Quaternion

Quaternion

catégorie:Nombre catégorie:Algèbre Les quaternions, notés

\mathbb H

, sont un type de nombres hypercomplexes, constituant une extension des nombres complexes, extension similaire à celle qui avait conduit des nombres réels aux nombres complexes.

Origines et principes

Les quaternions ont été inventés par William Rowan Hamilton en 1843 à partir des travaux de Carl Friedrich Gauss et au siècle précédent Leonhard Euler. Il étudiait alors l'interprétation géométrique de l'arithmétique de nombres complexes dans le plan et cherchait à obtenir des résultats analogues dans l'espace à trois dimensions. Après des années de recherches sur la construction d'une algèbre avec des « triplets » de trois nombres réels, il butait sur la multiplication, et en particulier la conservation des normes (Georg Ferdinand Frobenius a démontré en 1877 qu'une telle multiplication de triplets était impossible à définir). Il eut alors l'idée d'utiliser des « quadruplets » en employant une dimension supplémentaire. Selon ses dires, il marchait un jour dehors le long du canal royal, avec son épouse quand soudain lui vint à l'esprit la solution sous la forme des relations :

i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1\,

. Il grava alors promptement ces relations avec un couteau dans une pierre du pont de Brougham (maintenant appelé Broom Bridge) à Dublin. Hamilton décrivit un quaternion comme quadruplet de nombres réels, le premier élément étant un « scalaire », et les trois éléments restants formant un « vecteur », ou « imaginaire pur ». Il put ainsi définir une multiplication avec les bonnes propriétés. Celle-ci peut se résumer à cette table de multiplication : Tout quaternion H peut être considéré comme une combinaison linéaire des quatre quaternions "unités" 1, i, j, et k :

H = a\cdot 1 + b\cdot i + c\cdot j + d\cdot k\,

(où a, b, c, d sont des nombres réels). H peut également s'écrire: H = z + z'·j (avec z et z' des nombres complexes de la forme a + b·i) Les nombres réels a, b, c et d sont caractéristiques de H : il n'existe qu'une seule façon d'écrire H sous cette forme, et tout quaternion comportant ces mêmes 4 caractéristiques est nécessairement égal à H (la réciproque est vraie). a s'appelle la composante réelle ou scalaire de H, tandis que b, c et d sont les composantes complexes de H. On dit aussi que a est le scalaire de H et que le triplet ou [

b\cdot i + c\cdot j + d\cdot k\,

] est le vecteur de H (ou sa partie vectorielle). Cette découverte entraîna l'abandon de l'utilisation exclusive des lois commutatives, une avancée radicale pour l'époque. Les vecteurs et les matrices faisaient encore partie du futur, mais Hamilton venait en quelque sorte d'introduire le produit vectoriel et le produit scalaire des vecteurs.

Propriétés mathématiques

Relatives aux autres classes de nombres

L'algèbre des quaternions n'est plus commutative, mais partiellement anticommutative : 1 · i = i · 1 = i mais i · j = k et j · i = -k.

Somme

La somme de 2 quaternions

Q_1\,

Q_2\,

, noté

Q_1 + Q_2\,

est définie comme suit : :si

Q_1 = a + b i + c j + d k\,

et :si

Q_2 = a'+ b'i + c'j + d'k\,

, alors : :

Q_1 + Q_2 =(a+a') + (b+b')i + (c+c')j + (d+d')k\,

La somme est commutative et associative.

Opposé

Les quaternions

Q_1\,

Q_2\,

sont dits opposés si leur somme est nulle : :

Q_1 + Q_2 = 0 + 0 i + 0 j + 0 k\,

Dans ce cas, on écrit : :

Q_2 = -Q_1\,

Produit

Le produit de 2 quaternions

Q_1\,

Q_2\,

, noté

Q_1\cdot Q_2

est défini comme suit : ::si

Q_1 = a + b i + c j + d k\,

et
::si

Q_2 = a'+ b'i + c'j + d'k\,

, alors :

Q_1\cdot Q_2 = aa'-bb'-cc'-dd' + (ab'+ba'+cd'-dc') i + (ac'+ca'+db'-bd') j + (ad'+da'+bc'-cb') k\,

::qui peut encore s'écrire :

Q_1\cdot Q_2 = aa'-(bb'+cc'+dd') + (ab'+ba')i + (ac'+ca')j + (ad'+da')k + (bi+cj+dk) \wedge (b'i+c'j+d'k)\,

Q_1\cdot Q_2 = aa'- (\vec V_1\bullet \vec V_2) + (ab'+ba')i + (ac'+ca')j + (ad'+da')k + (\vec V_1\wedge \vec V_2)\,

, la dernière formule utilisant à la fois le produit scalaire (symbole

\bullet \,

) et le produit vectoriel (symbole

\wedge \,

) des composantes vectorielles

\vec V_1 = (bi+cj+dk)\,

\vec V_2 = (b'i+c'j+d'k)\,

des deux quaternions. Le produit est associatif mais, comme on l'a dit plus haut, il n'est pas (sauf exceptions) commutatif ! Le produit est distributif par rapport à l'addition :

\begin Q_1 \ (Q_2 + Q_3) &=& Q_1 Q_2 + Q_1 Q_3\ \ \  \mbox \\ (Q_1 + Q_2)\ Q_3 &=& Q_1 Q_3 + Q_2 Q_3\ \ \ \ \ \ \ \end\,

Scalaire

Un scalaire

\lambda\,

peut être considéré comme un quaternion dont les 3 composantes complexes sont nulles (de même qu'un nombre réel peut être considéré comme un nombre complexe dont la partie imaginaire est nulle). On peut donc définir la somme et le produit d'un scalaire et d'un quaternion. Dans ce cas particulier, le produit est commutatif :

\lambda \ Q = Q \ \lambda\,

Conjugaison

On définit le conjugué (noté ) du quaternion :

Q = a + b i + c j + d k\,

de composantes a, b, c, d par : :

Q^ -  = a - b i - c j - d k\,

Le produit de

Q\,

par son conjugué

Q^ - \,

donne : :

Q \cdot Q^ -  = (a + b i + c j + d k ).( a - b i - c j - d k ) = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \,

qui est le carré de la norme

\|Q\|\,

Q\,

Norme et quaternions unitaires

Lorsque la norme

(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)^\,

d'un quaternion

Q = a + b i + c j + d k\,

vaut 1, on dit que le quaternion est normé ou encore qu'il s'agit d'un quaternion unitaire. Nous verrons ci-dessous qu'on peut établir une sorte de correspondance entre un quaternion unitaire et une rotation vectorielle dans l'espace euclidien de dimension 3, et que cette particularité permet une représentation très simple du produit de deux rotations vectorielles.

Inverse

Si le quaternion

Q\,

n'est pas nul, il possède un inverse (unique) qui vaut :

Q^ = \frac\ Q^ - \,

Division

Le produit étant non commutatif, on peut définir deux façons de diviser le quaternion

P\,

par le quaternion

Q\,

(non nul) : première façon :

P\cdot Q^\,

seconde façon :

Q^\cdot P\,

Conjugué d'un inverse, conjugué de la somme et du produit de deux quaternions

On montre aisément les égalités :

\begin(Q^ - )^ -  &=& Q\\(Q^)^ -  &=& \frac\\(Q^ - )^ &=& \frac\\(Q^)^ &=& Q\\(Q_1 + Q_2)^ -  &=& Q^ - _1 + Q^ - _2\\(Q_1\cdot Q_2)^ -  &=& Q^ - _2\cdot Q^ - _1\\(Q_1\cdot Q_2)^ &=& Q^_2\cdot Q^_1\end\,

La notation (a,V)

Le quaternion

Q = a\cdot 1 + b\cdot i + c\cdot j + d\cdot k\,

peut être décomposé (et de façon unique) en un couple formé du réel

a\,

et du vecteur

\vec V

\mathbb R^3

dont les coordonnées sont (b,c,d). On écrit :

Q = (a\ ,\ \vec V)\,

. Cette notation permet de définir la somme et le produit de la façon suivante : Elle permet aussi de re-définir ou définir les 3 notions suivantes :
- le conjugué

Q^ -  = (a\ ,\ -\vec V)\,

Q \,

,
- le produit scalaire de deux quaternions :

Q_1\bullet Q_2 = (a_1\ ,\ \vec V_1) \bullet (a_2\ ,\ \vec V_2) = a_1\cdot a_2 + \vec V_1\bullet \vec V_2

d'où l'on déduit :
- la norme d'un quaternion :

\|Q\| = \sqrt = \sqrt = (Q.Q^ - )^\frac = (a^2 + \vec V\bullet\vec V)^\frac = (a^2+\|\vec V\|^2)^\frac \,

nota : le produit scalaire défini ci-dessus est commutatif et il est donc bien sûr différent du produit de quaternions défini plus haut. Soit à présent un quaternion

Q = (a\ ,\ \vec V)\,

quelconque ; notons

q = \|Q\|\,

v = \|\vec V\|\,

. Si le réel

v\,

positif n'est pas nul, le réel

q\,

ne l'est pas non plus et l'on peut donc toujours écrire :

Q = q \cdot \left(\frac\ ,\ \frac\cdot \vec V\right) = q \cdot \left(\frac\ ,\ \frac\frac\cdot  \vec V\right)\,

\frac\cdot  \vec V

est un vecteur normé et l'on peut écrire :

q^2 = a^2 + v^2\,

, ou encore :

\left (\frac\right )^2 + \left (\frac\right )^2= 1

.
Il en résulte qu'il existe :
- un angle

\varphi\,

(dont le cosinus et le sinus valent respectivement

\frac\,

\frac\,

) et
- un vecteur normé

\vec U = \frac\cdot \vec V

qui sont tels que l'on puisse écrire le quaternion

Q \,

(de vecteur

\vec V

non nul) sous la forme :
Cette façon d'écrire un quaternion est importante : les termes du couple,

q\cos \varphi\,

q\sin \varphi \cdot \vec U\,

, sont en effet respectivement le produit scalaire et le produit vectoriel de deux vecteurs

\vec V_1

\vec V_2

orthogonaux à

\vec V

, ces 2 vecteurs faisant entre eux un angle égal à

\varphi\,

. Et cette écriture permet de construire la multiplication des quaternions grâce à la composition des similitudes de

\mathbb R

³ [http://www.alcys.com comme on peut le voir en cliquant ici]

Les similitudes de l'espace et les quaternions

Pour démystifier les quaternions, nous allons faire un petit détour instructif par la géométrie élémentaire et en particulier par les similitudes dans l'espace. Une similitude dans

^3

est entièrement définie par la triple donnée :

- d'un axe de rotation bien orienté (un vecteur unitaire U),
- d'un angle 2φ défini à 2kπ près et
- d'un rapport d'homothétie k, un réel strictement positif.
L'effet d'une similitude sur tous les vecteurs peut être considéré grossièrement comme un vissage avec expansion. Voyage et trajets Plus précisément, l'image du transformé d'un vecteur V (dont l'origine est supposée située sur l'axe U) est obtenue d'abord par une multiplication (homothétie) de ce vecteur par k, suivi par une rotation d'angle 2φ autour de l'axe de rotation (on pourrait aussi commencer par la rotation et la faire suivre de l'homothétie, mais il faudrait modifier un peu les explications qui vont suivre...). Cette rotation fait tourner d'un angle 2φ l'extrémité du vecteur kV sur un cercle (C) centré sur l'axe et situé dans un plan perpendiculaire à U. Or sur ce cercle, il y a deux façons d'effectuer le trajet : soit en utilisant un arc, soit en utilisant son complémentaire, ces arcs ne peuvant pas malheureusement être distingués par la seule mesure 2φ + 2kπ.
C'est précisément cette difficulté que permet de résoudre la notion de quaternion. Schématiquement, on peut dire qu'un quaternion, c'est comme une similitude qui saurait distinguer les 2 trajets que peut emprunter la rotation associée. Dans la vie courante, si pour un voyage entre deux localités L et L, vous avez a priori deux trajets possibles, la distinction entre ces trajets peut être faite en désignant deux sites-étapes intermédiaires s et s. Et en parlant du trajet s et du trajet s, vous sous-entendrez les localités de départ et d'arrivée L et L. En conservant cette analogie, il nous faut donc définir deux points intermédiaires sur les deux arcs du trajet. À mi-chemin Les points situés à mi-chemin sont parfaits pour cette mission. En effet, si je divise l'angle de vecteurs 2φ + 2kπ par 2, j'obtiens deux angles distincts φ + 2kπ et φ-π + 2kπ. Or, si j'utilise la rotation d'axe U et d'angle φ + 2kπ, je définis un site-étape différent de celui que j'obtiens avec la rotation φ-π + 2kπ. Ainsi à la similitude sim(U, 2φ, k), il correspond deux trajets distincts qui sont représentés par les deux quaternions distincts quat(U, φ, k) et quat(U, −π+φ, k). Le formalisme Le triplet (U, φ, k) peut s'écrire de façon équivalente sous la forme du couple (kcos(φ), ksin(φ)∙U) de la notation (a, V). Et en utilisant des vecteurs a et b orthogonaux à U convenables, il est facile de montrer que ce couple prend la forme (a.b, a^b). Ainsi, nos sites-étapes nous permettent de revenir à des opérations très simples sur des vecteurs. Et comme ces opérations sont riches de propriétés remarquables, on sait définir (comme on l'a vu ci-dessus) une multiplication et une addition des quaternions. Vous pouvez « voir » ces deux opérations sur les quaternions ici : [http://www.alcys.com http://www.alcys.com ] A signaler qu'une voie de recherche prometteuse peut être consultée sur le site [http://depuiseuclide.free.fr]. On y définit justement la similitude dans l'espace à trois dimensions par un BIVECTEUR qui est au couple de vecteurs ce que le VECTEUR est au couple de points. La loi de composition introduite dans ces bivecteurs est effectivement non commutative, et la restriction de cet ensemble au plan est l'ensemble des complexes.

Double produit de quaternions

De même que l'on peut calculer un double produit vectoriel, il est possible de calculer un double produit de quaternions.

Correspondance entre quaternion unitaire et rotation vectorielle

On peut démontrer que le transformé

\vec V' = \mathbf R_(\vec V) \,

de tout vecteur

\vec V\,

quelconque (de l'espace euclidien de dimension 3) dans la rotation

\mathbf R\left[2\,\varphi,\,\vec N\right]

d'angle

2\,\varphi\,

et d'axe

\vec N\,

(

\vec N\,

étant un vecteur normé) peut être calculé grâce au produit de quaternions suivants :

où

(\cos \varphi,\ \sin \varphi\ \vec N)

(\cos \varphi,\ -\sin \varphi\ \vec N)

sont deux quaternions unitaires conjugués et où

(0,\ \vec V)

(0,\ \vec V')

sont des quaternions dont la composante scalaire est nulle.

Composition de rotations vectorielles et produit de quaternions

La propriété précédente justifie le fait que l'on a coutume de dire, mais de façon peu rigoureuse, que le quaternion

(\cos \varphi,\ \sin \varphi\ \vec N)

représente la rotation

\mathbf R\left[2\,\varphi,\,\vec N\right]

. En utilisant le même langage approximatif, on peut dire que la composition de deux rotations successives

\mathbf R_1

puis

\mathbf R_2

est une rotation

\mathbf R

qui est représentée par le quaternion

Q = Q_2\cdot Q_1\,

, les quaternions

Q_1\,

Q_2\,

étant les représentants respectifs des rotations

\mathbf R_1

\mathbf R_2

. Montrons-le ! En posant :

\vec V' = \, \mathbf R_1\, (\vec V)\,

, puis

\vec V

= \, \mathbf R_2\, (\vec V')\,, la formule encadrée ci-dessus nous donne, écrite de façon condensée, les 2 égalités :
$(0,\ \vec V') = Q_1\cdot (0,\ \vec V)\cdot Q^ - _1$ et
$(0,\ \vec V$ ) = Q_2\cdot (0,\ \vec V')\cdot Q^ - _2, ce qui peut donc encore s'écrire :

(0,\ \vec V

) = Q_2\cdot \left[Q_1\cdot (0,\ \vec V)\cdot Q^ - _1\right]\cdot Q^ - _2 ou, si l'on tient compte de l'associativité du produit de quaternions:
$(0,\ \vec V$ ) = (Q_2\cdot Q_1)\cdot (0,\ \vec V)\cdot (Q^ - _1\cdot Q^ - _2), ou encore :

(0,\ \vec V

) = (Q_2\cdot Q_1)\cdot (0,\ \vec V)\cdot (Q_2\cdot Q_1)^ - , en tenant compte de la valeur du conjugué de deux quaternions. Ce qui établit la propriété annoncée pour la composition de deux rotations et que nous écrirons :
$\Bigg(0,\ \mathbf R_\left(\mathrm R_ (\vec V)\right)\Bigg) =
(\cos \varphi_2,\ \sin \varphi_2\ \vec N_2)
\cdot
(\cos \varphi_1,\ \sin \varphi_1\ \vec N_1)
\cdot
(0,\ \vec V)
\cdot
(\cos \varphi_1,\ -\sin \varphi_1\ \vec N_1)
\cdot
(\cos \varphi_2,\ -\sin \varphi_2\ \vec N_2)$
Notations matricielles
De même qu'il est possible de mettre en correspondance le nombre complexe $z = a + i b\,$ avec la matrice : $\begina & -b \\b & a\end\,$ , il est possible de faire correspondre le quaternion $Q = a + b i + c j + d k\,$ avec la matrice complexe suivante : ou encore avec la matrice réelle suivante : Avec ces équivalences, la somme et le produit de deux quaternions correspondent respectivement à la somme et au produit des matrices qui leur correspondent. Remarque : La matrice complexe $\begina-id & -b+ic \\ b+ic & a+id\end\,$ peut encore s'écrire sous la forme : où les 4 matrices : $E = \begin1&0\\0&1\end$ , $I = \begin0&-1\\1&0\end$ , $J = \begin0&i\\i&0\end$ et $K = \begin-i&0\\0&i\end$ sont les matrices complexes qui correspondent aux quatre quaternions-unités 1, i, j et k évoquées dans la première définition des quaternions.
Applications
Alors que cela est discutable en dimensions trois, les quaternions ne peuvent pas être employés dans d'autres dimensions ( bien que des extensions comme celles des biquaternions et des algèbres de Clifford soient utilisables ). De toute façon, la notion de vecteur avait presque universellement remplacé celle des quaternions en science et en technologie dans le milieu du . Aujourd'hui, les quaternions trouvent leur place en infographie, en théorie de la commande, dans le traitement du signal, dans la commande de mouvement et la mécanique orbitale, principalement pour représenter les rotations et les orientations en dimension trois. Par exemple, il est fréquent que les systèmes de commande de déplacement d'un vaisseau spatial soient régis en termes de quaternions. La raison est qu'effectuer beaucoup d'opérations sur les quaternions est numériquement plus stable que d'effectuer beaucoup d'opérations sur les matrices.
Voir aussi

- Adolf Hurwitz
- groupe quaternionique
- biquaternions
- Matrices de Dirac
- Algèbre d'espace-temps
Liens externes

- http://www.alcys.com ja:四元数 ko:사원수

Catégorie:Nombre
catégorie:mathématiques Les nombres et les ensembles de nombres sont parmi les objets les plus couramment manipulés en mathématiques. Dans cette catégorie se trouve tout ce qui s'y rapporte. ja:Category:数 ko:분류:수 simple:Category:Numbers th:Category:จำนวน

Nombre hypercomplexe

Les nombres hypercomplexes sont obtenus en généralisant plus avant la construction des nombres complexes à partir des nombres réels. Ils forment des algèbres réelles dont la dimension est une puissance de deux :
- quaternions : quatre dimensions
- octonions : huit dimensions
- sédénions : seize dimensions

Histoire

Les quaternions furent inventés par l'irlandais William Rowan Hamilton en 1843. Hamilton recherchait des manières d'étendre les nombres complexes (qui peuvent être assimilés à des points d'un plan) à des dimensions plus élevées de l'espace. Il ne réussit pas à le faire pour la dimension trois mais la dimension quatre produisit les quaternions. Cette découverte entraîna l'abandon de l'utilisation exclusive des lois commutatives, une avancée radicale pour l'époque. Les vecteurs et les matrices faisaient encore partie du futur, mais Hamilton venait en quelque sorte d'introduire le produit vectoriel et le produit scalaire des vecteurs. Hamilton décrivit un quaternion comme quadruplet de nombres réels, le premier élément étant un « scalaire », et les trois éléments restants formant un « vecteur », ou « imaginaire pur ». À la fin de l'année 1843 John Graves et Arthur Cayley découvrent indépendamment une algèbre de dimension huit : les octonions. Celle-ci n'est plus associative.

Propriétés

On peut créer une infinité d'algèbres du même type en appliquant la construction de Cayley-Dickson à l'algèbre de rang inférieur. Quelques propriétés intéressantes sont à noter:
- À chaque rang les dimensions des nombres sont doublées ;
- À chaque rang une propriété est perdue. ! n ! 2ⁿ ! nom ! limite |----- | 0 || 1 || réels || - |- | 1 || 2 || complexes || perte de la comparaison |----- | 2 || 4 || quaternions || perte de la commutativité |- | 3 || 8 || octonions || perte de l'associativité |----- | 4 || 16 || sédénions || perte de l'alternativité |{

Nombre réel

Cet article traite de l'histoire des nombres réels, de leurs raisons d'être et en décrit les propriétés essentielles. La construction des nombres réels est traitée dans un autre article.

Des nombres et de leurs origines

Problématique et première solution

Depuis l'Antiquité la représentation d'une grandeur mesurable a répondu à un besoin. La première réponse fut la construction des nombres rationnels. Cette solution est finalement performante. Elle permet d'approximer toute longueur avec une précision supérieure à nos besoins. Les premiers systèmes connus sont ceux des Sumériens, ce sont en effet les premiers qui ont noté et donc laissé une trace visible de leurs pensées. Non seulement la notion de fraction était formalisée, mais cette notion était normalisée et des dénominateurs, que l'habitude avait rendu intuitifs, étaient communs à tout leur peuple. Leur habitude a perduré jusqu'à nous dans quelques domaines. La représentation du temps est une trace vivante de leur manière de représenter une grandeur mesurable. Illustrons nos propos par un exemple : comment exprimer

20.695=\frac

en sumérien ? Les Sumériens disent que la durée est d'approximativement 20 jours car ils remarquent que

\frac=20+\frac

. Ensuite ils disent que la durée est plus précisement 20 jours et une demie journée car ils remarquent que

\frac=20+\frac+\frac

. Enfin on trouve 20 jours une demie journée 4 heures 40 minutes et 48 secondes car

\frac=20+\frac+\frac+\frac+\frac

. Nous utilisons encore leur système aujourd'hui.

La formalisation d'Euclide

fraction La première formalisation construite en système que l'on connaisse est le fruit du travail d'Euclide au . Sa construction rédigée dans 13 livres appelés Éléments d'Euclide, apporte deux grandes idées d'un apport majeur dans l'histoire des mathématiques. :Les mathématiques sont formalisées avec des axiomes, des théorèmes et des preuves. On peut alors construire un système, avec des théorèmes dont les preuves s'appuient sur d'autres théorèmes. Les mathématiques sont classées en catégories, la géométrie et l'arithmétique en sont les deux plus grandes. Parler de construction prend alors tout son sens. :Un pont est bati entre les deux grandes catégories. Cette démarche, permettant d'utiliser des résultats d'une des branches des mathématiques pour éclairer une autre branche est des plus fécondes. Les nombres sont mis en correspondance avec les points d'une droite orientée, appelée droite réelle. Considérons une droite D contenant un point O que par convention nous appellerons origine. Soit un point I distinct de O appartenant à D que nous identifierons au nombre 1. Par convention nous dirons que la distance de O à I est égal à 1 et que l'orientation de la droite est celle de O vers I. À tout point M de la droite, on associe la distance entre O et M. Si M et I sont du même coté par rapport à O alors la distance est comptée positivement, sinon elle est négative. Ce nombre est appelé abscisse du point M considéré. Cette relation que notre formalisation actuelle appelle bijection permet d'identifier un nombre réel à un point d'une droite. Nous verrons que cette approche n'a pas tardé à fournir des résultats aussi troublants que fondamentaux. Droite réelle l'abscisse du point

Q

est égale à

-\frac=-3

OI

OQ

désignant les distances de

O

I

et de

O

Q

respectivement

Problèmes des nombres rationnels

Le début des problèmes

Droite réelle Le pont entre l'arithmétique et la géométrie ne tarda pas à porter ces fruits. Une incohérence apparu.
- Une longueur dont le carré est égal à 2 existe. Un raisonnement mathématique, déjà vieux à l'époque d'Euclide, montre qu'il est possible de construire un carré B de surface double de celle d'un carré initial A que l'on choisit de coté 1. Si l'on note l la longueur du coté du carré B, qui est égal à à la longueur de la diagonale du carré A, alors on vérifie l'égalité l^{2^{= 2. Voilà un raisonnement simple et imparable qui nous vient de la géométrie.

- Une longueur dont le carré est égal à 2 n'existe pas sous forme de fraction. Quelques résultats sont déjà connus en arithmétique, par exemple le lemme d'Euclide. A partir de ce lemme on montre qu'aucun nombre ne peut avoir de carré égal à 2. Ici, nombre signifie fraction car il rien d'autre n'est encore imaginable. La démonstration est donnée en appendice. Voilà un raisonnement simple et imparable qui nous vient de l'arithmétique.

Nous voilà devant une situation incompréhensible. Les mathématiques sont capables de prouver à la fois qu'une proposition est vrai et fausse. Pourtant aucune erreur n'est visible. Il faudra plus de deux millénaires pour que l'humanité comprennent pourquoi les rationnels ne représentent qu'imparfaitement la droite réelle et comment bien les représenter. Cette histoire est l'histoire des nombres réels.

Il est à noter que Pythagore savait probablement que certaines racines sont irrationnelles. En revanche, la première formalisation dans un véritable corpus mathématique construit nous vient d'Euclide.

Les problèmes continuent
Pythagore

Si les fractions permettent effectivement d'exprimer toute longueur avec la précision souhaitée, il faut néanmoins comprendre que les opérations et particulièrement la division devient véritablement complexe si le système de numération n'est pas adapté. Le problème est parfaitement décrit par l'article Fraction égyptienne qui propose quelques exemples concrets.

L'école mathématique grec, tout de même mieux équipée que ses confrêres égyptiens se désintéressa de cette problématique, à quelques exceptions notoire comme Diophante d'Alexandrie. Il fallu une autre source de savoir. Elle vint de perse par le mathématicien Abou Jafar Muhammad Ibn Mūsa al-Khuwārizmī pour introduire dans la pensée européenne du moyen-age des concepts comme la numérotation indienne, le zéro et une pensée de type algèbrique et non uniquement géométrique. Il fallu encore des siècles pour découvrir des notations pratiques et un système décimal véritablement opérationnel.

Un deuxième problème apparaît. Peut-on écrire toutes les fractions de manière décimal ? La réponse est oui à condition d'accepter que les suite de décimales ne s'arrètent pas. Or une analyse des développements décimaux montre que la suite de décimales est périodique pour une fraction. Et si la suite des décimales ne l'est pas ? Par exemple, le nombre 0.1010010001... correspond il à une longueur? Notre intuition nous dit que oui, mais la raison montre que cette valeur ne peut être une fraction. Quel sens lui donner alors?

Les problèmes s'aggravent
développements décimaux

Durant la deuxième partie du , Isaac Newton et Gottfried Wilhelm von Leibniz inventent une toute nouvelle branche des mathématiques. On l'appelle maintenant l' analyse, à l'époque elle était connue sous le nom de calcul infinitésimal. Cette branche acquiert presque immédiatement une renommée immense car elle est la base d'une toute nouvelle théorie physique universelle : la théorie de la gravité newtonienne. Une des raisons de cette renommée est la résolution d'une vieille question, à savoir si la terre tourne autour du soleil ou l'inverse.

calcul infinitésimal
Or le calcul infinitésimal ne peut se démontrer rigoureusement dans l'ensemble des nombres rationnels. Si les calculs sont justes, ils sont exprimés dans un langage d'une extrème complexité et les preuves procèdent plus de l'intuition que d'une explicitation formelle limpide.

Pour comprendre la raison de l'impossibilité de la construction de l'analyse dans l'ensemble des fractions, il faut savoir que cette branche des mathématiques se fondent sur l'analyse des infiniments petits. Or on pourrait intuitivement comparer les nombres rationnels à une infinité de petits grains de sable (de taille infiniment petite) sur la droite réelle mais qui laisse plus de trous que de matière. Or l'analyse ne peut se contenter d'un tel support, la raison est rigoureusement donnée en appendice. Elle demande pour support un espace complet. Le mot est ici utilisé dans un double sens, le sens intuitif qui signifie que l'infinité de petits trous doit être bouchés et le sens que les mathématiciens donnent aujourd'hui plus abstrait mais rigoureusement formalisé.

Cette notion est tellement importante qu'elle deviendra à l'aube du une large branche des mathématiques appelée topologie.

Après 2200 ans : la solution
La construction
topologie

L'analyse permet une intuition de plus en plus précise sur la topologie des nombres. Un siècle sera alors suffisant pour permettre de construire rigoureusement les nombres réels c'est à dire boucher les trous. Comment ont ils fait?
construire rigoureusement les nombres réels

Comme parfois en mathématiques, quand un problème arrive à maturité, ce n'est pas un mais deux penseurs qui résolvent la difficulté. C'est ce qui arriva.

La premier à avoir défini un concept permettant de résoudre la problématique de la construction des nombres réels est Augustin Louis Cauchy. Son approche est restée la plus fructueuse. Elle s'applique à bien d'autres cas que celui des nombres réels. Son idée est la suivante: une suite de nombres devrait converger (c'est à dire avoir une limite), si, au bout d'un certain temps, tous les éléments de la suite sont à une distance les un des autres aussi petite que l'on veut. Cette idée est formalisée dans l'article Suite de Cauchy. Considérons la suite 1 puis 1,4 puis 1.41 et ainsi de suite en alignant petit à petit toutes les décimales de $\sqrt 2$ , cette suite est vérifie le critère de Cauchy. Sa limite est un bon candidat pour représenter la racine carré de 2 et cette approche permet de constuire les nombres réels.

Le deuxième fût Richard Dedekind dans son ouvrage Was sind und was sollen die Zahlen (ce que sont et ce que doivent être les nombres). C'est la plus simple, il étudie la relation d'ordre sur les fractions. Son idée consiste à considérer les coupures, par exemple tous les nombres négatifs ou dont le carré est plus petit que 2. Cet objet est aussi un bon candidat pour représenter la racine carré de 2.

Ces deux méthodes construisent le même ensemble, les nombres réels.

La solution est plus riche que prévue
coupures
Le montrera que cette nouvelle structure, l'ensemble des nombres réels ses opérations et sa relation d'ordre, non seulement remplit intégralement ses promesses mais va largement au delà.

- Non seulement le paradoxe de la $\sqrt$ est résolu, mais un théorème puissant: le Théorème des valeurs intermédiaires permet de construire toutes les fonctions réciproques nécessaires, aussi bien de la forme des radicaux avec les fonctions de type $x \rightarrow \sqrt[n]$ , que dans le cas des fonctions trigonométriques.

- Non seulement les développements décimaux infinis ont maintenant un sens, mais en plus, il devient possible de mieux comprendre les nombres réels et de les classifier. Ainsi en dehors des fractions rationnelles on découvre le corps des nombres algébriques c'est à dire des nombres qui sont racines d'un polynôme à coefficients entiers. Les travaux de Carl Friedrich Gauss et de Pierre-Laurent Wantzel sous la forme du théorème de Gauss-Wantzel résolvent l'essentiel des problèmes insolubles depuis l'antiquité sur la construction à la règle et au compas, comme la trisection de l'angle ou la duplication du cube. Le plus beau d'entre eux: la quadrature du cercle demandera plus de travail. Une nouvelle famille de nombres est exhibée: les transcendants qui ne sont racines d'aucune équation polynômiale à coefficients entiers. Joseph Liouville prouve l'existence de tels nombres, en exhibe les premiers exemples et trouve les premiers outils de démonstration. La démonstration de la transcendatalité de π prouve alors l'inexistance de solution à la quadrature du cercle.

- Enfin, le Théorème de Rolle, est généralisée et permet la démonstration d'un résultat essentiel pour l'analyse. Le comportement infinitésimal d'une fonction, par exemple le fait que la dérivée soit toujours positive, permet de déduire un comportement global. Cela signifie par exemple, que si un solide se déplace sur une droite avec une vitesse toujours positive, alors le solide a avancé (c'est à dire qu'il n'a pas reculé). Ce résultat, intuitivement évident, a demandé des siècles d'efforts pour pouvoir être démontré. Mais cette propriété est si basique, que sans capacité de démonstration, il fallait bien se fonder sur les conjectures à l'époque indémontrable.

Propriétés de R

Si l'on souhaite être bref, on peut caractériser l'ensemble des nombres réels que l'on note en général $\mathbb R$ , par la phrase de David Hilbert: $\mathbb R$ est le dernier corps commutatif archimédien et il est complet. Dernier signifie que tout corps commutatif archimédien est isomorphe à un sous ensemble de $\mathbb R$ . Ici isomorphe signifie intuitivement qu'il possède la même forme, ou se comporte exactement de la même manière, on peut donc sans grande difficulté, dire qu'ils sont les mêmes.

Approche axiomatique

isomorphe
Une approche axiomatique consiste à caractériser un concept par une ou une série de définitions. Ce point de vue, dont Hilbert est le précurseur dans son formalisme moderne, s'est révélé extrêmement fécond au . Des notions comme la topologie, la théorie de la mesure, ou les probabilités se définissent maintenant par une axiomatique. Une approche axiomatique suppose une compréhension parfaite de la structure en question et permet une démonstration des théorèmes uniquement à partir de ces définitions. C'est la raison pour laquelle de bonnes définitions peuvent en mathématiques s'avérer si puissantes. L'approche axiomatique de $\mathbb R$ ne montre néanmoins pas son existence. Il apparaît alors nécessaire de construire cette structure. Cette question est traitée dans l'article Construction des nombres réels.

La définition axiomatique nous est essentiellement donnée en introduction. $\mathbb R$ est l'unique corps commutatif totalement ordonné qui satisfait l'axiome de la borne supérieure à un isomorphisme près.

- $\mathbb R$ est un corps commutatif. $\mathbb R$ est donc une structure algébrique pure autrement dit toutes ses lois sont internes. En effet l'addition (respectivement la multiplication) s'appliquent à deux nombres réels pour donner un troisième nombre réel. $\mathbb R$ est un corps, ses deux opérations, l'addition et la multiplication, possèdent donc toutes les propriétés usuelles. Un corps est commutatif si sa deuxième opération, ici la multiplication, est commutative.

- $\mathbb R$ est un corps totalement ordonné . Cela signifie que tous les nombres peuvent être comparés entre eux (l'un est soit plus grand, soit plus petit, soit égal à l'autre) et que cette relation respecte l'addition et la multiplication. En langage mathématique on a:

- : $\forall a,b,c \in \mathbb \quad a>b \; \Rightarrow a+c>b+c\;$ ;

- : $\forall a,b \in \mathbb \;\forall c \in \mathbb_+^ - \quad a>b \; \Rightarrow a\times c>b\times c\;$

- L'axiome de la borne supérieure s'exprime de la manière suivante : si un ensemble A est non vide et majoré, autrement dit s'il existe un nombre donné plus grand ou égal à chaque élément de A; alors A admet une borne supérieure, c'est le plus petit des majorants.

Le dernier axiome différencie $\mathbb R$ de tous les autres corps. Il existe en effet une infinité de corps commutatifs totalement ordonnés, mais un seul satisfait l'axiome de la borne supérieure.

1843
Catégorie:1843

Cette page concerne l'année 1843 du calendrier grégorien.

Événements

Europe

- Un coup d'état en Grèce force le roi Otto à accepter une constitution.

Afrique

- L'Angleterre occupe le Natal en Afrique du Sud.

Asie

- L'Angleterre occupe le Sind en Inde.

Océanie & Pacifique

- Lord George Paulet s'empare d'Hawaii au nom de l'Angleterre.

Proche-Orient & Monde arabe

- Une expédition française au Maroc est victorieuse.

Chronologies thématiques

- Art & culture :

- Le philosophe danois Søren Kierkegaard publie Crainte et tremblement.

- Le critique d'art anglais John Ruskin commence la publication de Modern Painters (fin en 1860).

- Science et techniques :

- L'astronome allemand Samuel Schwabe découvre le cycle des taches solaires.

- Le physicien anglais James Prescott Joule découvre expérimentalement l'équivalent mécanique de la chaleur.

- Sports :

- Le Kent est sacré champion de cricket en Angleterre.

- Première édition de la course hippique française du Prix de Diane, à Chantilly.

Naissances en 1843

- 29 janvier : William McKinley, futur Président des États-Unis († 1901).

- 6 février : Paul Sébillot, ethnologue français († 1918).

- 6 mai : Grove Karl Gilbert, géologue étasunien († 1918).

- 15 avril : Henry James, écrivain américain († 1916).

- 4 juin : Charles Conrad Abbott, archéologue et naturaliste américain († 1919).

- 15 juin : Edvard Grieg, compositeur norvégien († 1907).

- 23 juin : Paul von Groth, minéralogiste allemand.

- 5 juillet : Anton Ausserer, naturaliste allemand spécialiste des araignées († 1889).

- 11 décembre : Robert Koch, médecin et microbiologiste allemand († 1910).

Décès en 1843

- 30 septembre : Richard Harlan, médecin, zoologiste et paléontologue américain (° 1796).

- mort de Léopoldine Hugo et de son mari Charles Vacquerie, noyés dans la Seine à Villequier.

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Carl Friedrich Gauss
Johann Carl Friedrich Gauss (30 avril 1777 — 23 février 1855) était un mathématicien, astronome et physicien allemand, ayant apporté de très importantes contributions ; il est considéré comme un des plus grands mathématiciens de tous les temps.
allemand
Gauss naquit à Brunswick, dans le duché de Brunswick (maintenant en Allemagne) dans une famille très modeste, dont les parents avaient peu d'éducation.

Gauss fut un enfant prodige, il apprit seul à lire et à compter à l'âge de trois ans et à l'école, il impressionna très tôt ses professeurs, et il y a d'ailleurs une célèbre anecdote ; un professeur essayait d'occuper ses élèves en leur faisant faire des additions, il leur proposa de calculer la somme de tous les nombres de 1 à 100. Peu de temps après, le jeune Gauss fournit la réponse correcte, ayant astucieusement additionné les nombres extrêmes par paires, remarquant que les sommes intermédiaires donnaient toujours le même résultat: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101, etc., et ce un nombre total de 50 fois soit 50 × 101 = 5050.

Le duc de Brunswick remarqua ses aptitudes, et lui accorda une bourse en 1792 afin de lui permettre de poursuivre son instruction. Il fut envoyé au collège Caroline qu'il fréquenta jusqu'en 1795. Dans cette période, il formula la méthode des moindres carrés et une conjecture sur la répartition des nombres premiers, conjecture qui fut prouvée par Jacques Hadamard en 1896.

Gauss acquit pendant toute sa scolarité une très grande érudition, et lorsqu'il était au collège, il démontra à nouveau, indépendamment, des théorèmes importants.

Gauss fit une grande percée en 1796, lorsqu'il caractérisa presque complètement tous les polygones réguliers constructibles à la règle et au compas uniquement (Théorème de Gauss-Wantzel), et compléta de cette façon le travail commencé par les mathématiciens de l'Antiquité grecque.
Gauss était si satisfait de ce résultat qu'il demanda qu'un polygone régulier de 17 côtés soit gravé sur son tombeau.

Il fut le premier à démontrer rigoureusement le théorème fondamental de l'algèbre ; en fait, il produisit quatre preuves entièrement différentes de ce théorème tout au long de sa vie, et clarifia considérablement le concept de nombre complexe. Il apporta aussi d'importantes contributions en théorie des nombres avec son livre publié en 1801 Disquisitiones arithmeticae, qui contenait un exposé très clair sur l'arithmétique modulaire et la première preuve de la loi de réciprocité quadratique.

Il fut soutenu par des traites du Duc de Brunswick, mais n'apprécia pas l'instabilité de cet arrangement et aussi ne crut pas que les mathématiques fussent assez importantes pour mériter une telle aide ; il opta donc pour une place dans l'astronomie, et en 1807 il fut nommé professeur d'astronomie et directeur de l'observatoire astronomique de Göttingen.

En 1809, Gauss publia un travail d'une importance capitale sur le mouvement des corps célestes qui contenait un développement influant de la méthode des moindres carrés, une procédure utilisée aujourd'hui dans toutes les sciences, pour minimiser l'impact d'une erreur de mesure. Il était en mesure de prouver l'exactitude de la méthode dans l'hypothèse d'erreurs normalement distribuées. La méthode fut décrite plus tôt par Adrien-Marie Legendre en 1805, mais Gauss affirma qu'il l'utilisait depuis 1795.

Gauss découvrit la possibilité de géométries non-euclidiennes mais ne publia jamais ce travail. Son ami Farkas Wolfgang Bolyai avait essayé en vain pendant de nombreuses années de démontrer le postulat de la parallèle à partir des autres axiomes de la géométrie d'Euclide et échoua. Le fils de Bolyai, János Bolyai, découvrit à nouveau la possibilité de géométries non euclidiennes en 1820 ; son travail fut publié en 1832.
Plus tard, Gauss essaya de déterminer si le monde physique était en fait euclidien en mesurant des triangles géants.

En 1818, Gauss commença une étude géodésique de l'État de Hanovre, travail qui mena plus tard au développement des distributions normales pour décrire les erreurs de mesure et qui comporta un intérêt dans la géométrie différentielle ; et son theorema egregrium permit d'établir une propriété importante de la notion de courbure.

En 1831, une collaboration fructueuse avec le professeur de physique Wilhelm Weber aboutit à des résultats sur le magnétisme, et fut à l'origine de la découverte des lois de Kirchhoff en électricité et mena à la construction d'un télégraphe primitif. Il fut également l'auteur de deux des quatre équations de Maxwell, qui constituent une théorie globale de l'électromagnétisme. La loi de Gauss pour les champs électriques exprime qu'une charge électrique crée un champ électrique divergeant. Sa loi pour les champs magnétiques énonce qu'un champ magnétique divergeant vaut 0, c'est-à-dire qu'il n'existe pas de monopôle magnétique. Les lignes de champ sont donc obligatoirement fermées.

Bien que Gauss n'eût jamais travaillé comme professeur de mathématiques et qu'il détesta enseigner, plusieurs de ses étudiants devinrent des mathématiciens influents, parmi lesquels figuraient Richard Dedekind et Bernhard Riemann.

Gauss était profondément pieux et conservateur. Il soutint la monarchie et s'opposa à Napoléon qu'il vit comme un semeur de révolution. La vie privée de Gauss fut marquée par la mort précoce de sa première femme qu'il aimait, Johanna Osthoff, en 1809, suivie de près par la mort de l'un de ses enfants, Louis. Gauss plongea dans une dépression de laquelle il ne sortit jamais entièrement. Il se remaria, avec Friederica Wilhelmine Waldeck (Minna), mais le deuxième mariage ne semble pas avoir été très heureux. Quand sa deuxième femme décéda en 1831 après une longue maladie, l'une de ses filles, Therese, prit en main les tâches ménagères et s'occupa de Gauss jusqu'à la fin de sa vie. Sa mère habita dans sa maison de 1812 jusqu'à sa mort en 1839. Gauss a rarement collaboré avec d'autres mathématiciens et était considéré par beaucoup comme une personne distante et austère.

Gauss eut six enfants, trois par femme. Avec Johnanna (1780-1809), ses enfants furent Joseph (1806-1873), Wilhelmina (1808-1846) et Louis (1809-1810). De tous les enfants de Gauss, Wilhelmina était la plus prédisposée à avoir son génie, mais mourut regrettablement jeune. Avec Minna Waldeck, il eut trois enfants : Eugene (1811-1896), Wilhelm (1813-1879) et Therese (1816-1864). Eugene émigra aux États-Unis en 1832 environ, après une discorde avec son père, pour se retrouver finalement à Saint-Charles, dans le Missouri, où il devint un membre respecté de la communauté. Wilhelm vint s'installer un peu plus tard dans le Missouri, commença comme fermier et se lança dans la vente de chaussures à Saint Louis et devint riche. Therese resta à la maison jusqu'à la mort de Gauss, et se maria après.

Il décéda à Göttingen, Hanovre (aujourd'hui en Allemagne) en 1855 et fut enterré au cimetière de Albanifriedhof. De 1989 jusqu'à la fin de 2001, son portrait et une courbe de distribution normale figuraient sur le billet de banque de dix marks allemand.

G. Waldo Dunnington fut pendant toute sa vie un élève de Gauss. Il écrivit de nombreux articles, et une biographie: Carl Frederick Gauss: Le Titan de la Science.

La Royal Society lui décerne la médaille Copley en 1838. L'astéroïde 1001 Gaussia a été nommé en son honneur.

Voir aussi

- conditions de Gauss dans les articles optique géométrique, lentille et miroir.

- loi normale gaussienne en probabilités et statistiques

- Détermination orbitale

- Théorèmes de Gauss

Liens externes

- [http://www.geocities.com/RainForest/Vines/2977/gauss/english.html Carl Friedrich Gauss], site incluant la biographie de Gauss et tout son travail.

- [http://www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/~history/Mathematicians/Gauss.html biographie MacTutor de Gauss]

- [http://freepages.science.rootsweb.com/~johns Carl Frederick Gauss], site tenu par l'arrière arrière arrière-petite-fille de Gauss, incluant une lettre numérisée écrite par Gauss et addressée à son fils, Eugene, et lien vers sa généalogie.

Gauss, Carl Friedrich
Gauss, Carl Friedrich
Gauss, Carl Friedrich
Gauss, Carl Friedrich
Gauss, Carl Friedrich
Gauss, Carl Friedrich

ja:カール・フリードリヒ・ガウス
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th:คาร์ล ฟรีดริช เกาส์

Leonhard Euler

Leonhard Euler (15 avril 1707 - 18 septembre 1783) était un mathématicien et un physicien suisse.

Il est né en Suisse, à Bâle, en 1707, et il y étudia les mathématiques; puis il travailla en tant que professeur de mathématiques à Saint-Pétersbourg, et plus tard à Berlin, puis retourna à Saint-Petersbourg. Il est considéré comme le mathématicien le plus prolifique de tous les temps. Il domina les mathématiques du et développa très largement ce qui s'appelait alors la nouvelle analyse. Il était complètement aveugle pendant les dix-sept dernières années de sa vie, et pendant cette période, il produisit presque la moitié de la totalité de son travail.

Euler resta profondément pieux pendant toute sa vie. L'anecdote qui dit qu'Euler défia Denis Diderot à la Cour de Catherine la Grande avec l'affirmation : « Monsieur, (a+bⁿ)/n = x; donc Dieu existe! » réponse cependant fausse.

Découvertes

Il est le physicien qui, avec Daniel Bernoulli, établit la loi selon laquelle, le couple sur un faisceau élastique mince est proportionnel à une mesure de l'élasticité du matériau et le moment d'inertie d'une coupe transversale, autour d'un axe traverse le centre de masse en étant perpendiculaire au plan des couples.
Il a également déduit un ensemble de lois de mouvement en dynamique des fluides à partir des lois du mouvement de Newton qui s'énoncent ainsi:
#La force agissant sur un petit élément d'un fluide est égale au taux de variation de sa quantité de mouvement.
#Le couple agissant sur un petit élément d'un fluide est égal au taux de variation du moment cinetique.

En mathématiques, il apporta d'importantes contributions à la théorie des nombres et aussi à la théorie des équations différentielles. Sa contribution à l'analyse, par exemple, est issue de sa synthèse du calcul différentiel de Leibniz avec la méthode de Newton des fluxions.

Il établit sa renommée très tôt en résolvant un problème de longue date:

: $\zeta(2) = \sum_^\infty \frac = \frac + \frac + \frac + \frac + \cdots = \frac$

où $\zeta(s)\,$ est la fonction ζ de Riemann.

Il montra aussi que pour tout nombre réel x,

: $e^ = \cos x+ i\sin x \,$

C'est la formule d'Euler, qui établit le rôle central de la fonction exponentielle. Par essence, toutes les fonctions étudiées en analyse élémentaire sont ou de simples variations de la fonction exponentielle ou des fonctions polynomiales.

L'identité d'Euler que certains scientifiques ont appelé la « formule la plus remarquable du monde » en est une conséquence immédiate.

En 1735, il travailla sur la constante d'Euler-Mascheroni utile dans certaines équations différentielles :

: $\gamma = \lim_ \left( 1+ \frac + \frac + \frac ... + \frac - \log(n) \right)$

Il est un coauteur de la formule d'Euler-Maclaurin qui est un outil extrêmement puissant pour le calcul des intégrales, des sommes et des séries difficiles.

Euler écrivit Tentamen novae theoriae musicae en 1739 qui fut une tentative d'accorder les mathématiques et la musique ; une biographie commente que le travail était destiné « à des musiciens trop avancés dans leurs mathématiques et à des mathématiciens trop musicaux ».

Dans les sciences économiques, il prouva que si chaque facteur de production est payé à la valeur de son produit marginal, alors (sous des rendements à l'échelle constants) le revenu total et le rendement seront complètement épuisés.

En géométrie et en topologie algébrique, il y a une relation appelé relation d'Euler qui relie le nombre de côtés, de sommets, et de faces d'un polyèdre du genre 0 (en supprimant un face on obtient une surface simplement connexe), par exemple d'un polyèdre convexe. Étant donné un tel polyèdre, la somme du nombre de sommets S et de faces F est toujours égale au nombre de côtés C plus deux c'est-à-dire:
:F - C + S = 2
Le théorème s'applique également à n'importe quel graphe du plan.

Pour les graphiques non plans, il y a une généralisation: si le graphique peut être plongé dans une variété M, alors si F est le nombre de faces, S le nombre de sommets et A le nombre d'arêtes, F - A + S = χ(M), où χ est la caractéristique d'Euler de la variété, une constante qui est invariable sous des déformations continues. La caractéristique d'Euler d'une variété simplement connexe comme une sphère ou un plan vaut 2. Une généralisation de la formule d'Euler pour les graphes arbitraires du plan existe:
F - A + S - C = 1, où C est le nombre de composantes dans le graphe.

En 1736, Euler résolut un problème connu sous le nom du problème des sept ponts de Königsberg, publiant un article Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis qui pourrait être l'application la plus récente de la théorie des graphes ou de la topologie.

bibtex :
@article

Algèbre sur un corps
ja:多元環

Catégorie:Théorie des anneaux
En mathématiques, une algèbre est une structure algébrique qui se définit comme suit:

$(E, \mathbb K, +,\cdot, \times)$ est une algèbre sur un corps $\mathbb K$ , ou autrement dit une $\mathbb K$ - algèbre si :
# (E, +, ·) est un espace vectoriel sur $\mathbb K$
# la loi × est définie de E x E dans E ( loi de composition interne )
# la loi × est distributive, à gauche et à droite, par rapport à la loi +
# pour tout a, b dans $\mathbb K$ et pour tout x, y dans E alors (a·x)×(b·y) = (a×b)·(x×y)

Exemples d'algèbres

- L'ensemble des nombres complexes $(\mathbb C, \mathbb R, +,\cdot, \times)$ est une $\mathbb R$ - algèbre associative et commutative.

- L'ensemble des matrices carrées d'ordre n à valeur dans $\mathbb R$ $\left(\mathcal M_n(\mathbb R), \mathbb R, +,\cdot, \times \right)$ est une un $\mathbb R$ - algèbre associative et non commutative.

- L'espace euclidien $\mathbb R^3$ muni du produit vectoriel $(\mathbb R^3, \mathbb R, +,\cdot, \wedge)$ est une un $\mathbb R$ - algèbre non associative et non commutative.

- L'ensemble des quaternions $(\mathbb H, \mathbb R, +,\cdot, \times)$ est une $\mathbb R$ - algèbre associative et non commutative.

- L'ensemble des octonions $(\mathbb O, \mathbb R, +,\cdot, \times)$ est une $\mathbb R$ - algèbre non associative et non commutative.

- L'ensemble des biquaternions $(\mathbb B, \mathbb R, +,\cdot, \times)$ est une $\mathbb R$ - algèbre associative et non commutative.

- L'ensemble des biquaternions $(\mathbb B, \mathbb C, +,\cdot, \times)$ est une $\mathbb C$ - algèbre associative et non commutative.

Georg Ferdinand Frobenius
Ferdinand Georg Frobenius, connu aussi sous le nom de Georg Frobenius, né le 26 octobre 1849 à Charlottenbourg (Prusse), aujourd'hui sous-municipalité de Berlin, et mort le 3 août 1917 à Berlin (Allemagne), est un mathématicien allemand.

Biographie

Il suit des études aux universités de Göttingen et de Berlin et à l'école polytechnique de Zurich. Il est l'un des premiers, avec Weber, à s'intéresser à la théorie des groupes pour elle-même et non comme outil, et il redémontre dans ce cadre les théorèmes de Sylow. On lui doit l'introduction des caractères d'un groupe non commutatif. Il travaille aussi en algèbre linéaire et donne en 1878 la première démonstration générale du théorème de Cayley-Hamilton. Il émet l'hypothèse, démontrée seulement en 1904 par Hensel, que les polynômes minimaux et caractéristiques d'un endomorphisme ont les mêmes facteurs irréductibles. En revanche, il démontre le théorème qui porte maintenant son nom (prouvé indépendamment par le mathématicien américain Charles Sanders Peirce) qui, dans la terminologie moderne, exprime que les seules algèbres de dimension finie et sans diviseur de zéro sur le corps des nombres réels, sont le corps des nombres réels, le corps des nombres complexes et le corps des quaternions d'Hamilton. En analyse, il étudie les fonctions elliptiques et les équations aux dérivées partielles, et s'intéresse à la théorie des nombres, en particulier à la fonction Zeta de Riemann et aux nombres algébriques.

Frobenius, Georg

1877
Catégorie:1877

Cette page concerne l'année 1877 du calendrier grégorien.

Événements

Europe

- 24 avril : Guerre russo-turque à propos des Balkans.

France

- 16 mai : « Crise du 16 mai »

Suisse

- Une loi fédérale introduit le système métrique; le mètre, le litre et le kilogramme sont désormais appliqués comme unités de mesure dans l'ensemble du pays.

- A Lugano, des gendarmes arrêtent des jeunes gens armés de sabres et de revolvers qui chantent dos chansons révolutionnaires dans la rue. Bilan: plusieurs blessés,ainsi qu'un mort du côté des gendarmes.

- La première loi fédérale sur les fabriques instaure la journée de onze heures et interdit de faire travailler des enfants.

Afrique

- Début de l'exploration de l'Angola par le portugais Serpa Pinto (fin en 1879).

- Le Transvaal en Afrique du Sud est annexé par l'Angleterre.

Amériques
Amérique du Nord

- 2 mars : Après des mois de constestation, c'est le républicain Rutherford B. Hayes, qui est déclaré président des États-Unis (élection de 1876) contre le démocrate Samuel Tilden.

- Grève générale aux États-Unis pour la journée de travail de 8 heures.

- Poursuite des Nez-Percés, qui refusent d'être parqués dans une réserve, par l'armée étatsunienne durant l'été.

Amérique latine

- Mouvement de population vers l'Acre

Asie

- L'armée japonaise réprime à Kagoshima une révolte de samouraïs conduite par Saigo Takamori. La caste des samouraïs est dissoute.

Chronologies thématiques

- Chemins de fer : 1877 dans les chemins de fer

- Sports : 1877 en sport

- Arts & cultures :

- L'écrivain français Émile Zola écrit L'Assommoir.

- Le ballet Le lac des cygnes du compositeur russe Piotr Ilitch Tchaïkovski est représenté par le ballet du Bolchoï à Moscou.

- Le sculpteur français Auguste Rodin sculpte L'Âge d'airain.

- Sciences et techniques :

- L'astronome italien Giovanni Schiaparelli croit observer des canaux à la surface de la planète Mars.

- L'inventeur américain Thomas Edison invente le phonographe.

- L'inventeur français Émile Reynaud dépose le brevet du praxinoscope.

- À New York s'ouvre l'American Museum of Natural History.

- En Angleterre, Sidney Gilchrist Thomas dépose un brevet pour un procédé permettant la conversion des fontes phosphoreuses en acier. Il ouvre la voie au développement de l'industrie sidérurgique en Lorraine) et en Allemagne.

Naissances en 1877

- 20 janvier : Raymond Roussel, écrivain Français

- 26 janvier : Kees Van Dongen, peintre français d'origine hollandaise

- 15 février : Louis Aubert, compositeur français

- 17 février : André René Louis Maginot, homme politique français

- 21 mars : Maurice Farman, pionnier français de l'aviation

- 3 juin : Raoul Dufy, peintre français

- 5 juin : Pancho Villa, révolutionaire mexicain

- 14 juin : Jane Bathori (Jeanne-Marie Berthier), chanteuse d'opéra

- 2 juillet : Hermann Hesse, écrivain, suisse, († 1962).

- 6 juillet : Arnaud Massy, champion de golf

- 25 septembre : Plutarco Elías Calles, président du Mexique de 1924 à 1928.

- Isadora Duncan, danseuse américaine mondialement reconnue.

Décès en 1877

- 3 septembre : Adolphe Thiers, président de la République française

- 9 septembre : Filippo Parlatore, botaniste italien (° 1816)

- 23 septembre : Urbain Le Verrier, mathématicien, astronome, météorologue et homme politique français

- 20 décembre : Heinrich Daniel Ruhmkorff, ingénieur allemand

- 31 décembre : Gustave Courbet, peintre français

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th:พ.ศ. 2420

Dublin
, le plus haut bâtiment de la vile.]]

Dublin (Baile Átha Cliath en gaélique) est la capitale et la plus grande ville de la République d'Irlande, située à peu près au milieu de la côte est irlandaise, à l'embouchure de la Liffey et au centre de la Région de Dublin

Dublin possède environ 495 000 habitants intra muros (2002), mais la population de la conurbation est bien plus importante, tandis que le développement et la dispersion des banlieues et villes satellites se poursuit aux alentours.

La population de la ville atteindrait donc plus de 1 100 000 habitants (2002) ;
cependant même ces chiffres ne reflètent pas la population réelle de l'aire urbaine de Dublin, ne prenant pas en compte une partie du nord-est du comté de Kildare, ainsi que des parties rurales du Fingal au nord.

Bien qu'il n'y ait aucune définition précise du territoire du « Grand Dublin », il est généralement admis qu'il inclut l'ensemble de la ville et de la région de Dublin, ainsi qu'une partie des comtés de Wicklow, Kildare et de Meath, avec une influence qui s'étend encore plus loin.

Nom

Le nom de Dublin est généralement considéré comme provenant du gaélique Dubh Linn (« l'étang noir »), le nom d'un bassin d'un affluent de la Liffey, près duquel s'est érigé la première place forte des Vikings, bien qu'il existe des doutes à ce propos (cf. Eblana plus bas).

Le nom gaélique contemporain Baile Átha Cliath (« La ville du gué des haies de roseaux ») fait référence au hameau qui se trouvait à côté du site de fondation de Dublin.

La première référence à l'existence de la ville se trouve dans les écrits de Ptolémée aux environs de 140. Elle est alors désignée sous le nom de Eblana. La proximité de ce nom avec le nom actuel (b, l et n en commun) suffit à jeter le doute sur le lien entre Dublin et Dubh Linn, mais on ne sait pas si ces deux origines sont liées.

Le nom Dubh Linn se retrouve également en islandais : djúp lind (mare profonde).

Histoire

Le village celte Áth Cliath (le gué de la haie) est en fait antérieur à la fondation de Dublin en tant que « Dubh Linn » par les Vikings au .

Les noms modernes de Dublin font référence à cette double origine : le hameau originel pour le nom gaélique, et le village viking pour la version anglaise.

Après l'invasion de l'Irlande par les Normands, Dublin a remplacé la colline de Tara comme capitale de l'Irlande, le pouvoir s'installant au château de Dublin jusqu'à l'indépendance. À partir du la ville s'est développée rapidement, aidée par la Wide Streets Commission.

L'Insurrection de Pâques en 1916 a laissé la capitale dans l'instabilité, et la guerre anglo-irlandaise, ainsi que la guerre civile irlandaise, a laissé la ville en ruines, beaucoup de ses plus beaux bâtiments ayant été détruits.
La République d'Irlande a reconstruit une grande partie des bâtiments de la ville, mais sans prendre de réelle initiative pour moderniser la ville ; le parlement a été déplacé dans la Leinster House.

Après la Seconde Guerre Mondiale (connue comme The Emergency en référence à l'état d'urgence décrété de 1939 à 1946), Dublin était une capitale vieillotte, le renouvellement de la ville était lent, jusqu'aux années 1960, qui ont vu le début du changement.
Plus récemment, les infrastructures ont été bouleversées, avec l'avènement du Dublin Area Rapid Transit (plan de transports de la région de Dublin), qui a permis à la ville de disposer d'un système de transports urbains digne d'une ville européenne moderne.

Depuis le début de l'occupation anglaise au , la ville a joué le rôle de capitale de l'île irlandaise, sous toutes les formes qu'a pu prendre l'autorité politique :

- la Seigneurie d'Irlande (1171-1541)

- le Royaume d'Irlande (1541-1800),

- l'île en tant que membre du Royaume Uni (1801-1922)

- la République autoproclamée d'Irlande (1919-1922).

À partir de 1922, à la suite de la partition de l'Irlande, Dublin est la capitale de l'Etat Libre d'Irlande (1922–1937).

(La plupart de ces entité ont coexisté ou rivalisé pendant des périodes communes, relevant des constitutions soit britannique soit irlandaise.)

Culture & Société

Dublin est un centre culturel important en Irlande. Temple Bar est, dans un autre genre, un centre culturel pour la vie nocturne et les touristes britanniques ou plus éloignés qui visitent la ville. On trouve également une communauté gay en plein développement, bien que l'homosexualité n'ait été légalisée qu'en 1992 après un jugement de la cour Européenne.

Dublin est également la ville de nombreux artistes et écrivains reconnus
Dubliners est un recueil de nouvelles écrit par James Joyce décrivant la vie des habitants de la ville au début du XXe siècle.
Ulysse, encore de James Joyce, un roman se déroulant à Dublin, est plein de détails géographiques et fut acclamé autant que controversé.

Le National Print Museum of Ireland, le Irish Museum of Modern Art, la National Gallery of Ireland, la Hugh Lane Municipal Gallery et trois sites du National Museum of Ireland sont localisés à Dublin.

Expositions

- 1853 - Exposition Universelle de 1853

- 1865 - Exposition Internationale d'art et Métiers ('International Exhibition of Arts and Manufactures')

- 1874 - Exposition Internationale d'Art et Métiers

Northside & Southside

Il existe traditionnellement un antagonisme entre les quartiers Nord et Sud de la ville (cernés par l'autoroute M50), avec la ligne de démarcation formée par la Liffey. Le Northside (en un seul mot) est généralement plus pauvre et ouvrier, tandis que le Southside est considéré comme plus aisé, occupé par les classes moyennes et supérieures. Cette division se retrouve dans les codes postaux attribués aux quartiers, le Nord ayant des numéros impairs tandis que les numéros pairs sont attribués aux quartiers Sud
Cette division date d'il y a des siècles, sans doute à l'époque où le comte de Kildare a construit sa résidence au Sud, à l'époque peu développé, et a été rapidement suivi par ses pairs ; quand on lui demandait pourquoi il allait s'installer au Sud, il répondait « Où je vais me suis la mode ».

Paradoxalement, bien que le Sud soit plus cossu, la résidence officielle du président d'Irlande (Áras an Uachtaráin) se trouve au Nord, mais le code postal de son quartier est le 8, un numéro qui devrait correspondre aux quartiers Sud. La résidence de l'archevêque catholique de Dublin et de son homologue anglican jusqu'en 1920 sont elles aussi situées dans le Northside, tandis que l'une des banlieues les plus riches de Dublin, la colline de Howth, est également au Nord.

Il existe également de nombreuses banlieues ouvrières dans le Sud, comme Palmerstown, Crumlin, et Ballyfermot.

Dublin 4

Les classes moyennes libérales de Dublin sont souvent appelées Dublin 4, en référence au code postal de l'un des quartiers les plus riches de Dublin, dans lequel se trouvent les studios de la radio nationale, Radio Telifís Éireann, ainsi que bon nombre d'écoles et de lycées réputés, et une Université. Le campus moderne du University College of Dublin se trouve à la limite entre Dublin 4 et Dublin 14.

En fait, le terme Dublin 4 ou son abréviation D4 peut s'appliquer à n'importe quel Dublinois de classe moyenne, aussi bien du Northside que du Southside, ou plus souvent à une attitude que l'on peut trouver partout ailleurs en Irlande. De nombreux politiciens et politologues vivent à Dublin 4, et ce quartier prend traditionnellement des positions très libérales lors des référendums sur des sujets tels que l'avortement ou le divorce.
Dublin 4 est également associé à un certain accent (pas vraiment spécifique à ce quartier), que certains apprécient et d'autres abhorrent.

Loisirs

Il existe un multiplexe UGC, situé au Nord de la Liffey. De nombreux théâtres se trouvent également dans le centre ville.

La vie nocturne est très animée à Dublin, principalement à Temple Bar, le quartier situé sur la rive sud de la Liffey. Chaque week-end, ce quartier est le théâtre des enterrements de vie jeune fille et de garçon. Les autochtones tendent à éviter ces rues devenues trop touristiques.

Spécialités

La brasserie de 'St. James's Gate' , où la fameuse Guinness est produite depuis 1759.

Pendant le miracle économique irlandais (années 1990), de nombreuses multinationales pharmaceutiques et des technologies de l'information se sont implantées à Dublin et dans sa banlieue.
Le centre opérationnel de Microsoft pour l'Europe, le Moyen-Orient et l'Afrique est situé dans la zone d'activités de Sandyford, au Sud de Dublin, ainsi que Xerox et Google. À l'Ouest de Dublin, Leixlip accueille Intel et Hewlett-Packard. La quantité d'industriels de l'informatique à Dublin en a fait la Silicon Valley de l'Europe.

Sport

C'est à Dublin qu'on trouve la plupart des sièges de fédérations sportives irlandaises. Croke Park, un stade de 82 000 places, est le siège de la Fédération Irlandaise d'Athlétisme, et abrite des matches de Football gaélique et de Hurling ou Iománaíocht pendant les mois d'été et pour la Saint Patrick. Lansdowne Road est un stade de 48 000 places détenu par la Fédération Irlandaise de Rugby, et sert également de terrain pour les matches à domicile de l'équipe nationale de Football. Il y a également plusieurs champs de course dans l'agglomération de Dublin, dont Shelbourne Park (course de lévriers) et Leopardstown ( courses hippiques). Enfin, on trouve également de nombreux autres stades, destinés au basket-ball, au handball gaélique, au hockey sur gazon ou à l'athlétisme.

Principaux sites

Dans la ville, la plus grande et la plus cosmopolite du pays, vous découvrirez, à une échelle très humaine, une magnifique architecture géorgienne, des marques tangibles de l'histoire littéraire irlandaise (Jonathan Swift, Oscar Wilde, George Bernard Shaw, William Butler Yeats, James Joyce, Samuel Beckett...)

Dublin est coupée en deux par la Liffey. Parmi les sites à visiter, les plus intéressants sont :

- Trinity College, université fondée en 1592 par Élisabeth Ire d'Angleterre et qui abrite le Book of Kells, manuscrit enluminé datant d'environ 800, ce qui en fait l'un des livres les plus anciens au monde ;

- la Bank of Ireland, magnifique bâtiment qui devait à l'origine abriter le Parlement irlandais ;

- Christ Church Cathedral, dont certaines parties remontent à la construction danoise d'origine () ;

- Saint Patrick's Cathedral, ;

- GPO (General Post Office), site de la proclamation de la République d'Irlande en 1916 pendant le Soulèvement de Pâques ;

- Dublin Writers' Museum (musée des écrivains dublinois) ;

- Dublin Castle, anciennement le centre du pouvoir britannique en Irlande ;

- National Museum ;

- National Art Gallery.

Il y a aussi de nombreuses places et squares recelant des trésors d'architecture georgienne : St Stephen's Green, Merrion Square, Ely Place, Fitzwilliam Square...

Le quartier le plus richement doté en restaurants est celui de Temple Bar, ancien, intéressant et en pleine renaissance. Cependant, les autorités dublinoises essaient de réduire le nombre d'enterrements de vie de jeune fille ou de garçon (les Stag nights) britanniques, qui envahissent ce quartier chaque semaine.

Pour apprécier un autre aspect de la ville, on peut visiter le village paisible de Sutton.

Infrastructures

La ville bénéficie du tramway.
La métamorphose de Dublin

Dublin a connu une vive expansion économique depuis une quinzaine d'années avec la création d'un pôle de compétence par l'installation de nombreuses entreprises multinationales de haute technologie (informatique principalement), attirées par une fiscalité très favorable et l'amélioration des infrastructures grâce aux aides européennes consécutives à l'entrée de l'Irlande dans l'Union européenne.

De ce fait, Dublin, qui avait un aspect plutôt provincial il y a encore deux décennies, a beaucoup changé depuis les années 1990 au point de connaître une frénésie immobilière et urbanistique.

Entre l'arrivée de la Spire (la flèche du millénaire), surnommé « The Spike » (la pointe) par les Dublinois et aussi le système de tramway « Luas » qui a été introduit en juin 2004, on peut voir que cette ville irlandaise est en pleine expansion et va devenir une des villes européennes qu'il faut visiter si ce n'est que pour la chaleur de ses habitants!

Communications

Radio Telifís Éireann est la chaîne nationale de radio et télévision; son siège se trouve à Dublin où sont également installés ses principaux studios. Fair City est un feuilleton produit par la chaîne dont l'action se déroule dans une banlieue fictive, Carraigstown. TV3, la seule chaîne privée nationale, est aussi basée à Dublin, et importe la plupart de ses programmes des télévisions britanniques et américaines, cherchant à atteindre un public jeune.
Les principaux bureaux des services postaux, téléphoniques (fixes et mobiles) sont également implantés à Dublin, tout comme de nombreuses stations de radio et la plupart des quotidiens nationaux.

Education

Dublin est le principal centre d'enseignement supérieur en Irlande, avec trois universités.
LUniversité de Dublin (protestante à l'origine) est la plus ancienne, fondée au . Son unique faculté, Trinity College, a été créée par un édit royal sous le règne d'Élisabeth Ire d'Angleterre.
L'
Université Nationale d'Irlande a son siège à Dublin, tout comme la direction de lUniversity College de Dublin, une faculté autonome depuis 1997, son principal organisme. Un autre de ses départements, lUniversité Nationale d'Irlande de Maynooth est basé à environ 25 km de Dublin.
Dublin City University est l'université la plus récente créée en Irlande; elle est spécialisée dans le commerce, l'ingénierie et les sciences industrielles, et dispose d'importants centres de recherche.

Le Collège Royal des Chirurgiens d'Irlande est une école médicale indépendante basée à Stephen's Green, dans le centre.

Dublin Institute of Technology, l'institut de technologie de Dublin, est une école d'ingénieurs moderne, la plus grande structure d'enseignement supérieur du pays qui ne soit pas une université; ses spécialités sont les matières technologiques, mais il dispense également un remarquable enseignement artistique. Il va bientôt s'implanter sur le campus de Grangegorman.
Il y a aussi de plus petits instituts de technologie à Blanchardstown et Tallaght. Le National College of Art and Design (Ecole Nationale d'art et de Design) et l'institut de Dun Laoghaire pour les Arts, le Design et la Technologie mènent des actions de recherche et d'expérimentation dans les domaines des arts, du design et des technologies de l'information.
Il existe également de nombreuses écoles spécialisées dans la ville, dont certaines structures privées.

Transports

Dublin est le centre du réseau de transports irlandais. Le port est le plus important du pays et l'aéroport accueille la plupart du trafic passagers du pays.

Heuston Station et Connolly Station sont les deux gares principales de la ville, la première desservant le Sud et l'Ouest du pays tandis que la seconde relie Dublin à Sligo et Belfast.

Réseau routier

Dublin est également le centre du réseau routier irlandais. L'autoroute M50, une sorte de périphérique encerclant Dublin du Nord au Sud en passant par l'Ouest (à l'est, c'est la côte), relie tous les axes nationaux partant de la capitale.
Un péage est perçu pour le passage du West Link, un pont autoroutier enjambant la Liffey au niveau du village de Lucan. bien que sa construction ait débuté dans les années 80, en 2005 tous les travaux ne sont pas terminés.
Une action en justice à propos de la préservation du site médiéval de Carrickmines Castle a retardé la dernière tranche.

Actuellement, la M50 compte 2x2 voies, mais on commence à réfléchir au passage à 2x3. L'autorité routière nationale envisage également d'augmenter la capacité des parties les plus fréquentées de l'autoroute en aménageant des échangeurs plus efficaces.

Afin de boucler le périphérique, un contournement « Est » est envisagé. La première partie du projet est en cours de construction, il s'agit du tunnel du port de Dublin. L'ouverture à la circulation de ce tronçon, qui devrait accueillir principalement des poids lourds, est prévue pour 2006. Après cette mise en service, le conseil municipal de Dublin espère pouvoir interdire le passage des camions à travers la ville. La suite du projet implique un autre tunnel reliant le port au Sud de la ville, mais les plans de cette partie n'ont pas encore été établis...

La capitale est aussi entourée par ce que le conseil municipal a appelé les orbitales intérieure et extérieure. L'orbitale intérieure encercle le cœur de la ville géorgienne, de St. Stephen's Green à Mountjoy Square et du King's Inns à la Cathédrale Saint Patrick. L'orbitale extérieure contourne la ville le long du cercle naturellement formé par les deux canaux de Dublin : le Grand Canal d'Irlande et le Canal Royal d'Irlande, ainsi que South Circular Road et North Circular Road.

Transports publics

Le DART (Dublin Area Rapid Transit, ou Transport Rapide dans l'Agglomération de Dublin), et la seule voie de chemin de fer électrifiée du pays, et dessert des stations réparties tout le long de la cote Est.

Un réseau de tram-train est en cours de création, avec une première tranche (ligne verte) en service depuis juin 2004, qui dessert le Sud de Dublin et de son comté

En septembre 2004, la ligne rouge a été ouverte à son tour à la circulation, reliant les gares principales de Heuston et Connolly à la banlieue jusqu'à Tallaght.

Un projet de métro reliant l'aéroport de Dublin au centre ville avait été évoqué comme prochaine étape du développement des transports publics, mais il est en cours d'abandon ; on s'orienterait plutôt vers une extension du DART jusqu'à l'aéroport et à la création d'une interconnexion entre les deux lignes de tram-train.

Les trains de banlieue desservent aussi l'Ouest de l'agglomération, avec des lignes reliant Kildare et Maynooth.

La majorité des transports publics Dublinois est assurée par Bus Átha Cliath (Bus de Dublin), qui possède un réseau de près de 200 lignes régulières le jour (nommées par leurs numéros, parfois suivi d'une lettre) et 24 « Nitelink », des bus de nuit qui officient 7 nuits sur 7, qui sont appelés par un numéro suivi de « N ». Il n'y a qu'un conducteur à bord (pas de contrôleur) et le prix du trajet, fonction du nombre d'arrêts de bus entre le départ et l'arrivée doit être payé exactement au conducteur à la montée, sans rendu de monnaie. Il existe également des forfaits prépayés que l'on composte à la montée du bus. Le tarif des bus de nuit est un forfait indépendant de la distance parcourue, qui peut paraître cher, mais bien moins qu'un taxi…

Administrations

Pouvoirs municipaux

Dublin est gérée par le Conseil de la Ville de Dublin (Dublin City Council, qui s'appelait précédemment 'Dublin Corporation'), qui est présidé par le Lord Mayor of Dublin (équivalent du Maire), qui est élu annuellement et réside à Mansion House, devenue La résidence du Maire en 1715. Le conseil de Dublin est basé sur deux sites : le principal à Dublin City Hall, l'ancien Royal Exchange, qui avait été construit à cette fin dans les années 1850's. une grande part de l'administration est cependant logée dans les bâtiments des Civic Offices, très controversés car construits sur ce qui était l'un des sites archéologiques Vikings les mieux préservés au monde.
La décision de raser ce site pour le Conseil de Dublin a provoqué l'une des plus grandes contestations de l'histoire récente en Irlande, avec des milliers de personnes manifestant pour arrêter les travaux.
La destruction de ce site, et la construction de ce qu'on appelle maintenant 'Les Bunkers' en référence à leur laideur, est considérée comme le pire désastre subi par le patrimoine irlandais depuis l'Indépendance. Même le Conseil de l'époque a fini par admettre sa honte, et seuls 2 des 4 bâtiments initialement prévus ont été réalisés.
A la place des deux autres, un troisième bâtiment dessiné par l'atelier de Scott Tallon Walker a été achevé en 1994. Ce bâtiment, situé face à la rivière, est moins massif que les précédents.
Les réunions du Conseil se déroulent au City Hall, sur Dame Street, l'un des plus beaux bâtiments de la ville construit par Thomas Cooley.

La Région de Dublin

Depuis des siècles, la ville a été administrée par le Conseil de Dublin. Aujourd'hui, la région de Dublin, précédemment connue comme le comté de Dublin, compte plus d'un million d'habitants sur 922km². En 1994, le comté de Dublin (hors la ville) a été divisé en trois, chaque nouvelle entité recevant les statuts d'un comté à part entière et l'administration équivalente ; il s'agit de :

- Dun Laoghaire-Rathdown

- Fingal

- South Dublin

Il existe aujourd'hui une autorité régionale : la 'Dublin Regional Authority', au sein de laquelle les différentes administrations de chacune des entités de la région de Dublin (La ville et les 3 comtés périphériques) coordonnent leurs politiques.

Gouvernement national

Le Parlement National de la République d'Irlande (appelé Oireachtas Éireann') est composé du Président d'Irlande et de deux chambres : 'Dáil Éireann', ou Maison des Députés, et Seanad Éireann, le Sénat, les trois pouvoirs étant basés à Dublin.
La résidence du Président d'Irlande est Áras an Uachtaráin, l'ancienne résidence du Gouverneur Général de l'État Libre d'Irlande, situé dans Phoenix Park, le plus grand parc de la ville.
Quant aux deux chambres, elles se réunissent à Leinster House, un ancien palais ducal dans le Sud de la ville. Ce bâtiment est le siège du Parlement depuis la création de l'Etat Libre d'Irlande, le 6 décembre 1922

Le Gouvernement Irlandais, quant à lui, occupe un grand bâtiment conçu par Aston Webb, l'architecte qui avait créé la façade de Buckingham Palace. Ce bâtiment, aujourd'hui nommé Government Buildings, avait été construit pour être le Collège Royal Scientifique, et fut le dernier bâtiment construit sous l'administration brittenannisch en Irlande. Etant donnée sa proximité de Leinster House, le bâtiment a été choisi pour accueillir temporairement certains ministères en 1921 après l'indépendance. Finalement, aussi bien Government Buildings que Leinster House (elle aussi prévue pour accueillir temporairement le parlement) sont devenues les résidences permanentes respectivement du Gouvernement et du Parlement.

Jusqu'en 1990, le Gouvernement a partagé le bâtiment avec l'école d'ingénieurs de lUniversity College of Dublin mais la construction de nouveaux bâtiments sur le Campus de UCD à Belfield a permis au gouvernement de prendre possession de l'intégralité des locaux, et de les réaménager à son usage.

D'autres Dublin aux États-unis

- Dublin, Californie

- Dublin, Géorgie

- Dublin, Indiana

- Dublin, New Hampshire

- Dublin, Caroline du Nord

- Dublin, Ohio

- Dublin, Pennsylvanie

- Dublin, Texas

- Dublin, Virginie

- Dublin Township, Pennsylvanie
et aussi Upper Dublin, Pennsylvanie

Voir aussi

Liens internet (anglophones)

- [http://www.dublincity.ie Dublin City Council]

- [http://www.dublintourist.com Guide touristique de Dublin]

- [http://www.openroads.net/editorials/IRE/region_0085_01.php3 Explanation of English and Irish language names of the city]

- [http://www.dublin.ie A Ten Year Strategy For Dublin City]

- [http://www.irish-architecture.com/buildings_ireland/dublin/northcity/oconnell_street/spire.html Dublin Spire]

- [http://dublin.citycollective.com Dublin City Collective] - Online community for Dubliners.

- [http://www.queerid.com QueerID.com] - Guide to Dublin's gay scene

- [http://www.irelandscape.com Irelandscape] - Pictures of Dublin and other Irish Locations.

- [http://www.irish-architecture.com/buildings_ireland/dublin/ Irish Architecture - Dublin]

- [http://www.archiseek.com Discussion of architecture and planning]

Liens internet (francophones)

- [http://www.sitedevincent.net Journal d'expatré à Dublin, photos, découvertes...]

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